关于E_ω-投射模和E_ω-内射模(英文)

左R-模M称为Eω-内射模,如果对环R中任意的ω阶Euclid理想I来说,任何R-模同态能够拓展为R-模同态。左R-模M称为Eω-投射模,若对环R中任意的ω阶Euclid理想I和任何R-模同态f∈HomR(M,R/I),存在R-模同态g∈HomR(M,R)使得f=πg,其中π是自然同态。本文证明P和Q均是Eω-投射模当且仅当PQ是Eω-投射模。进而,又证明了每一个左R-模是Eω-投射的当且仅当每一个左R-模是Eω-内射。     

S-内射模及S-内射包络

设R是环.设S是一个左R-模簇,E是左R-模.若对任何N∈S,有Ext_R~1(N,E)=0,则E称为S-内射模.本文证明了若S是Baer模簇,则关于S-内射模的Baer准则成立;若S是完备模簇,则每个模有S-内射包络;若对任何单模N,Ext_R~1(N,E)=0,则E称为极大性内射模;若R是交换环,且对任何挠模N,Ext_R~1(N,E)=0,则E称为正则性内射模.作为应用,证明了每个模有极大性内射包络.也证明了交换环R是SM环当且仅当T/R的正则性内射包e(T/R)是∑-正则性内射模,其中T=T(R)表示R的完全分式环,当且仅当每一GV-无挠的正则性内射模是∑-正则性内射模.     

Gorenstein环上的Gorenstein平坦和内射

设R是一个Gorenstein环. 证明了, 如果I是R的一个理想且使得R/I是一个半单环, 则R/I作为右R-模的Gorenstein平坦维数与R/I作为左R-模的Gorenstein内射维数是相等的. 另外证明了, 如果R→S是一个环同态且_SE是左S-模范畴的一个内射余生成元, 则S作为右R-模的Gorenstein平坦维数与E作为左R-模的Gorenstein内射维数是相等的. 同时给出了这些结果的一些应用.     

内射强Precover

1 引言设 R 是有单位元的结合环,我们约定:除了特别声明外,R-模均指右 R 模,Noethe-r 环指右 Noether 环,E(M)表示模 M 的内射包.设 M 是 R-模,E 是内射 R 模,根据 Enochs[1],E 以及 R-同态(?)∶E→M 叫 M的内射 Precover,如果对任意的内射模 E′及 R 同态(?)∶E′→M,都有 R-同态 f∶E′→E,使得(?)=(?)f.进一步称内射 Precover (?)∶E→M 为 M 的内射 Cover,如果使得(?)=(?)f 的同态 f∶E→E 只能是 E 的自同构.关于内射 Precover 和内射 Cover 的讨论,已有了大量的结果,如[1]、[4]、[5]等,在应用方面也出现了如[3]的结果.     

关于拟P-内射模的一些注记(英文)

设 R是一个环 .一个右 R-模 M叫做拟 P-内射的 ,如果 M的每个 M-循环子模到 M的任一个 R-同态都能扩展到 M.假设 M是一个自生成子的拟 P-内射模 .在这篇文章中 ,我们表明如果这样一个模是一个 CF-模 (特别地 ,CS-模 ) ,那么 S/J(S)是正则的 ,其中 S=End(MR) .进一步 ,如果 S是半素环 ,那么 M的每个极大核是 M的一个直和项 .这些结果扩展了 P-内射环的一些结果     

Ω-左R-模范畴中内射对象的等价刻画

引入内射Ω-左R-模的概念,研究内射Ω-左R-模的等价刻画,证明一簇Ω-左R-模的乘积是内射Ω-左R-模当且仅当每一个是内射Ω-左R-模,一个Ω-左R-模是内射Ω-左R-模当且仅当它的每一个截集是内射左R-模.     

强n-凝聚环

设R是一个环,n是一个正整数.右R-模M称为强n-内射的,如果从任一自由右R-模F的任一n-生成子模到M的同态都可扩张为F到M的同态;右R-模V称为强n-平坦的,如果对于任一自由右R-模F的任一n-生成子模T,自然映射VT→VF是单的;环R称为左强n-凝聚的,如果自由左R-模的n-生成子模是有限表现的;环R称为左n-半遗传的,如果R的每个n-生成左理想是投射的.本文研究了强n-内射模,强n-平坦摸及左强n-凝聚环.通过模的强n-内射性和强n-平坦性概念,作者还给出了强n-凝聚环和n-半遗传环的一些刻画.     

Gillespie所提出一个问题的否定回答

本文引入Gorenstein n-凝聚环的概念,证明即使所有左R-模的AC-内射复形和所有内射左R-模的复形对应的同伦范畴是一致的,环R也未必是左凝聚的,从而否定地回答了Gillespie(2017)提出的一个问题.     

复形的#-内射包络的存在性

令■表示所有#-内射左R-模复形构成的类(即内射左R-模的复形构成的类).本文证明了在左诺特环R上■是完备的内射余挠对.特别地,我们得到每个左R-模复形都有#-内射包络.作为应用,证明了在左诺特环R上,每个左R-模复形都有特殊■-预包络,其中■是所有内射左R-模的完全零调复形构成的类.     

