一类具有弱奇异核的偏积分微分方程的Chebyshev小波数值方法（英文）

本文提出一种基于第四类Chebyshev小波配置法,求解了一类具有弱奇异核的偏积分微分方程数值解.利用第四类移位Chebyshev多项式,在Riemann-Liouville分数阶积分意义下,导出Chebyshev的分数次积分公式.通过利用分数次积分公式和二维的第四类Chebyshev小波结合配置法,将具有弱奇异核的偏积分微分方程转化为代数方程组求解.给出了第四类Chebyshev小波的收敛性分析.数值例子证明了本文方法的有效性.     

求解第一类积分方程的正则化—小波方法及其数值试验

1 方法的描述 第一类(Fredholm)积分方程是指形如 (1.1)的积分方程,其中核k(x,y)和右端函数f(x)给定,u(x)是未知函数.许多物理、化学、力学和工程应用问题都能导致第一类积分方程.求解第一类积分方程的一个本质性困难是方程的不适定性,即解的存在性、唯一性和稳定性遭到破坏.常用的数值方法有奇异值分解(SVD)方法、Tikhonov正则化方法、投影方法、正则化-样条方法、再生核方法等.本文提出一种新的正则化-小波方法,在第一类积分方程有多个解时,可以求出具有最小范数的数值解;如果原积分方程有唯一解,则所得的数值解收敛于准确解.数值试验表明,该方法是可行的. 我们在L~2[a,b]中考虑第一类(Fredholm)积分方程,即假设方程(1.1)中积分算子K∈L~2([a,b]×[a,b])及右端f(x)∈L~2[a,b]给定.为保证数值求解算法的稳定性,我们先用正则化方法处理该方程,将不适定问题化为泛函极值问题来求解,然后利用多重正交样条小波基构造求解格式.由于我们给出了直接计算低阶的多重正交样条小波基函数的一般公式,使得解法可以在计算机迅速实现.     

非线性第二类Volterra积分方程的Chebyshev谱配置法

我们在参考了相关文献的基础上,考察了一类非线性Volterra积分方程的Chebyshev谱配置法.方法中,我们将该类非线性方程转化为两个方程进行数值逼近.我们选择N阶Chebyshev Gauss-Lobatto点作为配置点,对积分项用N阶高斯数值积分公式逼近.收敛性分析结果表明数值误差的收敛阶为N^（1/2）-m,其中m是已知函数最高连续导数的阶数.我们也开展数值实验证实这一理论分析结果.     

第二类Volterra型积分方程的Chebyshev-Legendre谱配置方法

提出了一种新的求解第二类线性Volterra型积分方程的Chebyshev谱配置方法.该方法分别对方程中积分部分的核函数和未知函数在Chebyshev-Gauss-Lobatto点上进行插值,通过Chebyshev-Legendre变换,把插值多项式表示成Legendre级数形式,从而将积分转换为内积的形式,再利用Legendre多项式的正交性进行计算.利用Chebyshev插值算子在不带权范数意义下的逼近结果,对该方法在理论上给出了L∞范数意义下的误差估计,并通过数值算例验证了算法的有效性和理论分析的正确性.     

利用第二类Chebyshev小波求二阶常微分方程组边值问题的数值解

给出了一个求二阶常微分方程组边值问题数值解的第二类Chebyshev小波配点法.利用第二类Chebyshev小波积分算子矩阵,将问题转化成代数方程组的运算.数值例子说明了方法的准确性及易操作性.另外,为了表明方法的高精度性和有效性,数值算例结果与解析解,以及运用变分迭代法,B样条配点法,连续遗传算法等得到的结果进行了比较.     

第三类和第四类Chebyshev小波积分算子矩阵及其在数值积分中的应用

本文给出第三类和第四类Chebyshev小波的积分算子矩阵,研究Chebyshev小波展开的一致收敛性和系数估计.基于第三类和第四类Chebyshev小波积分算子矩阵,将定积分和双重积分转化成矩阵运算,得到计算定积分和双重积分近似值的一种算法.数值算例表明此方法的可行性和有效性.     

基于Hat函数的配置法解多维分数阶Fredholm积分方程

配置法是数值计算中常用的直接算法,具有数值稳定性好和计算精度高的优点.采用以hat函数为基底的配置法求解多维分数阶Fredholm积分方程.首先结合hat函数的性质,通过以hat函数为基底建立的配置法将分数阶积分方程转化为代数方程进行求解.然后在投影算子理论的框架下,建立了方程的收敛性理论并给出了误差分析.最后利用数值算例通过与其他数值方法相比较,验证了算法的高精度和高效率.     

