Sui moti liberi di un mezzo continuo

Sunto. Vengono così chiamati quei moti di un sistema continuo in cui ogni particella si muove di un suo moto rettilineo uniforme. Essi in generale non sono stazionari ed il campo istantaneo delle loro velocità è legato da una relazione funzionale, in termini finiti, a quello iniziale. Tale relazione è l'integrale, corrispondente alle condizioni iniziali date, della equazione differenziale che esprime l'annullarsi della accelerazione dei singoli punti. Accanto al caso stazionario presentano particolare interesse i casi della stazionarietà parziale della sola orientazione della velocità e quello del solo valore di questa, trovando che in questo le linee di flusso giacciono su una famiglia di piani, che sono superficie isotachie. Sono dati esempi dei vari casi. Viene infine esaminata la variazione della distribuzione delle masse nell'ipotesi di un mezzo materiale.     

Fondamenti della geometria sulle varietà algebriche

Sunto Vengono qui continuaté le ricerche dell'Autore, dal 1909 in poi, intorno alla geometria sopra una varietà algebrica del corpo complesso e si costruisce in particolare una esauriente teoria delle irregolarità della varietà, fondata sia sopra una loro definizione geometrico-topologica, come sopra una loro definizione trascendente, stabilendosi inoltre l'equivalenza delle definizioni. A Giovanni Sansone nel suo 70^mo compleanno. Questa Memoria, preparata in occasione del giubileo scientifico del CollegaGiovanni Sansone, ed a lui dedicata, vuole anzitutto attestare la mia, anzi la nostra gratitudine, verso chi mi è stato efficientissimo Condirettore per tanti anni, fin da quando cioè, per una deplorevole disposizione, restai solo nel Comitato Scientifico degli ? Annali ?, divenendone automaticamente, senza mia volontà, unico Direttore. Il Prof.Sansone fu il primo, in ordine di tempo, che scelsi per associarlo a me nella Direzione dell'antico e celebrato periodico. Con lui, a nostra volta, scegliemmo d'accordo, a mano a mano, per successive cooptazioni, gli altri Colleghi. All'abilità e alla solerzia tecnico-organizzativa di lui, siamo quasi interamente debitori dell'odierno prestigio e dell'attuale diffusione del nostro Periodico, oggi patrimonio prezioso, materiale e morale, della matematica italiana. La Memoria è stata preannunciata da una I Nota riassuntiva, contenente però quasi tutto l'essenziale, pubblicata nei Rendiconti dell'Accademia Nazionale dei Lincei, seduta del 9 maggio 1959, e da una II Nota pubblicata nei Rendiconti della stessa Accademia, seduta del 14 settembre 1959. I fondamenti della parte più moderna della geometria sopra una varietà (dell'ordinario corpo complesso) i cui inizi spettano, come ben si sa, aNoether, furon posti in luce dalle seguenti Memorie dall'A. e da quelle di altri, con esse più o meno immediatamente collegate. Citazioni più circostanziate trovansi nelle Memorie cui alludiamo dell'A., e cioè:Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: I contributo, Rend. del Circolo Matematico di Palermo, 1909. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: II Contributo, Annali di Matematica, 1951. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: III Contributo, Annali di Matematica, 1956. Ivi son richiamate anche le Note preliminari dei Comptes Rendus, 1955, 1956, sulle forme differenziali di 1^a specie. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: IV Contributo. La teoria delle irregolarità delle varietà algebriche, Rend. Acc. Naz. dei Lincei, 1956. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: V Contributo. Ancora sulla teoria delle irregolarità, Memorie dall'Accademia Nazionale dei XL, 1957–58. I risultati della presente Memoria potranno essere confrontati con quelli conseguiti daE. Marchionna nell'Appendice ch'egli, aderendo alla mia richiesta, ha aggiunte alla fine del mio Trattato citato nella nota (²) a piè della pag. 3 della presente Memoria (precisamente l'Appendice diMarchionna va da pag. 395 in poi). Il Trattato ha potuto essere completamente stampato, mercè la solerte cooperazione di lui, sia pel coordinamento d'una parte della materia, come per la correzione d'una buona metà delle bozze del volume, ch'egli ha preso in consegna quando il dattiloscritto non era neppure composto tipograficamente per intero. Per tutto ciò rinnovo qui al Prof.Marchionna l'espressione della mia viva gratitudine, alla quale si associeranno di certo quanti troveranno nel volume qualcosa di utile pei progressi della geometria algebrica, sia nel dominio classico, come in quello astratto. A proposito dei risultati contenuti nell'Appendice IV, devo ricordare che la relazione fra la somma dalle due ultime irregolarità diV _d, la deficienza del sistema canonico parziale staccato sopra una ipersuperficieE elementare, dal proprio sistema aggiunto |E' |, nonchè la sovrabbondanza del sistema |E' | viene conseguita pure per via algebrico-geometrica, diversa da quella qui esposta, nella pag. 429 dell'Appendice predetta e precedentemente nel lavoro diMarchionna Sul teorema di Riemann-Roch, ecc. (Nota III), Lincei, 1958, p. 673. Una delle vie indicate daMarchionna, onde pervenire alla relazione cui s'allude, presuppone tuttavia, in un secondo tempo, il teorema (diKodaira) di regolarità dell'aggiunto. Questosecondo modo di deduzione permette di ottenere più rapidamente il risultato, ed ha il vantaggio di conseguirlo più in generale, in relazione ad una generica ipersuperficieA non singolare, tracciata sopra unaV _d, priva di punti multipli; mentre qui (come nella Nota lincea preventiva) c'interessa di conseguire la relazione, di cui al successivo n. 2, con una dimostrazione del tutto autonoma. nel quadro della geometria algebrica classica, in quanto sopra la relazione cui si allude, noi vogliamo dipoi poggiare la deduzione di parecchie altre proprietà, stabilite daKodaira con mezzi di analisi, che si allontanano molto dal quadro predetto. Di ciò diremo più ampiamente nella presente Memoria e nelle Memorie che continueranno la presente.     

