斜消法变换与结式计算的简化

我们知道,在多项式理论中,结式是个重要的概念,结式的计算有着多方面的应用。但是,一个n次多项式f(x)与另一个m次多项式g(x)的结式R(f,g)计算,涉及到一个(m+n)阶行列式的计算,这是十分麻烦的事。本文提供的方     

一元四次整系数多项式的因式分解法

仅对一元四次整系数多项式在实数域内分解问题进行了研究,根据分解后其系数应为二次代数整数的特点,以及导出的二次方程判别式的完全平方性质,得出了一元四次整系数多项式在实数域内能分解成两个二次因式乘积的条件及方法,从而解决了一元四次整系数多项式在实数域内的因式分解问题.     

一个复杂而有用行列式的简便计算

利用一元多项式的微分理论给出了一个繁杂行列式的简便计算 .在文章最后我们给出该行列式的几个应用 .     

判定直线与椭圆的公共点的误区

我们知道当直线与椭圆相交时，公共点的个数判定，可回归到联立它们的方程整理所得的一元（含x或Y）二次方程的根的个数问题，即用判别式的代数法进行研究。     

双变元多项式系统的混合结式矩阵的项公式

结式矩阵是消去理论中的重要工具之一,混合Cayley-Sylvester结式矩阵是其中一类结式矩阵.本文从混合结式矩阵的定义出发,对于双变元多项式系统,利用行列式的性质对主要步骤进行简化,避免多项式除法,从而提高整体混合结式的计算效率.     

多变元Sylvester结式与多余因子

经典的Sylvester结式方法是代数几何的一种基本消元方法,但它一次只能处理1个变元2个方程的多项式系统.本文将Sylvester结式扩展到n个变元n+1个方程的多项式系统,并且证明了新的多变元的Sylvester结式包含在原多项式系统的理想中.同时,给出了一种去掉其部分多余因子的方法.     

介绍两种行列式的计算方法

<正> 在高等代数课程中,n阶行列式的计算是一个主要内容。但是n阶行列式的计算还没有一个普遍适用的方法、在处理特殊类型的行列式有各种不同的方法。本文将给出:两种行列式的计算方法,使用这两种方法不仅可以解决用其他方法难以计算出的行列式,并且极大简化     

多项式微分系统定性性质的算法化推导

关于利用计算机代数系统,结合吴方法,Gr(o)bner基方法,结式方法以及实根分离算法等对于多项式微分系统定性分析和稳定性判定的一些近期进展,主要包括高维系统平衡点和稳定性判定,一般平面系统的焦点量计算,焦点量独立性的判定以及小扰动极限环的构造以及利用向量场对称性或不变解曲线的存在性部分算法化地给出中心存在的条件.最后展示一些计算实例并提出几个相关的公开问题.     

一元复系数多项式实根的判定

对于一元实系数多项式的实根问题,运用斯图姆(Sturm)方法不仅可以确定其实根的个数以及正负根的个数,而且对于任意给定的区间(a,b)可以确定这个多项式在此区间内实根的个数,但是对于一元复系数多项式呢?本文给出一般方法把一元复系数多项式的实根问题归     

构造辅助函数计算准Vandermonde行列式

通过构造线性方程组和一元高次方程,利用线性方程组的解与一元高次方程根与系数的关系推导出第一类准Vandermonde行列式的值.通过构造辅助函数计算一个特殊的第一类准Vandermonde行列式,并把这种方法推广于两类特殊第二类准Vandermonde行列式的计算.     

根的判别式教与学的尝试

一元二次方程根的判别式是人教版第十二章第三节的知识内容 ,这些知识比较重要 ,它既可以根据根的判别式判断一元二次方程根的情况 ,还可以利用这些知识来研究一元二次函数、一元二次不等式 .特别是各年中招考试命题中 ,这些知识占有一定的比重 .因此 ,笔者就此谈一些肤浅的看法 ,以期求教同行 .一、不解方程 ,判断方程的根的情况△ =b2 - 4ac称为一元二次方程ax2 +bx +c=0 (a≠ 0 )的根的判别式 ,根的判别式与根的个数的关系是 :( 1)△ =b2 - 4ac >0 方程有两个不相等的实数根 ;( 2 )△ =b2 - 4ac =0 方程有两个相等的实数根 ;( 3)△ =b2…     

部分子结式性质的改进证明

为了更好的计算两个单变元多项式的最大公因式,20世纪初有Burside和Panton首先提出了结式的概念,在结式的基础上又提出了子结式的概念,这使得求最大公因式有了一个更系统的算法.计算机代数中关于子结式的经典定义过于繁琐,文献[1]中给出了子结式的一种简洁的定义.主要是借助文献[1]新定义的方法给出部分子结式的性质的证明及一些相应的例题,并对部分结论进行了一定的推广.     

