一个有趣的代数式

a~3+b~3+c~3-3abc是一个有趣的代数式。它是一个三次齐次式,整齐、简单、易记,更重要的是它具有很多有用的性质。性质1° a~3+b~3+c~3-3abc能被a+b+c整除。事实上,a~3+b~3+c~3-3abc =(a+b+c)(a~2+b~2+c~2-db-bc-ca) 所以 a~3+b~3+c~3-3abc能被a+b+c整除。性质2°设a,b,c为非负实数, 则a~3+b3+c~3≥3abc,当且仅当a=b=c时取等号。证明∵a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca =1/2〔(a-b)~2+(b-c)~2+(c-d)~2〕∴a~3+b~3+c~3-3abc=(a+b+c)·1/2〔(a-b)~2+(b-c)~2+(c-a)~2〕∵a≥0,b≥0,c≥0,且1/2〔(a-b)~2+     

如何求代数式的值

本文以全国各地初中数学竞赛题为例,阐明一些求代数式值的基本方法。一、根据条件和结论之间的联系求值例 1 设a-b=2 ~3(1/2),b-c=2-3~(1/2),求a~2 b~2 c~2-ab-bc-ac的值(85年全国初中联赛)。分析:由题设a-b=2 ~3(1/3),b-c=2-3~(3);可得a-c=4.由上可得a~2 b~2-2ab=7 4~(1/2);b~2 c~2-2bc=7-4~3(1/2) ;a~2 c~2-2ac=16. 上述三式相加得a~2 b~2 c~2-ab-bc-ac=15. 紧紧抓住题设与结论之间的内在联系进行转化是求有条件的代数式的值的基本方法。也是解数学题的基本思维方法之一。     

三角形不等式研究的等价约化法

本文以三角形不等式 a~2(b+c-a)+b~2(c+a-b)+c~2(a+b-c)≤3abc ①(a,b,c为△ABC三边)的证明及种种等价变形为例,探索等价约化法的规律,并研究相关不     

构造二次函数求最值及配方法

这是美国第七届中学生数学竞赛中的一题:已知a、b、c、d、e是满足a b c d e=8,a~2 b~2 c~2 d~2 e~2=16的实数。试确定e的最大值。解法1 构造二次函数 f(x)=4x~2 2(a b c d)x (a~2 b~2 c~2 d~2) (x a)~2 (x b)~2 (x c)~2 (x d)~2≥0 又二次项系数4>0,所以有判别式△=4(a b c d)~2-16(a~2 b~2 c~2 d~2)≤0 又a b c d=8-e,a~2 b~2 c~2 d~2=16-e~2,故有(8-e)~2-4(16-e~2)≤0。解得0≤e≤16/5,故e的最大值为16/5。解法2 (a-b)~2≥0(?)a~2 b~2≥2ab 同理有a~2 cb~2≥2ac,a~2 d~2≥2ad,b~2     

华罗庚留给读者的两个不等式之初等证明

在文[1]中,华罗庚留给读者证明的两个不等式为:6(|ad-bc|)~(1/2)≤2(a~2+c~2)~(1/2)+(a~2+c~2+3(b~2+d~2)-2 3~(1/2)(ab+cd))~(1/2) +(a~2+c~2+3(b~2+d~2)+2 3~(1/2)(ab+cd))①16|ad-bc|~3≤(a~2+c~2){[a~2+c~2+3(~2+d~2)]~2-12(ab+cd)~2}②在文[2]中,该文作者通过构造引理:设x≥u≥0,则16(x-u)~(3/2)≤(1+3x)~2-12u证明了上述两个不等式.但遗憾的是,证明过程相当长,且需要     

完全平方公式在解三角形中的应用

本文试用完全平方公式 (a±b)~2=a~2±2ab b~2来解三角形。一、解直角三角形如果我们把a、b看成一个直角三角形的两条直角边,那么,由勾股定理:a~2 b=c~2;直角三角形的面积公式:S=1/2ab,即ab=2S。将它们代入上面公式得 (a b)~2=c~2 4S (1) (a-b)~2=c~2-4S (2) 在(1)、(2)两式中,S表示直角三角形的两积,c表示斜边,a b、a-b分别是两条直角边的和与差。可以看出(1)、(2)两式分别给出了直角三角形的两条直角边的和,差与斜边、面积之间的关系。据此,只要已知c、S、a b和a-b这四个量中的任何两个,我们就可以用(1)、     

