偶函数的一个性质

在学习函数的奇偶性时,我们经常会遇到已知函数为偶函数,求参数取值范围等的逆问题.这时若能灵活利用偶函数的特性,巧添绝对值,则能简化解题.若f(x)是偶函数,则有f(x)=f(-x),于是可巧添绝对值,则有性质f(x)=f(-x)=f(-|x|)=f(|x|).下面例谈在解题中的应用.     

函数的奇偶性

<正>1.函数奇偶性定义解读函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质,在函数定义域内的真子集上讨论函数的奇偶性是没有意义的.若对定义域内的任意一个x,都有f(x)=f(-x)或f(x)=-f(-x),则称f(x)为偶函数或奇函数.显然,函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶     

奇偶性定义的四个特性

函数奇偶性的定义为：设y=f(x)(x∈A)，如果对于任意x∈A，都有f(-x)=f(x)，则称函数y=f(x)为偶函数；如果对于任意x∈A，都有，(-x)=-f(x)，则称函数y=f(x)为奇函数．     

例析函数的奇偶性

同学们都知道,判断奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称,不对称则是非奇非偶函数,对称后根据f(-x)=f(x)是偶函数,f(-x)=-f(x)是奇函数,否则也是非奇非偶函数,貌似简单,碰到问题我们还是要小心,下面我们看几个例子.     

函数奇偶性的多角度理解与应用

函数的奇偶性是函数的一个重要性质,对函数变化的规律可以从对称的角度进行描述,从不同的角度对函数奇偶性进行理解,从而能够对函数奇偶性灵活的应用.一、定义的理解1.如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.     

从一道高考题探析函数的“三性“

众所周知,函数奇偶性、周期性及图象的对称性在函数中占有极其重要的地位,历来为命题者所钟爱,那么这“三性”到底有哪些联系呢?本文先从一道高考谈起.题目(05年广东高考第19题)设函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.(Ⅰ)试判断函数y=f(x)的奇偶性;(Ⅱ)略.解(Ⅰ)由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),得f(x)的图象有对称轴为x=2或x=7,∴f(x)=f(4-x)=f(x-4+14)=f(x+10),∴T=10是f(x)是一个周期.又f(3)=f(1)=0,f(-3)=f(-3+10)=f(7)≠0,所以f(-3)≠±f(3),故函数y=f(x)是非奇非偶函数.此解答用到了f(x…     

隐含的函数单调性和奇偶性

<正>单调性和奇偶性是函数的两条重要性质,而它们自身又有许多性质,比如说:两个增函数相加在公共定义域中仍为增函数;若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|)等.函数中许多问题的解答,都要从这两方面分析问题,寻求解题方法.有的问题,题目条件中已直接给出函数的单调性或奇偶性,可以利用它们的性质处理;而有的问题,并没有直接     

函数奇偶性求解辨析

<正>函数奇偶性已为大家所熟知,其有着较多的性质,在解题中有着广泛灵活的运用,不加注意,便容易陷入求解误区.例1判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x²+1(x≥0);(2)f(x)=(4-x2+1(x≥0);(2)f(x)=(4-x²)2)¹/2/|x+3|-3.解析(1)乍一看,函数似偶函数,然而,由于函数定义域为[0,+∞),没有关于原点对称,故该函数既不是奇函数也不是偶函数.     

奇偶函数的分析性质

<正> 函数的奇偶性是函数的重要性质之一,具有奇偶性质的函数的许多特性在理论上和应用上都具有重要的意义。为了下面叙述上的方便,不妨给出定义如下: 一、函数奇偶性的定义对于给定的函数f(x),若f(-x)=-f(x),则f(x)称为奇函数;若f(-x)=f(x),     

抽象函数奇偶性的判定方法

<正>抽象函数问题是高中数学的一个难点.抽象函数题解法灵活,技巧性强.本文介绍判断抽象函数奇偶性的方法和技巧,供同学们参考.一、直接利用奇偶性的定义例1若函数y=f(x)和y=g(x)有相同的定义域,且都不是常数函数,对定义中任意x有f(x)+f(-x)=0,g(x)·g(-x)=1,且当x≠0时,g(x)≠1,试判断F(x)=     

多项式函数奇偶性定理的证明和应用

在解题中,我们往往不自觉地应用了下面关于多项式函数奇偶性的定理: 定理多项式函数f(x)为奇函数(或偶函数)的充要条件是f(x)只含奇次项(或偶次项)。这个定理由于教材上未作介绍,而在解决这方面的问题时又经常用到,为此,笔者将此定理的证明写出,供参考。证明充分性是显然的。下证必要性。若f(x)为奇函数,即有f(x)=-f(-x)。我们写出多项式函数的一般形式,就有a_n(-x)~n+a_(n-1)(-x)~(n-1)+…+a_1(-x)+a。=a_nx~n-a_(n-1)x~(n-1)-…-a_1x-a (1) 若n为偶数,则有 2a_nx~n+2a_(n-2)a(n-2)+…+2a_2x~2+2a_o=0从而 a_n=0,a_(m-2)=0,…,a_2=0,a_0=0。     

