曲线对称性质选择题

(一)作以下替代,若f(x,y)=0不变,判断其图形的对称性质.1.以-x代x.2.以-y代y.3.以-x代x,同时以-y代y.4.以2a-x代x.5.以2b-y代y.6.以2a-x代x,同时以2b-y代y.7.将x与y互换.8.以-y代x,同时以-x代y.(二)曲线与曲线问的对称性9.曲线f(x,y)=0与曲线f(-x,y)=0.10.曲线f(x,y)=0与曲线f(x,-y)=0.     

浅谈曲线系方程的应用

设f(x,y)=0,g (x y)=0 是两曲线的方程,求证方程f(x y)+λg(x y)=0表示经过这两条曲线的交点的曲线。这是十年制学校高中第二册复习题六的第一题的第(4)小题它的正确性,我们已经证明,还可证明其逆命题也成立。我们把方程f(x,y)+λg(x,y)=0(λ为任何实数)叫做经过两曲线f(x,y)=0和g(x,y)=0的交点的曲线系方程。(不包括曲线g(x,y)=0) 直线系方程和圆系方程是曲线系方程的两个     

二元一次绝对值方程构图的两个关键定理

在曲线、曲面方程f(x,y)=0、f(x,y,z)=0中,如果f的某些含有变量的部分上,带有绝对值符号,就称f=0为含有绝对值的曲线或曲面方程,简称绝对值方程.……     

曲线与其曲率圆

设一条曲线的方程为y=f(x).该曲线在点M(x_0,y_0)处的曲率圆在切点附近的一支曲线方程设为y=g(x),并设f(x)在x=x_0附近有三阶连续导数,且f″(x_0)≠0.将f(x)-g(x)在x=x_0处展开为二阶泰勒公式(注意到 f(x_0)=g(x_0),f′(x_0)=g′(x_0)及f″(x_o)=g″(x_0):     

关于隐函数样条的凸性分析

本文讨论由隐函数样条F(x)=αg~h(x)-(1-α)f(x)=0,x∈R~(?),0<α<1定义的函数(Functional spline)的凸性,得到:1)当 g(x)=l_0(x),f(x)=multiply from j to k l_j(x),其中,l_j(x)=sum from i=1 to n a_(ij)x_i+b_j 是线性的,且 (?)(x)≥0围成区域Ω,那么在Ω内,当 h>k 时,F(x)=αg~h(x)-(1-α)f(x)=0是凸的;2)在 R~2内,若 f(x,y)=0,g(x,y)=0定义两条凸曲线,那么隐函数样条不一定是凸的.但可以构造 f_1,g_1,使得 f_1与 f 定义同一条曲线,g_1与 g 也定义同一条曲线,而这时的隐函数样条是凸的.本文还给出了一个凸样条的充分条件.     

世界各地数学奥林匹克试题选登

1找到所有映射f:R→R,满足f(f(x) y)=f(x2-y) 4f(x)y,其中x,y∈R.解映射f(x)=0和f(x)=x2显然符合条件.下面证明不存在其它的映射符合要求.设映射f:R→R满足f(f(x) y)=f(x2-y) 4f(x)y(1)其中x,y∈R.令a=f(0).在(1)中取x=0则对任意y∈R,f(a y)=f(-y) 4ay(2)在(2)式中先取y=0,则有f(a)=a.取y=-a,则有a=a-4a2,即a=0.因此由(2)式知f是一个偶函数.在(1)式中令y=-f(x)及y=x2.比较其结果有4(f(x))2=4x2f(x).因而f(x)=0或f(x)=x2.现假设存在x0使得f(x0)≠0,则x0≠0及f(x0)=x02.因为f是偶函数.我们假设x0>0.令x为任意非零实数,在(1)式中令y=-x0,则…     