Volterra积分方程的蒙特卡罗数值求解方法

本文讨论了第一类、第二类以及具有奇异核的Volterra积分方程的数值解问题.利用重要抽样蒙特卡罗随机模拟方法获得积分方程解的近似计算结果.通过对文献中算例的实现表明文中所提方法扩展了Volterra型积分方程的数值求解方法,     

竖直薄板浸没在表面覆盖冰层海水中时的水波散射

研究在一片均匀薄冰所覆盖的深水中,浸没其间的竖直平板引起的水波散射,冰层看作弹性薄板.通过对障碍物前方的势函数微分,问题被归结为一个超奇异的积分方程,应用适当的Green积分定理,应用一个包含Chebyshev多项式的有限级数配置法,求解该积分方程.得到反射系数和透射系数的数值结果,并在不同的波数和覆盖冰层参数下,用图形表示出来.     

求解非定常Lavrentiev迭代方程的多尺度配置法

本文采用多尺度配置法求解第一类弱扇形积分方程.将压缩配置法用于投影离散非定常迭代正则化方程,得到了近似解在Banach空间范数下误差估计,给出了迭代停止准则,确保近似解无穷范数下的最优收敛率.优点是确保了收敛率,减少了计算量.数值例子验证了算法的有效性.     

偏微分方程边值反问题的数值方法研究

本文研究了奇异积分方程在反边值问题中的应用问题.利用圆周上的自然积分方程及其反演公式,把Laplace方程的边值反问题转化为一对超奇异积分方程和弱奇异积分方程的组合,通过选取三角插值近似奇异积分的计算并构造相应的配置格式,并使用Tikhonov正则化方法求解所得到的线性方程组.数值实验表明了该方法的有效性.     

波动方程初值问题的解在两类积分中的应用

利用波动方程初值问题解的特点给出了圆域上一类反常二重积分和球面上第一类曲面积分的微分算子级数公式解和定积分公式解.通过举例说明了该方法相对于常规解法的简便实用性.     

解带有扰动数据的第一类Volterra积分方程的谱正则化方法

该文的主要目的是通过使用Legendre配置方法和正则化策略来求解带有噪声数据的第一类Volterra积分方程,并给出该方法收敛性分析的严格数学证明.数值实验表明了该方法的有效性.     

混合广义Jacobi和Chebyshev谱配置法求解时间分数阶对流扩散方程

研究时间Caputo分数阶对流扩散方程的高效高阶数值方法.对于给定的时间分数阶偏微分方程,在时间和空间方向分别采用基于移位广义Jacobi函数为基底和移位Chebyshev多项式运算矩阵的谱配置法进行数值求解.这样得到的数值解可以很好地逼近一类在时间方向非光滑的方程解.最后利用一些数值例子来说明该数值方法的有效性和准确性.     

平面定常Stokes问题的无奇异第一类边界积分方程

对无奇异边界积分方程归化法的研究,已有的结果都是针对直接变量的,其核心思想是利用刚体位移(包括刚体的转动和平移)或均匀场．然而,对第一类边界积分方程的无奇异边界归化法的研究,至今还未涉足．本文提交一种新方法,归化出平面定常Stokes问题的第一类无奇异边界积分方程,并建立完整的数值求解体系．一个简单的算例表明本文方法可获得理想的数值结果,特别是边界量的数值结果。     

一类有限部积分方程数值解的误差分析

本文研究了一类有限部积分方程数值解的误差.利用离散的极值原理和复合中点公式的超收敛性,获得了积分方程配置格式的误差分析理论,改进了有限部积分方程数值解的相关研究成果.并给出数值实验验证了理论分析的正确性.     

求解一类具有Hilbert核的奇异积分方程的小波方法

1 引言 近年来,用小波方法数值求解积分方程越来越引起人们的注意.文献[1]提出的算法可将一类积分算子所对应的矩阵稀疏化,为小波方法快速求解积分方程开辟了一条新的道路.     

修正偏差原理下快速求解初始数据均有扰动的第一类Fredholm积分方程

<正>1引言第一类Fredholm型积分方程的求解有广泛的应用背景.如图象处理、信号处理、地球物理、遥感技术、模式识别等众多科学技术领域中均会遇到第一类Fredholm型积分方程的求解问题.但是第一类Fredholm积分方程的求解是一个典型的病态问题.数值计算对舍入误差非常敏感,数值结果不连续依赖于初始数据,要得到稳定的数值解要采用正则化方法.对于如何快速进行数值计算,研究结果有一些~([1-5]),但还有许多问题可以研究,比如对于积分核有扰动的情形,研究的成果很少~([6,8]).本文将文献[1]的算法推广到初始数     

基于周期变换求解带尖角区域的声波散射问题

利用周期变换和位势理论将声波散射问题转化为第二类边界积分方程,再利用Nystrom方法来求解该边界积分方程.给出二维空间的数值例子,结果表明该方法简单,可行并且具有较好的精度.     

求解三维第一类Fredholm积分方程的GMRES法

利用数值求积公式,将三维第一类Fredholm积分方程进行离散,通过引入正则化方法,将离散后的积分方程转化为一离散适定问题,通过广义极小残余算法得到了其数值解．数值模拟结果表明该方法的可行有效性．