抓住本质 证明猜想

在本刊2008年第3期,张老师在《对一道习题的联想与拓展》中提出这样一个猜想：如果x＋1/x=2,,则n√x＋1/n√x=2（n≥2的正整数）．下面我们来证明此猜想成立．     

一道2009年希望杯填空题的简解

问题（第十二届希望杯全国数学邀请赛高二第1试第20题）方程√4-2√3sin x＋√10-4√3sin x-6cos x=2的解是x=_____     

一个不等式的推广

文[1]证明了这样一个不等式: 若非负数x,y满足x y=1,则√y/1 x √x/1 y≤2/√3,当且仅当 x=y=1/2时等式成立.     

对一道2009年希望杯填空题的解析

问题（第十二届希望杯全国数学邀请赛高二第1试第20题）方程√4-2√3sinx＋√10-4√3sinx-6cos-x=2的解是x=_________.     

西班牙数学竞赛一题推广的另证

第31届西班牙数学奥林匹克第2题为 命题1如果（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1）=1,则x＋y=0．文[1]给出下面推广： 命题2如果m〉0,x,y∈[m,＋∞）或x,y∈（-∞,＋m]且（x＋√x^2-m^2）（y＋√y^2-m^2）=m^2,那么x=Y． 文[1]采用换元法证明了命题2,仔细研读后笔者给出命题2的另一种简洁证法。     

如出一辙的两道全国联赛试题

2003年全国高中数学联赛第13题（以下称赛题1）： 设3/2≤x≤5,证明不等式：2√x＋1＋√2x-3＋√15-3x〈2√19.时过六年,2009年全国高中数学联赛第一试解答题的第3题竟然与之如出一辙（以下称赛题2）：     

巧用公式解一类根式方程

公式 方程f（x）√h（x）-g^2（x）＋g（x）√h（x）-f^2（x）=h（x）与方程：f^2（x）＋g^2（x）=h（x）（满足,（x）≥0,g（x）≥O）同解．     

三视角求解一道参数取值范围高考题

2010年高考湖北卷理科第（9）题为：若直线y=x＋b与曲线y=3-√4x-x^2有公共点,则实数b的取值范围是 （ ） （A）[-1,1＋2√2]． （B）[-1-2√2,1＋2√2]． （C）[1-2√2,3]． （D）[1-√2,3]．     

对三个指数方程求解的质疑

求解底数与指数均有未知数的方程是有较大难度的,笔者发现一些文献求解这类方程时仅限于猜出答案,也没有注意定义域问题,所以解答不严谨.本文将分析这样的三道题目.题1(见专著[1]第66页的第2题)(指数方程)试解方程:x(x2-1)=3.(提出人:广东大埔高陂方丁)解 设x=√y(x可为有理数或无理数),x2=y,故原方程变为(√y)y-1=3,即y(y-1)=3(3-)以,因此y=3,即x2=3,所以x=±√3.以√3或-√3代入原方程均符合,故本题的解答有两个,即x=√3及x=-√3.笔者先给出该题的完整解答:显然解x≠0.我们先看x＞0的情形.设f(x)=x(x2-1)(x＞0),得f′(x)=[e(x2-1)lnx]′=x(x2-1)(2xlnx-1/x)(x＞0)又设g(x)=2xlnx+x-1/x(x＞0),得g'(x)=2lnx+x-2+3(x＞0),gn(x)=2/x3(x+1)(x-1)(x＞0).     

一道赛题变式的简解

第31届西班牙数学奥林匹克第2题为：如果（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1）=1，那么x＋y=0． 在《数学通讯》网站论坛上，一位网友提出了该题的如下变式，并发贴向各位求教：     

对一道高考题的探究

2008年高考全国卷(Ⅰ)第(19)题:已知:“函数f(x)=x3+ax2+x+1(a∈R).(1)讨论f(x)的单调区间;(2)设f(x)在区间(-2/3,1/3)内是减函数,求a的取值范围.以下从四个视点出发、探讨(2)的解法.解法1 f′(x)= 3x2 +2ax+1,方程3x2 +2ax+1 =0,判别式△=4a2-12.当△＞0即a＞√3或a＜-√3时,方程f′(x)=0两根分别为x1=(-a-√a2-3)/3,x2=(-a+√a2-3)/3.此时以f(x)在(x1,x2)内为减函数,则(-2/3,-1/3)∈(x1,x2).     