Condizioni di integrabilità nel campo gravitazionale einsteiniano e moto di una particella di prova

Sunto Si completa una ricerca diInfeld eSchild, nella quale la legge di moto di una particella di prova, rappresentata da una singolarità, viene dedotta dalle equazioni della teoria gravitazionale einsteiniana di puro campo, e risulta una geodetica dello spazio-tempo riemanniano incurvato da altri corpi. Si dimostra precisamente che la legge della geodetica costituisce una condizione di integrabilità non soltanto necessaria, come consegue dalla ricerca precedente, ma anche sufficiente affinchè le equazioni (non tensoriali) che caratterizzano il comportamento di una particella di prova in un riferimento solidale con la particella stessa, siano integrabili in ogni istante, in un intorno della posizione istantanea della particella.     

Stability and bifurcations of symmetric periodic orbits

Se un problema Hamiltoniano integrabile non degenere, come si può ottenere dal problema dei due corpi in coordinate rotanti, è perturbato con una funzione potenziale simmetrica rispetto ad un asse, le proprietà di simmetria delle soluzioni consentono di semplificare la ricerca, di orbite periodiche. In tal modo si ottiene un teorema di continuazione delle orbite periodiche che fornisce più informazioni di quello classico. La funzione che descrive la simmetria delle orbite è genericamente una funzione di Morse, e le biforcazioni di orbite periodiche simmetriche possono essere descritte in termini di punti singolari e di valori critici di tale funzione. II problema ristretto dei tre corpi ed il problema del satellite in un potenziale non axisimmetrico sono trattati come esempi. Le stesse biforcazioni possono anche essere descritte come singolarità degeneri della funzione generatrice della trasformazione canonica associata all'applicazione di Poincaré, cioè al trascorrere di un periodo sinodico. In tal modo le proprietà di stabilità lineare delle orbite periodiche, la segnatura dei punti singolari della funzione generatrice e l'andamento qualitativo della funzione di simmetria appaiono correlate tra loro. Ne risulta la possibilità di predire, prima di qualsiasi esperimento numerico, non solo la struttura generica delle biforcazioni delle orbite periodiche simmetriche, ma anche la stabilità di tutte le orbite periodiche coinvolte.     

Soluzioni analitiche quasi periodiche delle equazioni alle derivate parziali a coefficienti costanti

Ringrazio le colleghe Daniela Mari e Luisa Zanghirati per avermi invitato a tenere una conferenza a questo convegno. A loro la mia gratitudine perché questa occasione mi consente di dedicare a Lamberto Cattabriga questo lavoro. Con ciò voglio manifestare stima profonda e vivo apprezzamento per i contributi di Cattabriga alla Teoria delle PDE ed alla analiticità, ma desidero anche lasciare un segno della amicizia sincera e della identità di idee che ci unirono in diverse importanti circostanze della nostra vita accademica.     