FP—内射环和IF环的几个特征

本文给出了FP—内射环和IF环的如下几个特征:(l)R为右FP—内射环当且仅当任意左R—模正合列Kⁿ→Kⁿ→N→0 N为无挠模,当且仅当任一n阶矩阵环为右P—内射环;(2)R为左IF环当且仅当任一有限生成左R—模均可嵌入平坦模;(3)R为IF环当且仅当R为伪凝聚的上平坦环。     

p-内射性与Artin半单环

P-内射性在环论研究中有独特的作用,并且越来越被人们所重视.本文的目的是利用p-内射性来刻化Artin半单环,我们得到如下主要结果:(1)环R是Artin半单的当且仅当R是p-内射的,R的左奇异理想是闭右理想,且R满足特殊左零化子升链条件;(2)环R是Artin半单的当且仅当R的每个极大本质左理想是左零化子,并且任意奇异单左R-模是p-内射的;(3)素环R是Artin单的当且仅当R的右基层S≠0是左p-内射的,并且R满足特殊左零化子升链条件.这些结果不仅加深了对Artin半单环的认识,而且建立了半单环与某     

广义逆多项式模的co-Hopf性质

设R是结合环(可以没有单位元),(S,≤)是严格全序幺半群,序≤是Artin的且对任意s∈S,有0≤s,则对任意具有性质(F)的左R-模M,[MS,≤]是co-Hopf左[[RS,≤]]一模当且仅当M是co-Hopf左R-模.     

零可换环的一些性质

本文刻画了零可换环的一些性质,同时将交换环上的一些结果推广到零可换环上.对于零可换环R 证明了: (1)R是强正则环当且仅当R中每个为零化子的本质左理想是左GP.内射模或R中存在一个极大左理想K,使得K中每个元索的零化子是左GP-内射模; (2)R是GPP-环当且仅当R是拟π-正则的GPF-环.     

关于拟投射模和拟内射模

设 R 是有单位元的环,U 和 M 都是环 R 上的左幺模,如果 M 的任意子模到 U 的每一同态都能扩张为 M 到 U 的同态,则称 U 是 M-内射的,如果 U 到 M 的任一商模上的任一同态都能提升为 U 到 M 的同态,则称 U 是 M-投射的。若 U 是 U-投射的(U-内射的),则称 U 是拟投射的(拟内射的)。本文中将给出投射模的任意直积是拟投射的几个等价条件,从而把[1]中定理3.3作了进一步扩展;同时利用[2]中的定理24.20给出了每个拟投射左 R-模是拟内射的,每个拟内射左 R-模是拟投射的这样的环的刻划。     

零可换环的一些性质

本文刻画了零可换环的一些性质,同时将交换环上的一些结果推广到零可换环上.对于零可换环R证明了(1)R是强正则环当且仅当R中每个为零化子的本质左理想是左GP-内射模或R中存在一个极大左理想K,使得K中每个元素的零化子是左GP-内射模;(2)R是GPP-环当且仅当R是拟π-正则的GPF-环.     

关于Gorensteincotorsion模

讨论了Gorensteincotorsion模与内射模之间的关系,证明了R是GorensteinvonNeumann正则环当且仅当任意R模M的Oorensteincotorsion包络与内射包络是同构的,当且仅当E（M）／M是Gorenstein平坦模,同时,也讨论了Gorensteincotorsion模与cotorsion模之间的联系。     

关于基本可数生成子模的扩张性

称左R-模M是ecg-扩张模,如果M的任意基本可数生成子模是M的直和因子的基本子模.在研究了ecg-扩张模的基本性质的基础上,本文证明了对于非奇异环R,所有左R-模是ecg-扩张模当且仅当所有左R-模是扩张模.同时我们还用ecg-拟连续模刻画了Noether环和Artin半单环.     

环的广义Noether性(英)

众所周知,环R是右Noether的当且仅当任意内射右R-模的直和是内射的．本文我们将用Ne-内射模和U-内射模来刻画Ne-Noether环和U-Noether环．     

左连续环中若干链条件的等价性

(1)设R是左连续环,则R是左Artin环当且仅当R满足左限制有限条件当且仅当R关于本质左理想满足极小条件当且仅当R关于本质左理想满足极大条件.同时给出一个左自内射环是QF环的充要条件;(2)证明了左Z₁-环上的有限生成模都有Artin-Rees性质.     

关于ann-内射模和ann-平坦模

左R—模E是ann—内射的。如果对于R的每个有限生成右零化子理想r(L)到R的R—模同态都能延拓为到E的R—模同态.同样,我们称左R—模M是ann—平坦的如果对于R的每个有限生成右零化子理想r (L),都可以得到正合列0→r(L)⊕_RM→R__R⊕M.在本文中,我们证明了R—模B是ann—平坦的当且仅当它的示性模B~·=Hom_R(B,Q/Z)是ann—内射的.