线段与圆锥曲线的公共点问题探讨

设线段P1P2的两个端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2),圆锥曲线G的方程为f(x,y)=Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F=0.则直线P1P2的两点式参数方程为x=x1 λx21 λ,y=y1 λy21 λ其中λ为P(x,y)分有向线段P1P2所成的比,即P1P=λPP2代入f(x,y)=0,并整理化简可得f(x2,y2)λ2 H·λ f(x1,y1)=0(1)其中H=2Ax1x2 B(x1y2 x2y1) 2Cy1y2 D(x1 x2) E(y1 y2) 2F.当f(x2,y2)=0时,P2在曲线G上,方程(1)退化为关于λ的一次方程.当f(x2,y2)≠0时,方程(1)的两根λ1,λ2分别是曲线G与直线P1P2的交点分P1P2所成的比,此时,若f(x1,y1)=0,则P1在曲线G上,方程(1)有一根λ…     

不动点的性质及应用

本文试图探索不动点问题的解题途径、规律和策略,权当对教材的补充.一、函数不动点的定义定义:对于函数f(x),若存在实数x0,满足f(x0)=x0,则称x0为f(x)的不动点.对此定义有两方面的理解(1)代数意义:若方程f(x)=x有实根x0,则y=f(x)有不动点x0.(2)几何意义:若函数y=f(x)与y=x有交点(x0,y0),则x0为y=f(x)的不动点.在实际问题中经常根据f(x)=x根据情况进行讨论,同时结合图形来求解有关不动点的问题.二、函数不动点的性质性质1:函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),-1不动点.证明:由f(x0)=x0,可得f-1(x0)=x0,所以x0是y=f-1(x)的不动点.性质2:定义在R的…     

曲线的交并方程在解题中的应用

过两曲线f_1(x,Y)=0与f_2(x,y)=0交点的曲线方程f_1(x,y)+λf_2(x,y)=0在统编教材中已作习题提出,笔者以为这两曲线并集的曲线方程f_1(x,y)f_2(x,y)=0亦同样应引起重视。因为前者固可在两高次曲线的交族中找到所需要的曲线,而后者则可将两低次曲线合并为高次曲线。这些都是解析法处理问题时常用的变形技巧。平面上,我们经常研究一直线1:f(x,y)=0     

四类基本初等函数性质的逆向探究

<正>学完高中数学必修一,我们知道,正比例函数f(x)=kx(k≠0)满足性质f(x+y)=f(x)+f(y),指数函数f(x)=a~x(a>0,a≠1)满足性质f(x+y)=f(x)f(y),对数函数f(x)=log_ax(a>0,a≠1)满足性质f(xy)=f(x)+f(y),幂函数f(x)=x~α(α∈R)满足性质f(xy)=f(x)f(y).然后,我们就会反过来想,满足这些性质的函数是唯一确定的吗?直到学习了导数,在     

二维抛物型方程的一族高精度分支稳定显格式

1 引言 在渗流、扩散、热传导等领域中经常会遇到求解二维抛物型方程的初边值问题 {(6)u/(6)=a((6)2u/(6)x2+(6)2u/(6)y2), 0＜x,y＜L,t＞0,a＞0u(x, y, 0) =φ(x, y), 0 ≤ x, y ≤ L (1)u(0,y,t) =f1(y,t),u(L,y,t) =f2...     

隐函数极坐标曲线数控绘图——正负法数控绘图(四)

本文利用直角坐标隐函数f(x,y)=0绘图方法来直接绘制极坐标隐函数f(ρ,θ)=0所对应的曲线。     

f(x_0,y_0)的几何意义及应用

设曲线L的方程为f(x,y)=Ax~2+Cy~2+Dx+Ey+F=0,与点P(x_0,y_0)不在曲线L上时,有f(x_0,y_0)=m≠0。本文研究m的几何意义,然后指出其在解题中的应用。 1 f(x,y)=Dx+Ey+F 定理l 设点P(x_0,y_0)到直线L:f(x,y)=0的距离为d,则|f(x_0,y_0)|=d·(D~2+E~2)~(1/2)。此定理的正确性明显,证明从略。     

让抽象函数现“型”

<正>有这么一道小题:已知函数y=f(x)(x∈(0,+∞))满足x,y∈(0,+∞),都有f(x·y)=f(x)+f(y)-1,且f(1/2)=0,求f(8).大部分同学会根据题中的条件用特值法先求出f(1)=1(令x=y=1),再求出f(2)=2(令x=2,y=1/2),进而求出f(4)=3,最后求出f(8)     

一种圆系及其应用

本文介绍和定直线、定圆相切于定点的圆系及其应用。命题设f(x,y)=0表示直线或圆,P_o(x_o,y_o)是f(x,y)=0上的一点,那么g(x,y)≡(x-x_o)~2 (y-y_o)~2 λ·f(x,y)=0是和f=(x,y)=0相切于P_o点的圆。证明显然方程组 g(x,y)=0 f(x,y)=0有且仅有一组解x=x_oy=y_o 利用此命题解决一些与定直线、定圆相切于定点的圆的有关问题,思路简捷,解法清晰有避繁就简、化难为易之效。并举例如下。     

一类直线方程求法的探讨及应用

在圆锥曲线中,已知弦的定比分点,求弦所在直线的方程常见解法是利用直线的参数方程及参数的几何意义求解.当分点为弦的中点时,求弦所在直线的方程还有设所求直线斜率为k利用韦达定理及中点条件求出k值或者利用差换法求斜率等方法.这些解法运算量较大,不如下面两种解法简便。一、对称曲线作差法二次曲线f(x,y)=0中,以已知点M(x_0,y_0)为中点的弦如果存在,则弦所在直线的方程为f(x,y)-f(2x_0-x,2y_0-y)=0(*) 证明:设圆锥曲线的方程为f(x,y)=0,M(x_0,y_0)为已知点,如果曲线f(x,y)=0和     

争鸣

问题问题109已知函数f(x)满足:f(x y) f(x-y)=2f(x)·f(y),且f(0)≠f(π2)=0,求f(π)及f(2π)的值.解法1令x=y=0,得f(0)=1.令x=y=π2,得f(π)=-1.令x=y=π,得f(2π)=1.解法2令x=y=0,得f(0)=1.令x=32π,y=π2,得f(2π)=-f(π).再令x=y=π,得f(2π) 1=2f2(π),∴2f2(π) f(π)-1=0.∴f(π)=12或f(π)=-1,从而f(2π)=-12或f(2π)=1.问题出在哪里?问题110人教版高一数学(上)P8,有下面一段话:容易知道,对于集体A,B,C,如果A B,B C,那么A C.事实上,设x是集合A的任意一个元素,因为A B,所以x∈B,又因为B C,所以x∈C,从而A C.这个证明严格吗?…     

特取法解有关函数方程

在允许取值范围内赋变量予特殊值,从而使问题获解的方法叫“特取法”,下面谈谈特取法解有关函数方程的几个问题。一、证明函数f(x)的周期性例1设函数f(x)定义在整数集,且满足f(0)=1,f(1)=0,f(x_1 x_2) f(x_1-x_2)=2f(x_1)f(x_2),证明f(x)为周期函数。证明特取x_2=1,可得f(x_1 1) f(x_1-1)=2f(x_1)f(1)=0 再用x_1 2代入x_1且特取x_2=1,可得f(x_1 3) f(x_1 1)=2f(x_1 2)f(1)=0 由上述两式得f(x_1 3)=f(x_1-1) 令x_1=x 1得f(x 4)=f(x) 故f(x)是以4为周期的函数。二、证明函数f(x)的奇偶性例2已知f(x y) f(x-y)=2f(x)·f(y)对于一切实数X、y都成立,且f(0)≠0,     

一道习题的互动教学及反思

正已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对于任意的正实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y),又当x1时,f(x)0,f(4)=1,(1)求证f(1)=0;(2)求f(1/16);(3)解不等式f(x)+     

综合题新编选登：题136

函数f(x)对一切实数x，y均有f(x y)-f(Y)=x(x 2y 1)成立，且f(1)=0．