Sollecitazioni termiche nelle roccie attraversate da gallerie in pressione

Sunto. Si determinano gli spostamenti e le tensioni interne di un ammasso roccioso omogeneo, indefinito, attraversato da una galleria cilindrica a sezione retta circolare, soggetto per tale motivo a variazioni termiche stazionarie. Si considera anche il caso della esistenza, a non grande distanza dall'asse della galleria, di un vincolo rigido, simmetrico, che impedisce qualsiasi spostamento.     

Correnti positive: Uno strumento per l’analisi globale su varietà complesse

Lo scopo di questo testo è di presentare i temi principali riguardanti le correnti positive su varietà complesse. L’importanza di questo strumento, per coloro che studiano geometria complessa, è evidente; tuttavia non è semplice tenere le fila di una grande quantità di contributi sull’argomento, alcuni dei quali sono ormai pietre miliari su questa via. Vorremmo quindi delineare una “mappa” dei contributi che ci sono sembrati particolarmente significativi; per ovvie ragioni, rimandiamo ai test originali non appena si voglia entrare nel merito dei singoli argomenti. Lo scritto è composto di due parti (oltre a una appendice dedicata al lettore che affronta per la prima volta il tema delle correnti positive): nella prima si trattano principalmente i temi in riferimento alle correnti positive e chiuse, storicamente la classe più importante di correnti per le varietà complesse, in quanto generalizzazione naturale delle sottovarietà. Nella seconda si espongono risultati su correntiT positive pluriarmoniche o plurisubarmoniche, cioè caratterizzate da una condizione imposta alla corrente $i\partial \bar \partial T$ , e naturali generalizzazioni delle funzioni plurisubarmoniche, nonché delle correnti chiuse. Questa scelta è motivata nel primo capitolo della seconda parte, partendo dall’ormai classico teorema di R. Harvey e J.R. Lawson che caratterizza tramite correnti positive e pluriarmoniche l’esistenza di metriche kähleriane su varietà compatte.     

Sulla influenza della polarizzazione delle radio-onde nei fenomeni di interazione ionosferica

Riassunto Si studia l'influenza della polarizzazione delle radio-onde su alcuni fenomeni non lineari nella ionosfera tramite una nuova e più completa relazione funzionale fra i vettori densità di corrente e campo elettrico. Tale studio riguarda la comparsa di onde di banda laterale e la loro dipendenza dalle direzioni di polarizzazione delle onde interagenti.

---

Summary The influence of radio wave polarization on some nonlinear phenomena in the inosphere is studied through a new and more complete functional relation between current density and electric field vectors. This study is concerned with the occurrence of ?sideband? waves and their dependence on the polarization directions of interacting waves.

     

Nuovo teorema dei 2n momenti e sua espressione sintetica

Sunto La determinazione degli sforzi in una travatura reticolare iperstatica con aste mutuamente incastrate agli estremi, viene di solito affrontata ricorrendo al? teorema dei quattro momenti ? : il quale, com'è ben noto, collega fra loro imomenti di estremità di due asie consecutive e glispostamenti dei nodi di quelle aste. Momenti e spostamenti non interessano in egual misura, poichè soltanto i primi intervengono nella verifica di stabilità della travatura. Atteso dunque che gli spostamenti figurano nel problema come incognite ausiliarie, ci siam proposti di eliminarli addirittura nello studio della travatura, soslituendo al teorema dei quattro momenti, una nuova relazione la quale interessii soli momenti di estremità. Di questa nuova relazione abbiamo dato una facile interpretazione geometrica, atta a semplificarne l'uso. Al testo fa seguito un esempio di applicazione ad un problema concreto. La presente ricerca fu presentata nella mia tesi di laurea alla R. Scuola d'ingegneria di Roma, nel Novembre 1931.     

Risoluzione, in serie semplice, della lastra rettangolare appoggiata, sottoposta all'azione di un carico concentrato comunque disposto

Sunto. La soluzione in serie semplice è ricavata, mediante passaggio al limite, partendo da una lastra composta di tre striscie: le laterali scariche e la centrale gravata da una forza distribuita secondo una retta trasversale. Lo svolgimento è completato dalla dimostrazione della legittimità della soluzione trovata, e da una discussione circa la convergenza delle varie serie esprimenti le caratteristiche geometriche e statiche della superficie deformata. La soluzione esposta, salvo la forma analitica più semplice e feconda di maggiori possibilità applicative e deduttive, coincide con quella data dalNavier per mezzo di una serie doppia trigonometrica.     

