单因子和双因子的奇合数不是完全数

奇完全数是否存在是一个至今没有解决的世界著名难题。目前最好的结果是:如果奇完全数存在,则它至少含有8个不同的奇素因数。 本文使用比较简单的方法,得到初步结果,供读者参考。     

奇完全数的两个性质

本文研究了奇完全数的两个性质.利用初等的方法以及除数函数的性质对于Jouchard[4]提出的猜想给出了确切的证明,并且推广Yamada[5]等人的结果.     

不被3整除的奇完全数至少有9个不同素因子的一个证法

不被３整除的奇完全数至少有９个不同素因子的一个证法黄贵贤，朱同生，黄小彤，孙锋，李润泽１ｎ∈Ｎ，σ（ｎ）表示ｎ的约数和，满足时σ（ｎ）＝２ｎ的偶数，叫做仍完全数；满足σ（ｎ）＝２ｎ的奇数，叫做奇完全数，我们甩ＯＰ表示奇完全数的集合，用ω（ｎ）表示。中...     

具有四个素因子的奇亏完全数

设n为自然数,σ(n)表示n的所有正因子和函数.令d是n的真因子,若n满足σ(n)=2n-d,则称n为亏因子为d的亏完全数.本文给出了具有四个素因子的奇亏完全数的一些性质的刻画.     

奇圈对轮的Ramsey数

奇圈对轮的Ｒａｍｓｅｙ数周怀鲁（上海第一仪表电子工业学校）用两种颜色，比如红和蓝，给完全图Ｋ＿ｎ的边着色。设Ｒ和Ｂ分别是Ｋ＿ｎ的以所有着红色的边为边集和以所有着蓝色的边为边集的生成子图，那么Ｅ和Ｂ称为Ｋ＿ｎ的一个分解．记为Ｋ＿ｎ＝Ｒ，Ｂ。图Ｇ＿１和Ｇ...     

关于奇完全数和孤立数的几个命题

设E(a,b,m)=1/m(a~(2~n)+b~(2n)),这里a,b,m,,n是正整数适合gcd(a,b)=1,ab,m是a~(2~n)+b~(2n)的因数,且当2+ab时,m≡2(mod 4),当2|ab时,m≡1(mod2).运用初等方法证明了:i)当nlog_2log_2log_2a时,E(a,b,m)都不是奇完全数;ii)当nmax{7,logloga}或nmax{5,3 logloga}时,E(a,1,m)都是孤立数.从而改进了相关文献中的结果.     

一个关于广义完全数的数论函数方程

本文运用初等方法,讨论了一个含有约数函数、约数和函数与Euler函数的数论函数方程,给出了该方程的全部偶数解,并且解决了一个有关广义完全数的问题.     

关于具有三个不同素因子的盈不完全数（英）

设ρ是可乘算术函数,定义为对每个素数方幂p^α,ρ(p^α)=p^α-p^α-1+p^α-2-…+(-1)^α.对正整数n,若2ρ(n)=n+d,其中d是n的真因子,则称n为盈因子是d的盈不完全数.本文得到了具有三个不同素因子的所有奇盈不完全数和部分偶盈不完全数.     

推广的奇轮的圆色数

图G的圆色数(又称"星色数")xc(G)是Vince在1988年提出的,它是图的色数 的自然推广.本文由奇轮出发构造了一族平面图,并证明了此类图的圆色数恰恰介于2和 3之间,填补了该领域的空白.     