抽象函数奇偶性的判定方法

<正>抽象函数问题是高中数学的一个难点.抽象函数题解法灵活,技巧性强.本文介绍判断抽象函数奇偶性的方法和技巧,供同学们参考.一、直接利用奇偶性的定义例1若函数y=f(x)和y=g(x)有相同的定义域,且都不是常数函数,对定义中任意x有f(x)+f(-x)=0,g(x)·g(-x)=1,且当     

用代换法解抽象函数问题

抽象函数是指那些没有给出解析式的函数,因为缺少具体的表达式,所以分析和解决这类问题时感到棘手,如果能根据条件的特征,采用变量代换法,创造从难到易转化的条件,那么问题往往得以圆满地解答. 例1 已知函数f(x)对任意x1,x2∈R,都有f(x1) f(x2)=2f(x1 x2/2)· 不恒为零. 求证:(1)f(x)是偶函数; (2)f(x)是周期为2π的周期函数. 证明(1)不妨设f(x0)≠0,取x1=x2=x0,得2f(x0)=2f(x0)f(0),则f(0)=1. 又取x1=x,x2=-x(x∈R),得     

偶函数的一个性质

1性质的引入我们知道奇函数f(x)如果在x=0处有定义,那么就有f(0)=0.其实偶函数也有一个对偶形式的性质:若偶函数f(x)在x=0处有定义且可导,则f′(0)=0.2性质的证明因为偶函数f(x)在x=0处可导,所以limx→0 f(x)-f(0)x=limx→0-f(x)-f(0)x.又∵f(x)=f(-x),x→0-即-x→0 ,∴lim-x→     

浅谈函数奇、偶性的教学

函数的奇、偶性是函数的重要性质之一。这一性质在代数、三角、解析几何、高等数学等课程中都有应用。本文着重谈谈它的应用,借以说明它在中学数学教学中的地位和作用。定义如果函数y=f(x)在其定义域上,当x改变符号。函数值不变,即f(-x)=f(x)恒成立,那么,y=f(x)叫做偶函数;如果当x改变符号时,函数值也只改变符号,即f(-x)=-f(x)恒成立,那么,y=f(x)叫做奇函数。如讲幂函数时,通常列举y=x~2,y=1/x~2。     

函数的奇偶性定义的探究性教学

函数的奇偶性是数形结合的一个典型.一方面,函数图象关于原点或y轴对称,体现了一种几何特征;另一方面f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)则反映了数的关系.在教学中,我们不仅要让学生明白函数的奇偶性的概念,有效地建立数与形之间的密切联系,更要让学生领悟其中蕴含的数学思想,体验发现问     

一类函数奇偶性问题的简捷解法

例1 已知,f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=x~2-x-2,求x<0时f(x)的解析式。解∵ g_1(x)=-x与 g_2(x)=-x~2 2 (x<0) x~2-2 (x>0)都是定义在(-∞,0) ∪(0, ∞)上的奇函数,故g_1(x) g_2(x)也是定义在上述定义域的奇函数,由已知条件及符合条件的函数是唯一的,得x<0时,f(x)的解析式是-x~2-x 2。一般地,容易证明下列结论: 命题 f_1(x)与f_2(x)分别是定义在D＇∪D上的奇函数与偶函数(其中上D与D＇关于原点对称),当x∈D时,f(x)=f_1(x) f_2(x),则当x∈D＇时,     

例析函数的奇偶性

同学们都知道,判断奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称,不对称则是非奇非偶函数,对称后根据．f（一-x）=f（x）是偶函数,f（-x）=-f（x）是奇函数,否则也是非奇非偶函数,貌似简单,碰到问题我们还是要小心,下面我们看几个例子．     

新题征展(72)

A题组新编1.下列条件对于函数f(x)定义域中的每一个x都成立,其中(a≠0,k≠0,a,b,k∈R):(1)条件1f(x)-f(-x)=0;条件2f(a x)=f(a-x);条件3f(kx b)=f(-kx-b);条件4f(x)=(x-a)0.其中判断函数f(x)是偶函数的条件是.(2)条件1f(a x)=f(a-x);2f(x)=f(2a-x);3f(3a-x)=f(x-a);4f(x)=(x-a)     

对一道试题的变式探究

<正>题1定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x2,则函数y=f(x)-log5|x-1|的零点个数为().(A)7(B)8(C)9(D)10这是我们在9月份高三复习备考中做过的一道题目,重点考查函数的奇偶性、对称性、周期性和函数的零点等基础知识,考查函数方程思想、数形结合思想和化归转化思想,试题综合性强,但难度不大,考生得分率令人满意.试题解答如下: