四边形的余弦定理与六点问题

如图 1,在四边形ＡＢＣＤ中 ,设ＤＡ =ａ ,ＡＢ =ｂ ,ＢＣ =ｃ,ＣＤ =ｄ ,∠ＤＡＢ =α ,∠ＡＢＣ =β ,则有图 1　四边形ｄ2 =ａ2 ｂ2 ｃ2 - 2ａｂｃｏｓα- 2ｂｃｃｏｓβ 2ａｃｃｏｓ(α β) .这就是四边形的余弦定理 .证明很简单 ,把四边形ＡＢＣＤ放入直角坐标系 ,则有Ａ( 0 ,0 ) ,Ｂ(ｂ ,0 ) ,Ｃ (ｂ ｃｃｏｓ(π - β) ,ｃｓｉｎ(π - β) ) ,Ｄ( -ａｃｏｓ(π -α) ,ａｓｉｎ(π -α) ) .由此 ,并利用三角公式 ,容易得到结论 .具体推导见文 [1] .我们利用四边形余弦定理证明 :若平面上六点组成一凸六边形 ,最大边与最小边之…     

余弦定理在四面体的一个推广

余弦定理　在△ABC中 ,设内角A ,B ,C的对边分别为a ,b ,c,则b2 =a2 c2 - 2accosB .( 1 )文 [1 ]给出了余弦定理在四面体的一个推广如下 :定理 1 　在任意四面体中 ,它的一个面的面积的平方 ,等于其他三个面的面积的平方和 ,减去这三个面中每个面的面积与它们所夹二面角的余弦的积的和的两部 .文 [2 ]给出了余弦定理在四边形的一个推广如下 :定理 2　设凸四边形ABCD的四边长依次为AB=a ,BC=b ,CD=c,DA =d ,两对角线长AC =p,BD =q ,则(pq) 2 =(ac) 2 (bd) 2 -2abcdcos(B D)(2 )本文给出余弦定理在四面体的一个有别于定理 1的推…     

余弦定理与向量

1如以x_a,x_b,x_c分别表示三角形三边a,b,c上首尾相接的向量,则x_a x_b x_c=0.所以内积(x_a.x_a)=[-(x_b x_c)]-[(x_b x_c)]或x_a~2=(x_b x_c)~2=x_b~2 x_c~2 2(x_b.x_c).其标量式:a~2 b~2 c~2 2bc.cos(π-A)=b~2 c~2-2bccos A即为三角形的余弦定理.进而考虑任一有向角折线:∑n     

一个四边形定理在三维空间的推广

美国数学家R．A．约翰逊在其名著[1]中，介绍了圆内接四边形的一个美妙性质，即     

凸四边形的一个面积公式

1问题的提出 众所周知,如果已知三角形的两边a1,a2及其夹角θ1（如图1）,我们便有三角形面积的公式如下：     

凸四边形面积公式的另证

贵刊文[1]用分的方法把四边形面积分成两个三角形的面积,使用正余弦定理结合三角形的面积公式证明了凸四边形的一个面积公式：     

四边形重心的一个性质及推广

本文运用复数方法，先证明关于四边形重心的一个有趣性质，然后将这一性质推广至一般情形，并说明其应用。     

正余弦定理及其应用

在三角形中,由正弦定理和余弦定理可得出一个有用的结论,不妨称之为正余弦定理．     

余弦定理的证明方法赏析

1余弦定理 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.     

正、余弦定理的应用

正、余弦定理是解斜三角形的工具,应用十分广泛．关于其基本应用教材中已经讲过,这里不再重复．本文专门介绍它们的巧用、活用、综合用,那么怎样应用正、余弦定理呢？     

例说正、余弦定理的应用

正、余弦定理是研究三角形的重要理论根据 ,并且是高考的重点内容之一 ,本文仅就这两个定理的应用例说如下 .1　两个定理的应用范围1)正弦定理主要应用于 :已知两角和任一边 ,求其它两边和一角 ;已知两边和其中一边的对角 ,求另一边的对角 (进一步可求出其它的边和角 .必须明确     