Odd Perfect Numbers: Some New Issues

Periodica Mathematica Hungarica -     

2500年研究探寻相亲数

设σ(n)为n的所有正因子(包括1和n本身在内)之和.正整数对(m,n)被称之为相亲数(或双亲数,因为这种数总是成双成对出现的)如果他们满足 σ(m)=σ(n) = m + n.如果n=n, σ(m)=2m,则m被称之为完全数(或单亲数,因为这种数总是单独出现的).更一般的,如果κ个(κ＞2)正整数(m1,m2,…mmk)满足下列条件σ(m1)=m1+m2,σ(m2)=m2+m3,σ(mk)=mκ+m1.则这κ个正整数被称之为多亲数.第一对相亲数(220,284)是在2500年前的古希腊数学家毕达哥拉斯发现的.不过迄今为止,人们对相亲数的情况、尤其对相亲数的分布情况仍然知之甚少.与相亲数有关的难题、尤其是悬而未决千百年的难题还很多就是在今夭,我们仍然不知道是不是有无穷多对相亲数,我们甚至连一个生成相亲数的充分必要条件(定义除外)都没有.在这篇文章中,我们试图给出人类在2500年的漫长历史长河中研究、探寻相亲数的大致情况与重要结果,并着重介绍从古至今生成相亲数的各种数值方法与代数方法.完全数的研究探寻史几乎与相亲数的研究探寻史是一样长的.比如2350年前的古希腊数学家欧几理德就在其数学名著<几何原本>中列出了前四个完全数,不过迄今为止,人们总共也只找到39个完全数,并且这些完全数还都是偶完全数.至于有没有奇完全数的存在,则是一个悬而未决两千多年的著名数学难题.最早的两串多亲数(一串为5个.另一串为28个),则是由法国数学家Poulet于1918年发现的.多亲数的研究探寻史虽然比相亲数的研究探寻史要短得多,但目前人们对它们的注意力与日俱增.由于相亲数与完全数及多亲数密切相关、紧密相连(我们可以将其统一称之为亲和数,因为它们都与相关数的因子和有关),因此在本文中,我们除了要讨论介绍相亲数外,也将顺便介绍完全数与多亲数的研究与探寻简史、以及人们在研究探寻这些数时所获得的一些重要结果.附注截止2004年3月25日作者校勘清样时,人们已经发现了共40个完全数和6262871对相亲数.     

Note on Perfect Forests

A spanning subgraph F of a graph G is called perfect if F is a forest, the degree of each vertex x in F is odd, and each tree of F is an induced subgraph of G. We provide a short linear‐algebraic proof of the following theorem of A. D. Scott (Graphs Combin 17 (2001), 539–553): A connected graph G contains a perfect forest if and only if G has an even number of vertices.     

Chern and Pontryagin Numbers in Perfect Symmetries of Spheres

The paper presents a procedure for constructing smooth actions of finite perfect groups on spheres with fixed point sets having certain prescribed properties (Theorem A); in particular, having any prescribed configuration of Chern and Pontryagin numbers (Corollary C). The main ingredients used are equivariant thickening and equivariant surgery.     

Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors

An odd perfect number, , is shown to have at least nine distinct prime factors. If then must have at least twelve distinct prime divisors. The proof ultimately avoids previous computational results for odd perfect numbers.

     

Euler数和高阶Euler数的推广

The purpose of this paper is to define the generalized Euler numbers and the generalized Euler numbers of higher order, their recursion formula and some properties were established, accordingly Euler numbers and Euler numbers of higher order were extended.     

几类有趣图的奇优美性和奇强协调性

对于简单图G=〈V,E〉,如果存在一个映射f:V(G)→{0,1,2,…,2|E|-1}满足:1)对任意的u,v∈V,若u≠v,则f(u)≠f(v);2)max{f(v)|v∈V}=2|E|-1;3)对任意的e_1,e_2∈E,若e_1≠e_2,则g(e_1)≠g(e_2),此处g(e)=|f(u)+f(v)|,e=uv;4)|g(e)|e∈E}={1,3,5,…,2|E|-1},则称G为奇优美图,f称为G的奇优美标号.设G=〈V,E〉是一个无向简单图.如果存在一个映射f:V(G)→{0,1,2,…,2|E|-1},满足:1)f是单射;2)■uv∈E(G),令f(uv)=f(u)+f(v),有{f(uv)|uv∈E(G)}={1,3,5,…,2|E|-1},则称G是奇强协调图,f称为G的.奇强协调标号或奇强协调值.给出了链图、升降梯等几类有趣图的奇优美标号和奇强协调标号.     

Distribution of generalized Fermat prime numbers

Numbers of the form are called Generalized Fermat Numbers (GFN). A computational method for testing the probable primality of a GFN is described which is as fast as testing a number of the form . The theoretical distributions of GFN primes, for fixed , are derived and compared to the actual distributions. The predictions are surprisingly accurate and can be used to support Bateman and Horn's quantitative form of ``Hypothesis H" of Schinzel and Sierpinski. A list of the current largest known GFN primes is included.

     

关于奇强协调图的一些结果

对于一个(p,q)-图G,如果存在一个单射f:V(G)→{0,1,…,2q-1},使得边标号集合{f(uv)|uv∈E(G)}={1,3,5,…,2q-1},其中边标号为f(uv)=f(u)+f(v),那么称G是奇强协调图,并称f是G的一个奇强协调标号.通过研究若干奇强协调图,得出一些奇强协调图的性质.     

On the number of distinct prime factors of an odd perfect number

It is not known whether or not there exists an odd perfect number. We describe an algorithmic approach for showing that if there is an odd perfect number then it has t distinct prime factors, and we discuss its application towards showing that t9.