On the distribution of complex numbers according to their transcendence types

Summary For each complex number its transcendence type is defined as a non-negative real number, which supplies a measure of its approximability by algebraic numbers. The distribution of complex numbers according to their transcendence types is studied and the existence of complex numbers with a given transcendence type is proved.

---

Sunto Per ogni numero complesso è definito il suo tipo di trascendenza come un numero reale non negativo che fornisce una misura della sua approssimabilità mediante numeri algebrici. Si studia la distribuzione dei numeri complessi in relazione al loro tipo di transcendenza e viene dimostrata l'esistenza di numeri complessi aventi tipo di trascendenza assegnato.

     

Sottopiani di Baer di un piano di MoufangT e non derivabilità diT

Riassunto è noto che il problema della derivabilità di un piano proiettivo nel senso di Ostrom, è strettamente legato alla esistenza di sottopiani di Baer. Il proposito di questa nota, è quello di risolvere la questione della derivabilità dei piani di Moufang, ossia di tutti quei piani di traslazione coordinatizzati da anelli di divisione alternativi propri. Dopo aver richiamato la rappresentazione di Andrè di un piano di MoufangP, vengono caratterizzati i sottopiani di Baer diP, come le sottostrutture diP coordinatizzate da sottoalgebre di quaternioni dell'anello di divisione alternativo diP. Si dimostra quindi cheP non è derivabile.

---

Summary It is known that the problem of derivability of a projective plane in the sense of Pstrom, is closely linked with the existence of the Baer subplanes. The end of this note is to solvo the question of the derivability of the Moufang planes, that is the translation planes coordinatized by the alternative division rings. At first we recall the Andrè representation of a Moufang planeP, then the Baer subplanes ofP are characterized as the substructures ofP coordinatized by the quaternions subalgebras of the alternative division ring coordinatizingP. Then we prove thatP is not derivable.

---

---

Lavoro eseguito nell'ambito dei programmi di ricerca del G.N.S.A.G.A. durante il periodo di godimento di una borsa di addestramento del C.N.R.     

A two phase Stefan problem with flux boundary conditions

We studied a two phase Stefan problem in a infinite plane slab, when the thermal fluxes are assigned on the two limiting planes. We proved existence and uniqueness of the solution upon minimal smoothness assumptions upon the initial and boundary data, and we demonstrated the continuous and monotone dependence of the solution on the data. In sec. 5 we studied in which cases one of the two phases disappears and the asymptotic behavior in the cases in which the two phases exist for all time.

---

Riassunto Si studia un problema di Stefan a due fasi in uno strato piano indefinito quando si suppongono assegnati i flussi termici sui piani che delimitano lo strato stesso. Viene dimostrata l’esistenza e l’unicità della soluzione con ipotesi assai generali sui dati iniziali ed al contorno del problema, nonchè la dipendenza continua e monotona della soluzione da tali dati. Si esaminano infine i casi in cui una delle due fasi può sparire ed il comportamento asintotico in caso di permanenza delle due fasi.

---

---

The research was supported in part by the National Science Foundation contract G1 15724 and the NATO Senior Fellowship program.

---

Entrata in Redazione il 14 settembre 1970.     

Soluzioni periodiche di una classe di equazioni differenziali del terz’ ordine quasi lineari

Sommario. Si studia il problema della esistenza di soluzioni armoniche per una classe di equazioni differenziali periodiche del terz’ ordine di tipo quasi lineare, e si stabilisce un criterio di esistenza che estende precedenti risultati. Ricerca eseguita nell’ambito del Gruppo di Ricerca n. 11 del Comitato per la Matematica del C. N. R.     

Il teorema di rotocontrazione per una classe di autoomeomorfismi della corona circolare

Sunto In questa Memoria sono ripresi in esame quegli autoomeomorfismi di una corona circolare, che non ammettono punti uniti e che applicano le due circonferenze estreme ciascuna su se stessa. Per questi autoomeomorfismi viene indicata una notevole precisazione di un risultato recente; e per quelli, che non hanno punti uniti nemmeno nei rispettivi quadrati, e che soddisfanno, insieme coi loro inversi, ed in una certa metrica, a una condizione lipschitziana opportuna, sarà indicato un risultato forse definitivo. Maggiori particolari si possono trovare nella prefazione, che naturalmente costituisce il vero riassunto della Memoria.     