计算机自动生成数学命题——以三元均值不等式的加强为例

<正>数学命题是数学研究的重要部分.如果没有好的题目源源不断地“生产”出来,解题研究也难以持续发展.然而,发现一个好的命题并不容易.设a,b,c为正数(下同),求证:a~3+b~3+c~3≥3abc+a (b-c)~2+b (c-a)~2+c (a-b)~2.这是华东师范大学《数学教学》(1985年第三期)上的一题.供题人冷岗松教授在《数学竞赛试题的若干命题策略》中讲述此题的发现经历.他给学生讲解瑞典1983年试题abc≥(-a+b+c)·(a+b-c)(a-b+c)时,一个学生采取“暴力展开”,于是有了发现.     

一道2015年初中数学联赛试题的换元解法及联想

<正>2015年全国初中数学联合竞赛(初三年级)试题的压轴题为:已知实数a,b,c满足条件a/(b-c)²+b/(c-a)2+b/(c-a)²+c/(a-b)2+c/(a-b)²=0,求代数式a/(b-c)+b/(c-a)+c/(a-b)的值.组委会给出的解答莫名其妙地给出一个等式:     

用“互叠法”证明分式不等式

对于一类分式不等式的证明题,如果大胆将左、右两边“互相叠加”,兴许产生意料不到的奇迹! 定理1 欲证明不等式：P＞Q, 只须证明不等式：P Q＞2Q。这个定理1太浅显了。例1 设a＞b＞c,求证：a~2/(a-b) b~2/(b-c)＞a 2b c。(第32届乌克兰数学竞赛试题) 证明设P=a~2/(a-b) b~2/(b-c),Q=a 2b c；考察新不等式：P Q=(a~2/(a-b) a-b) (b~2/(b-c) b-c) (2b 2c)＞2a 2b (2b 2c)=2(a 2b c)=2Q,显然,P Q＞2Q,依定理1,知P＞Q,故原不等式获证。 (注：此处不能取“=”,因为a~2/(a-b) a-b≥2a,b~2/(b-c) b-c≥2b等号不能同时成立)     

Weisenbck不等式在三维空间中的推广

设△ABC的三边分别为a、b、c,面积为S,则 a~2 b~2 c~2≥4(3~(1/2)S)当且仅当a=b=c时等号成立,这就是著名的Weisenbock不等式。对此不等式,本文将其推广到三维空间中的四面体,六面体,八面体,十二面体和二十面体中去。定理1 若S_1,S_2,S_3,S_4,V分别表示四面体ABCD的四个面的面积和体积,则     

拓广的Wietzenboeck不等式

在三角形ABC中,三边为a,b,c,面积为S,则有 a~2+b~2+c~2≥4 3~(1/2)S.其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.这就是Weitzenboeck不等式. 对于两个三角形ABC和A′B′C′,其边分别为a,b,c,和a′,b′,c′,面积分别为S和S′,则有     

两道相关的竞赛题

<正>赛题1 (第20届伊朗奥林匹克竞赛试题)已知正数a,b,c满足a~2+b~2+c~2+abc=4,求证:a+b+c≤3.赛题2 (2011年全国高中数学联赛B卷加试题三)设实数a,b,c≥1,且满足abc+2a~2+2b~2+2c~2+ca-cb-4a+4b-c=28,求a+b+c的最大值.这是两道相关的竞赛题.下面给出它们的简洁解法并做了条件与结论的优化.1相关证明     

《“1984”趣题》的习题解答

1 证明∵(1·2·3…1984)~(1/1984)<1/1984 sum from k=1 to 1984 k=1/1984·(1984(1+1984))/2=1985/2, 上式两边1984次方,得 1984!<1985~(1984)·2~(-1984) 2 解∵ 1985能被5整除。又 1984~(1984)=(1985-1)~(1984)=1985~(1984)-C_(1984)~1·1985~(1983)+C_(1984)~2·1985~(198)~2+…-C_(1984)~(1983)·1985+1 ∴ 1984~(1984)除以5所得的余数是1。 3 证明由题设,得 l~2=a~2+b~2+c~2 且l>a l>b,l>c。∴l~(1984)=l~2、l~(1982)=(a~2+b~2+c~2)l~(1982)=a~2l~(1982)+b~2·l~(1982)+c~(2·1982)≥a~2·a~(1982)+b~2b~(1982)+c~2·c~(1982)=a~(1984)+b~(1984)+c~(1984) 4.证(k≥1)     