关于四边形面积最大值的一个不等式

文[1]建立了如下四边形边长与面积的一个不等式：设凸四边形ABCD的边长和面积分别为a，b，C，d和△。     

平面四边形一个性质的推广及其向量证法

本文用向量方法证明平面四边形的一个性质，并推广到空间．     

正余弦定理相结合的一个妙用

在ΔABC中，由正弦定理有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R为外接圆的半径)，得a=2RsinA，b=2RsinB，C=2RsinC．又由余弦定理得a^2=b^2 c^2-2bc cosA，故有sin^2A=sin^2B sin^2C-2sinBsinC cosA，同理有sin^2B=sin^2A sin^2C-2sinAsinCcosB,sin^2C=sin^2A sin^2B-2sinAsinBcosC．这三个式子在解题中有很大的作用．     

椭圆内接四边形的一个性质及其推广

本文给出椭圆内接四边形的一个定值性质 ,并将性质推广到椭圆内接n边形 .一、定理及其推论定理 1 :自椭圆上任意一点到其内接四边形两双对边距离之积的比为定值 .图 1证明 :如图 1设Ai(acosai,bsinai) (i=1 ,2 ,3 ,4)为椭圆内接四边形的四个顶点 ,P(acosθ,bsinθ)为椭圆上任意一点 ,不妨设上述五点中任意两点的连线均与x轴不垂直 ,则 :KA1 A2 =bsina1 -bsina2acosa1 -acosa2=-bcosa1 +a22asina1 +a22所以 ,直线A1 A2 方程为 :y -bsina1 =-bcosa1 +a22asina1 +a22(x-acosa1 )因此 :xbcos a1 +a22 +yasin a1 +a22-abcosa1 -a22 =0又设P到…     

用余弦定理构造三角形解题

余弦定理是解决有关三角形问题的有力工具 ,其实它还可用于非三角形问题的求解 .在数学解题中 ,常会碰到形如“ａ2 ｂ2 ｋａｂ =ｃ2 (ａ ,ｂ ,ｃ >0 ,|ｋ|<2 )”的结构 ,这时可类比余弦定理 ,进行几何代换 ,从而把代数问题转化为三角形问题 ,使比较隐蔽的关系直观化 ,实现了难题巧解 ,下面举例说明 .1　三角求值例 1　 (1995年全国高考题 )求ｓｉｎ2 2 0° ｃｏｓ2 50° ｓｉｎ2 0°ｃｏｓ50°的值 .解　ｓｉｎ2 2 0° ｃｏｓ2 50° ｓｉｎ2 0°ｃｏｓ50°=ｓｉｎ2 2 0° ｓｉｎ2 4 0° ｓｉｎ2 0°ｓｉｎ4 0°=ｓｉｎ2 2 0° ｓｉ…     

对正弦定理和余弦定理的研讨北大核心

正弦定理和余弦定理是解三角形的理论根据．解三角形有着广泛的实际实用,对培养学生分析问题和解决问题的能力很有裨益,因而每年高考总有这方面的试题．然而笔者在教学实践中感到,执教者往往对这两个定理的认识和理解比较肤浅,有必要对之进行研讨,以提升执教者的教学业务水准．     

四边形的内接三角形的一个性质

图1我们先了解关于圆内接三角形的一个性质.如图1,△x1y1z1为⊙O的内接三角形,P为圆内一点,x1P、y1P、z1P与圆分别交于x2、y2、z2.则△x1y1z1△x2y2z2=Px1·Py1·Pz1Px2·Py2·Pz2.注本文等式中的“△xyz”均表示△xyz的面积.简证设⊙O的半径为R,连z1O并延长交圆于y1′,连x1y1′,则∠x1y1z1=∠x1y1′z1.于是△x1y1z1=12x1y1·y1z1·sin∠x1y1z1=12x1y1·y1z1·sin∠x1y1′z1=12x1y1·y1z1·x1z12R=14Rx1y1·y1z1·x1z1.同理△x2y2z2=14Rx2y2·y2z2·x2z2.故△x1y1z1△x2y2z2=x1y1·y1z1·x1z1x2y2·y2z2·x2z2=     

n-三角形网格中三边形、四边形的计数

1问题的提出 n-三角形网格，就是在一个三角形内，平行于三边分别作n-1条平行线，且将边竹等分，所形成的三角形网格图．如图1为2-三角形网格．[第一段]