Grafici minimi completi

Riassunto Si riconsidera il problema della esistenza di soluzioni della equazione delle superficie minime su tutto lo spazio. Si presenta un metodo che, con ulteriori studi, potrebbe portare ad associare ad ogni cono minimo singolare una soluzione della equazione delle superficie minime su tutto lo spazio, intendendo che a coni diversi sono associate soluzioni diverse. è sottinteso che parliamo sempre di soluzioni non banali, cioè non lineari.

---

Summary We reconsider the problem of the existence of non trivial solutions for the minimal surface equation in the whole space. We present a method which might lead to the proof of the existence of a non trivial solution for the minimal surface equation in the whole space for each singular minimal cone.

     

Homoclinic and heteroclinic solutions for a class of two dimensional Hamiltonian systems

Summary The problem of the existence of homoclinic and heteroclinic solutions for a class of two dimensional Hamiltonian systems, calledcanyon-like, is discussed. Some basic properties, that are helpful in the qualitative analysis of dynamics, are discussed before stating the principal existence properties for the separatrix solutions. A schematic representation of the dynamics useful for obtaining an immediate sketch of the phase portrait and in computer applications, is proposed. It has been shown how the 1 d.o.f. conservative mechanical systems have a canonical canyon-like structure.

---

Sommario E' stato discusso il problema dell'esistenza di orbite omocline ed eterocline per una particolare classe di sistemi Hamiltoniani bidimensionali, denominatitipo-canyon. Si sono mostrate alcune proprietá elementari utili nello studio qualitativo della dinamica. Successivamente si sono discusse le principali proprietà di esistenza per le orbite separatrici. Si é proposta una rappresentazione schematica della dinamica che risulta utile sia per ottenere immediatamente in modo qualitativo il ritratto di fase sia per le applicazioni al computer. Si é mostrato come la classe dei sistemi meccanici conservativi ad un grado di libertà possieda una struttura di tipo-canyon canonica.

     

Sulla regolarizzazione delle soluzioni del problema di Cauchy-Dirichlet per un'equazione parabolica di ordine superiore

Sunto Si studia il problema non omogeneo di Cauchy-Dirichlet per un'equazione parabolica di ordine superiore, in forma variazionale, provando un teorema di esistenza ed unicità ed una maggiorazione analoga a quella contenuta nel teorema del massimo modulo stabilito da C. Miranda per le equazioni ellittiche di ordine superiore. Entrato in Redazione il 12 luglio 1971. Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei gruppi di ricerca del C.N.R.     

Diffusive-dispersive traveling waves and kinetic relations III. An hyperbolic model of elastodynamics

This is the third part of a series devoted to the existence, uniqueness, monotonicity, and asymptotic properties of the traveling wave solutions of diffusive-dispersive conservation law. In this part, we focus attention on a nonconvex hyperbolic model of two conservation laws arising in nonlinear elastodynamics and including nonlinear viscosity and capillarity terms. On one hand, using the techniques developed earlier, we study the properties of the corresponding classical and nonclassical shock waves and their corresponding kinetic relation. Several new features are found for this (hyperbolic) model: First of all, we distinguish here between a kinetic function and an inverse kinetic function; the latter is always globally defined but may fail to be globally invertible. Second, we show that shock waves with sufficiently small amplitude are always classical, for a fixed ratio of diffusion and dispersion. Third, we determine here the asymptotic behavior of the kinetic function for both shocks with large and small amplitudes.

---

Sunto  Questa è la terza parte di una serie di lavori dedicati all'esistenza, unicità, monotonia e proprietà asintotiche delle soluzioni d'onda di propagazione per leggi di conservazione diffusive-dispersive. In questa parte, l'attenzione è focalizzata su un modello iperbolico non convesso di due leggi di conservazione che sorgono in elastodinamica non lineare, che tengono conto della viscosità non lineare e dei termini di capillarità. Da una parte, utilizzando le tecniche precedentemente sviluppate, studiamo le proprietà delle corrispondenti onde d'urto classiche e non classiche e le loro corrispondenti relazioni cinetiche. Diverse nuove proprietà sono state trovate per questo modello (iperbolico). Innanzitutto, qui distinguiamo tra una funzione cinetica ed una funzione cinetica inversa, quest'ultima essendo sempre definita globalmente ma possibilimente non sempre globalmente iinvertibile. In secondo luogo, mostriamo che onde d'urto con ampiezza sufficientemente piccola sono sempre classiche, per un valore fissato del rapporto tra diffusione e dispersione. In ultimo, determiniamo il comportamento asintotico della funzione cinetica per onde d'urto aventi sia ampiezza grande sia piccola.