Weitzenboeck不等式的加权推广

Weitzenboeck不等式揭示了三角形三边平方和与面积之间的不等量关系,即若三角形三边为a,b,c.,面积为S,则 a~2 b~2 c~2≥4(8~(1/2))S, 当且仅当a=b=c,即三角形为正三角形时等号成立. 本文试对这一不等式作加权推广,有定理设三角形三边为a,b,c,面积为S,λ_1、λ_2、λ_3都为正数,则     

利用二直线重合的条件解三角题

二直线重合的条件在解几中已有广泛的应用,下面举几个三角方面的例子: 例1 消去θ acosθ+bsinθ=c, acos3θ+bsin3θ=c. 解:设直线ax+by-c=0 ①显然,点(cosθ,sinθ)、(coc3θ,sin3θ)在此直线上,又过这二点的直线方程可写成 (y-sinθ)/(x-cosθ)=(sinθ-sin3θ)/(cosθ-cos3θ),即cos2θ·x+sin2θ·y-cosθ=0 ②由于①、②为同一直线故可得a/cos2θ=b/sin2θ=c/cosθ,∴a~2/cos~22θ=b~/sin~22θ=c~2/cos~2θ,∴(a~2+b~2-2c~2)~2=a~2(a~2+b~2).     

a~3 b~3 c~3-3abc的综合应用

在因式分解当中,有一个很重要的公式：a~3 b~3 c~3-3abc=(a b c)(a~2 b~2 c~2- ab-bc-ca)．在做一些复杂题时,往往能因为它而化难为易,化复杂为简单．它的特殊之处在于两点：①当a b c=0时,a~3 b~3 c~3=3abc．②当a b c≠0,a~3 b~3 c~3=3abc时,     

一个新的加强的不等式——一道国际竞赛题的推广

第六届IMO第2题,是一道耐人寻味的问题,即证明a~2(b+c-a)+b~2(c+a-b)+c~2(a+b—c)≤3abc.原题还要求a、b、C能构成一个三角形,而事实上条件还可以放宽,即只需a、b、c≥0即可.现在当然还看不出它有何奥妙之处,田延彦把这个不等式转化为一个完全等价的形式:     

漫谈反例与数学教学

一、反例在教学中的意义在数学教学中恰当地运用反例,将能更集中学生的注意力,从而收到更佳的效果。比如,在讲平方根时,可讲解一个诡论题(证明中的反例):证明任意两个实数a、b都相等。证明:设a、b的算术平均数为c,则a+b=2c,两边同乘以(a-b)得:a~2-b~2=2ac-2bc;两边同加上b~2-2ac+c~2得:a~2-2ac+c~2=b~2-2bc+c~2,即(a一c)~2=(b-c)~2。两边开平方后得:a-c=b-c,∴C=b。这是一个违反常理的命题,它显然是错误的。但通过一系列的“推理论证”,它竟然成立了。这样,就不能不引起大家的深思。应当指出,结合数学教学内容,恰当地介绍一些诡论题,对学生启发性是很大     

两组三角形不等式的代数“背景”

劳格、杨之先生在《初等数学研究问题三议》(《中等数学》1991年第1期)中指出:关于不等式的研究,无论几何不等式,还是代数不等式,令人目不暇接:面对千姿百态的不等式,不少人开始向“综合”方面探索,如寻求代数与几何不等式的内在联系,寻求“母不等式”,寻求不等式赖以产生的通用方法等等,尽管目前“综合”的前景还不明确,但已激起了广大初数爱好者的热情和兴趣,我们发现: (一) Weisnbock不等式: a~2+b~2+c~2≥3~(1/4)△ (1)和Finslev——Hadwiger不等式:     

巧用一个恒等式解题举例

<正>在中学数学中有这样一个恒等式,即a²+b2+b²+c2+c²-ab-bc-ca=1/2[(a-b)2-ab-bc-ca=1/2[(a-b)²+(b-c)2+(b-c)²+(c-a)2+(c-a)²].这个等式有三大特点:(1)结构很有规律;(2)便于记忆;(3)应用广泛.在解题中,有时直接用等式,有时创造条件转化后用等式.现举例说明.例1已知x-y=a,z-y=10,则代数式x2].这个等式有三大特点:(1)结构很有规律;(2)便于记忆;(3)应用广泛.在解题中,有时直接用等式,有时创造条件转化后用等式.现举例说明.例1已知x-y=a,z-y=10,则代数式x²+y2+y²+z2+z²-xy-yz-zx的最小值是().