二元矩阵有理插值函数的构造

一般构造矩阵值有理函数的方法是利用连分式给出的,其算法的可行性不易预知,且计算量大.本文对于二元矩阵值有理插值的计算,通过引入多个参数,定义一对二元多项式:代数多项式和矩阵多项式,利用两多项式相等的充分必要条件通过求解线性方程组确定参数,并由此给出了矩阵值有理插值公式.该公式简单,具有广阔的应用前景.     

介绍一种用公式计算行列式的方法

在高等代数课程中,对n阶行列式的计算,一般方法是不存在的,但处理特殊类型的行列式有各种不同的方法。本文介绍一种用公式计算行列式的方法,这种计算方法对某种n阶行列式是较为有用的一种方法,它适用于较复杂     

微分周形式与稀疏微分结式

代数周(Chow)形式和代数结式是代数几何的基本概念,同时还是消去理论的强大工具.一个自然的想法是在微分代数几何中发展相应的周形式和结式理论.但是由于微分结构的复杂性,在本文的研究工作之前,微分结式只有部分结果,而微分周形式与稀疏微分结式理论一直没有得到发展.本文的主要结果包括:第一,发展一般(generic)情形的微分相交理论,作为应用,证明一般情形的微分维数猜想.第二,初步建立微分周形式理论.对不可约微分代数簇定义微分周形式并证明其基本性质,特别地,给出微分周形式的Poisson分解公式,引入微分代数簇的主微分次数这一不变量并证明一类微分代数闭链的周簇和周坐标的存在性.作为应用,首次严格定义微分结式,证明其基本性质.第三,初步建立稀疏微分结式理论.引入Laurent微分本性系统的概念,定义稀疏微分结式,证明其基本性质,特别地,引入微分环面簇的概念,给出稀疏微分结式阶数和次数界的估计,并基于此给出计算稀疏微分结式的单指数时间算法.     

三类数列型行列式求值

对于有关教材中的3个行列式,根据其元素的特点,将它们从4阶推广到任意n阶,并给出计算方法;给出并证明一种借助多项式进行行列式计算的方法.     

台劳公式的证明及其推广

大家知道,拉格朗日公式与台劳公式是有着密切的联系的,但一般教科书上采用作辅助函数的方法来证明这些公式时,构造出来的辅助函数还没有统一的格式,这不利于推广。本文参考[1]用行列式表示n阶台劳多项式的办法采用了用行列式来表示辅助函数的办法,使这些辅助函数形成一个统一的格式,下面将看到这种统一的格式有许多优点。     

慎用二次方程根的判别式

在求直线和圆锥曲线的交点时，二次方程根的判别式有着十分重要的作用．根据判别式△的符号，我们可以判定直线和圆锥曲线交点的个数，进而可以判定直线和二次曲线的位置关系．有些同学便将这种方法迁移到求圆锥曲线和圆锥曲线的交点，并试图运用它来判定曲线之间的一些特殊关系．下面是一位同学给出的一道习题的解答．     

二元齐次对称多项式与二项式定理

对称多项式是高等代数的基本内容之一。本文从对称多项式的基本理论出发,首先介绍二项式定理的一个等价公式,接着推证出二项式定理的又一个新的等价公式,然后给出它们的一些应用、并推广之。§1.二项式定理的两个等价公式 1.第一等价公式多项式f(a,b)=a~n+b~n是关于a,b的二元对称多项式。根据对称多项式的基本理论,一定可以找到它的初等表达式(指初等对称多项式a+b和ab的多项式,下同)。事实上,著作[2]已经将它找到:     

多元λ-矩阵行列式的FFT展开法

我们知道,直接展开一个λ-矩阵的行列式,其工作量是很大的。对于多元多项式矩阵(即每个元素为多元多项式的矩阵)的行列式展开,工作量则更为惊人。本文利用多维FFT得到了求多元多项式矩阵行列式的一个简单快速的计算方法,并估计了计算复杂性的上界。