二阶退化双曲型方程带奇性斜导数的混合问题

本文研究二阶弱双曲型方程具有奇性斜导数的混合问题其中场v在Г=?Ω的子流形Г_0上与Г相切,而与Г_0横截,dim Г_0=dim Г-1,当x’(∈Г)沿v(x’)的切向通过奇点时,〈v(x’),n(x’)〉不变号(n(x’))表Г的单位外法向量),证明了若f∈W_(1/2)~(l+1,l)(Q),g∈W_(1/2)~(l+3/2,l+2)(?Q),则问题(Ⅰ)有唯一解u∈W_(1/2)~(l+2?l+2)(Q)。当〈v(x’),n(x’)〉由正到负时,在Г_0上补充条件u|_(Г_0)=u_0(x’,t)∈W_(1/2)~(l+3/2,l+2)(?_2Q),?_2Q=Г_0×R_+~1以后,问题(Ⅰ)存在唯一解u∈W_(1/2)~(l+2,l+2)(Q)。     

解一道高考题后的反思

题：设a为实数，记函数f（x）=a√1-x^2＋√1＋x＋√1-x的最大值为g（a）． （1）设t=√1＋x＋√1-x,求t的取值范围，并将f（x）表示为t的函数m（t）．     

一道竞赛培训题的正解

第十九届“希望杯”高一培训题第29题为： 已知实数x，y适合：2x^2＋4xy＋2y^2＋3x^2y^2=9，又设z=√2（x＋y）＋3√3xy，则z的取值范围是（ ）     

上期课外练习解答

高一年级1.(1)B≠φ时,-2√2相似文献   

2008年上海市高考数学（理）第11题赏析

上海市2008年高考数学（理）第11题为：题目方程x^2＋√2x-1=0的解可视为函数y=x＋√2的图像与函数y=1/x的图像交点的横坐标，若方程x^4＋ax-4=0的各个实根x1,x2,…,xk（k≤4）所对应的点（xi,4/xi）（i=1,2,…,k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是______.     

一个数学问题的探究

《数学通报》问题1662：求函数y=sinx＋cosx＋tanx＋cotx＋secx＋cscx的值域．其解答采用切割化弦和换元法求得值域为（-∞，1-2√2]∪[2＋3√2，＋∞）．笔者通过探究发现，在该函数取正值时，最小值2＋3√2在特殊角x=2kn＋π/4（k∈Z）时取得，本文进一步探求该函数在限制条件下的一些推广形式的最小值．     

2010年高考湖北卷第9题的一个简解

2010年高考湖北卷文、理第9题均是: 若直线y=x+b与曲线y=3-4x-x2有公共点,则b的取值范围是 A.[-1,1+2√2] B.[1-2√2,1+2√2] C.[1-2√3,3] D.[1-√2,3]     

一数学竞赛题变式推广的简证

命题 如果m〉0,x,y∈[m,＋∞）,或x,y∈（-∞,m],且（x＋√x^2＋m^2）（y＋√y^2＋m^2）=m^2,那么x=y．     

一道高考题的推广的三角证明与其他

张乃贵老师在本刊文[1]中将2008年高考重庆理科卷第4题推广为： 命题1函数f（x）=λ1√x-a＋λ2 √b-x（λ1〉0,λ2〉0,b〉a）的最大值为[f（x）]max=√（λ1^2＋λ2^2（b-a））最小值为[f（x）]max=min{f（a）,f（b）}．