-1=1?

推证 :- 1 =i2 =( i4) 12 =1 .显然结论错误 ,但究竟错在哪里呢 ?诡辩揭密 :关于复数指数幂运算律 ,详见人教版原高二代数教材 P1 91有 :　　　　 ( zm) n =zmn,　　　　 zm . zn =zm+ n,　　　　 zmzn =zm-n,其中 m、n∈ N.实质上 ,m,n∈ Z也成立 .可见 ,i2 ≠ ( i4) 12 ,即 - 1≠ 1 .-1=1?!712000$陕西省咸阳市天王中学@曹万宏     

KSBA surfaces with elliptic quotient singularities, π1 = 1, pg = 0, and K2 = 1, 2

Among log canonical surface singularities, those which have a rational homology disk smoothing are the cyclic quotient singularities \(\frac{1}{{{n^2}}}\left( {1,na - 1} \right)\) with gcd(a, n) = 1, and three distinguished elliptic quotient singularities. We show the existence of smoothable KSBA normal surfaces with π₁ = 1, p_g = 0, and K² = 1, 2 for each of these three singularities. We also give a list of new (and old) normal surface singularities in smoothable KSBA surfaces for invariants π₁ = 1, p_g = 0, and K² = 1, 2, 3, 4.     

an＋1=anq与an＋1／an=q等价吗

在证明等比数列的操作中常会看到这样一种现象:在一定条件下,推得递推公式a_(n 1)=a_nq(q为常数)(1)那么就认为数列{a_n}是等比数列了.为对照说明方便,下面列出等比数列的定义:a_(n 1)/a_n=q(n∈N~*)(2)以下以新教材高中数学第一册(上)参考题三一习题为线索来探讨(1)式与(2)式的等价性问题.     

Pell方程组x2-ay2=1和 z2-by2=1的解数

设a,b是不同的正整数,本文证明了当max(a,b)＞10126时,Pell方程组x2-ay2=1和z2-by2=1至多有2组正整数解(x,y,z).     

x~0=1是有条件的

文[1]的例6及其"正解"如下:题目函数y=(m-1)xm-1+(m-3)x+1,当m为何值时,它是一次函数.解当m-1=0且m-3≠0时,为一次函数.解得m=1;当m-1=0且m-3≠0时,为一次函数.解得m=±1;当m-1=1且(m-1)+(m-3)≠0时,为一次函数.解得m=-2.所以当m=±1或m=-2时,它是一次函数.评论这个"正解"不对!当m=1时,y=(1-1)x1-1+(1-3)x+1,即y=0x0-2x+1,即y=-2x+1(x≠0).它不是一次函数!它的图像不是一条直     

=1的几种解释

在中央电视台《实话实说》栏目中,曾有同学提问,很难理解=1(即0.999…=1),总觉得它们之间好像差一点.怎样理解这件事呢?由于同学们还没有学到“极限”的知识,因此只能提供几种直观的解释:     

Solving x-a=b(1)

Consider this problem.From a large herd of cattle,cowhands drove away 230 steers.There were 575 steers left in theherd.How large was the original herd?One way to answer this question is to solve an equation.Let S be the number of steers in theherd.Then,by the Take-Away Model for Subtraction,S-230=575.     

图^nUi=1 Fmi,t和^nUi=1 Hmi,t的优美性

本文构造了两类非连通图^nUi=1 Fmi,t和^nUi=1 Hmi,t并证明了这两类图是优美的，且也是交错的。     

(一)1/2=-1?

题目已知a/b+c=b/c+a=c/a+b,求a/b+c的值。解1 因a/b+c=c/a+b,由等此定理: a/b+c=a+b+c/(b+c)+(c+a)+(a+b)=a+b+c/2(a+b+c)=1/2。解2 因a/b+c=b/c+a=c/a+b=-d/-(a+c) 由等比定理得: a/b+c=a+(-b)/(b+c)+〔-(a+c)〕=a-b/b-a=-1 这岂不成了1/2=-1吗?谁是谁非?     

巧用Sn＋1=a1＋qSn解题

《中学生数学》2010年4月（上）期刊登的文章《将Sn化为an解一类数列题》,对文中提出的问题2,此处给出另一种解法,并将命题加以拓展．     

RESEARCH ANNOUNCEMENTS On the Diophantine Equations ax~n-1/ax-1=y~2 and ax~n 1/ax 1= y~2

In this paper,we apply the extension of the St(o|¨)rmer theorem on the Pell equ-ation to the following equations(2)and(3),to obtain some more deep results.For example,a famous result of Ljunggren,can be concluded from a simple Coro-llary of Theorem.     

联立Pell方程组x~2-ay~2=1和y~2-bz~2=1的解数

设a,b是正整数.我们研究了联立Pell方程组x~2-ay~2=1,y~2-bz~2=1的正整数解(x,y,z)的个数.本文利用Bennett关于联立Padé逼近的一个结果,证明了该方程组至多只有两组正整数解(x,y,z),从而改进了Bennett(1998),袁平之(2004)等人的结论.     

矩阵方程组A1XB1=C1,A2XB2=C2的相容性与通解

本文推广了R.Penrose关于矩阵方程组AX=C,XB=D的工作,给出了矩阵方程组 A_1XB_1=C_1,A_2XB_2=C_2的相容性条件,给出了通解表达式以及唯一解的充要条件。     

关于丢番图方程axm±1/ax±1=yn与axm±1/ax±1=yn+1

本文证明了方程(1.4)没有x是一个n次完全幂的整数解(a,x,y,m,n),从而推广了乐茂华的结论:方程(1.1)没有x是一个n次完全幂的整数解(x,y,m,n),并有条件的得到了方程(1.5)的全部解.     

1/x_3=1/x_1+1/x_2

春耕一片田地,甲队单独进行a天可以完成,乙队单独进行b天可以完成。甲、乙两队合耕几天可以完成? 设甲、乙两队合耕x天可以完成,那末 1/x=1/a+1/b 两根导线的电阻分别是R_1和R_2,则其总电阻R满足等式 1/R=1/R_1+1/R_2。物体、象和焦点到透镜的距离这三个量之间有下列关系: 1/f+1/q=1/h。以上三个实际问题反映到数学中来,就是研究x_1,x_2,x_3这三个正量之间的下列关系: 1/x_3=1/x_1+1/x_2。(*) 在等式(*)中,如果x_1,x_2两个量已知,那么我们可以用解分式方程的方法,解得 x=x_1x_2/(x_1+x_2)。(*′)     

运用sinx=a,cosx=b a~2 b~2=1进行代换解三角题

代数在三角和几何上的应用非常广泛,某些三角问题,如证三角恒等式、解三角方程、解三角不等式等,如能转化为代数问题来解,往往较之纯用三角知识来解会更顺利和简捷。如令sinx=a,cosx=b,则由 sin~2x cos~2x=1,得a~2 b~2=1。于是可得代换公式{sinx=a,cosx=b a~2 b~2=1}。本文拟用{sinx=a,cosx=b a~2 b~2=1} 进行代换,探索三角问题转化成代数问题的解法。现举例供参考。例1解方程1/(sinx) 1/(cosx)=2。解设sinx=a,cosx=b,则原方程化为方程组     

integral frm n=0 to 1(1/x-[1/x])dx=1-C(尤拉常数)

数列。。二1一、一二十… 乙+生一In,.单调减且证明用l(x)的不连续点介1k(k二a。>0,因而{a,}是收敛数列①,即存在实数c使,im{‘l一己一十…十一1一、一,。:)二二。.,,,〔\或几/)实数。称为Euler常数.e=0·5772156649·…任何一个收敛数列都可定义一个实数.如数列{(‘+橇)”}单调增有上界,可定义实数“,即炊(l十一鑫)”一实数·应用极其广泛,但对尤拉常数。的应用知之甚少.下面就黎曼意义下的定积分.给出一个尤拉常数的应用.2,3,…)将仁0,l〕分为若一卜子区间,由题设了(x)的属性及定积分的几何意义,可将J;了(·)‘一示为无穷多个曲边三角形…     

欧拉等式n=1∑∞1/n^=π^2/6的一个证法

基于函数项级数一致收敛性概念，给出了欧拉等式（Basel问题）的一个证明．