极坐标系下曲边扇形的旋转体体积公式

利用定积分的有关知识,对极坐标系下曲边扇形绕极轴旋转所得旋转体体积公式进行了推广,并推导证明了曲边扇形绕平面中任意直线旋转所得旋转体的体积公式,并借助实例进行了说明.     

两种坐标系中旋转体的体积计算

分别在直角坐标系和极坐标系情形下,计算笛卡尔叶形线、心形线、四叶玫瑰线和伯努利双纽线所围区域绕轴旋转所得旋转体体积。     

极坐标系下旋转体体积公式的推广

利用微积分的有关知识,对极坐标系下旋转体的体积公式进行了推广,推导并证明了极坐标系下曲边扇形绕任意空间直线(过极点)旋转所得旋转体的体积计算公式,证明了有关性质,并借助实例进行说明.     

极坐标系下旋转体体积公式的推广

利用微积分的有关知识,对极坐标系下旋转体的体积公式进行了推广,推导并证明了极坐标系下曲边扇形绕任意空间直线(过极点)旋转所得旋转体的体积计算公式,证明了有关性质,并借助实例进行说明.     

一个旋转体体积计算公式

定理 1　凸ｎ边形面积为ｓｎ,直线ｌ不与其相交 ,ｎ边形重心Ｇｎ,到ｌ的距离记为ｄｎ,那么该凸ｎ边形绕直线ｌ旋转一周 ,所得几何体的体积为 :Ｖｎ=2πｄｎｓｎ.图 1　定理 1图证　ｎ =3时 ,如图过△Ａ1Ａ2 Ａ3 的顶点Ａ1作直线ｌ的垂线为ｘ轴 ,直线ｌ为ｙ轴 ,建立直角坐标系 .并设Ａ1(ｘ1,0 ) ,Ａ2 (ｘ2 ,ｙ2 ) ,Ａ3 (ｘ3 ,ｙ3 ) .又过Ａ2 ,Ａ3 分别作ｙ轴的垂线 ,这样△Ａ1Ａ2 Ａ3绕ｌ旋转 ,所成的几何体的体积是两个圆台体之和 ,再减去一个圆台的体积 .根据圆台体积计算公式 :Ｖ3 =π3·(ｙ3 -ｙ2 ) (ｘ23 ｘ22 ｘ3 ｘ2 ) π3·ｙ2 (…     

多面体和旋转体的体积

1　考点简析本单元课本内容以公理 5及祖日恒原理为基础 ,推导了柱、锥、台及球和球缺的体积公式 ,系统性很强 ,易教易学 ;高考中除球缺的体积公式不要求记忆外 ,其他给出的几何体的体积公式必须牢固记忆并能灵活应用 ;高考试卷在考核第一章及“多面体和旋转体的面积”的基础上 ,再考察这一部分 ,主要包含转化与化归的数学思维方法 ,例如柱、锥、台的体积公式都可以用台体的体积公式统一表示 ,三棱锥的顶点与底面的转化等等 ;关于体积的计算可分为两大类 :1)利用公式直接计算 ;2 )等积变换计算 .而第二类中又可细分为 :①换底法 ;②割补法 ;…     

旋转体的体积计算

研究了空间一类曲线绕任意直线旋转一周生成的旋转体的体积计算方法.     

一类旋转体体积计算法

对极坐标表示的面积绕轴旋转的体积计算问题分别从积分元素法、P.Guldin定理及球坐标下三重积分计算 ,给出三种计算方法 .本文不仅导出了一类旋转体体积的简单计算公式 ,而且其中的解题思想方法有助于学生提高解题能力和数学素养 .     

空间情形下旋转体体积的计算

运用定积分中的元素法,给出了空间曲线绕空间直线旋转一周所成的旋转曲面与垂直于旋转轴的两个平面所围成的旋转体体积的计算公式:V=π(m2+n2+p2)23∫tt12{[p(y(t)-b)-n(z(t)-c)]2+[m(z(t)-c)-p(x(t)-a)]2+[n(x(t)-a)-m(y(t)-b)]2}m.x′(t)+n.y′(t)+p.z′(t)dt从而将平面图形的旋转体体积推广到了空间情形.     

以圆锥曲线为母线的旋转体的体积

１．某种旋转体的母线是抛物线的一部分,其方程为ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞０,０≤ｙ≤Ｈ）,ｙ轴为旋转轴,求该旋转体的体积;如图１,将旋转体置于平面α内,用与α平行且相距ｈ的平面去截,截得的截面圆面积为π（２ｐｈ）２＝２πｐｈ,视２πｐｈ为一个边长为２πｐ和ｈ的矩形面积,则可构造一个底面是腰长为Ｈ的等腰直角三角形,高为２πｐ的直三棱柱ＡＢＣ－Ａ′Ｂ′Ｃ′,如图１所示放置,显然符合祖日恒原理的条件,故旋转体体积＝直三棱柱体积＝１２·Ｈ·Ｈ·２πｐ＝πｐＨ２．２．某种旋转体的母线是椭圆的一部分,其方程为ｘ２ｂ…     

计算旋转体体积的一般积分公式

0引言本文首先讨论了平面曲线在直线上的投影长函数 ,平面曲线 (图形 )绕一共面直线旋转所得旋转体的体积函数 ,给出了它们的积分表示式 ,进而得出计算旋转体体积的一般积分公式。关于旋转体体积的计算问题 ,一般标准分析教材 [1,2 ] 中只讨论了平面图形绕坐标轴旋转所得旋转体的体积的积分公式 ,为了应用上的便利本文将其推广 ,给出平面图形绕任一共面直线旋转所得旋转体体积计算的一般积分公式。一般认为平面曲线是 (开 )直线段到平面内的一一的 ,双方连续的 ,在上映射的象[3] .在直线段a≤ t≤ b上引入坐标 t,在平面上引入笛卡尔直角坐标…     

空间情形下旋转体体积的近似计算

基于定积分的数值计算方法,解决了空间一般式曲线绕任意轴所形成的旋转体体积的近似计算问题,给出了相应的Matlab程序,并用两个实例进行说明.     

巧用柱壳法求一类旋转体的体积

本文阐述了柱壳法的基本思想,并利用柱壳法推导出旋转体体积的计算公式,举例说明了柱壳法的应用.     

曲边扇形绕任意空间轴的旋转体体积

根据微积分的有关知识,利用坐标平移的方法,对极坐标系下的曲边扇形绕任意空间轴的旋转体体积公式进行了分析,得到了空间旋转轴不经过极点时旋转体体积的计算方法,并借助实例进行说明.     

对旋转体体积的再认知

旋转体的体积公式在初等数学通常是用实验的办法或祖咂原理得到，而后在高等数学的微积分中严格证明．但这一过程在学习者认知方面存在两个明显的弊端.     

多面体 旋转体

本章内容包括多面体及旋转体的概念、性质、展开图,元素问的位置关系、形状、大小、面积与体积的计算．直线与平面的内容在本章有广泛的应用．     

简单的旋转体体积求解方法及技巧

几何学近几年来对其它数学学科的影响越来越大,而旋转体体积的计算是几何学中的一大难点,本文给出了几种简单的曲线所围的平面图形绕坐标轴旋转所得的旋转体体积的计算公式,且给出了求解旋转体体积的实例并用多种方法进行了求解.     

一类旋转体积计算法

对极坐标表示的面积绕轴旋转的体积计算问题分别从积分元素法,P.Guldin定理及球坐标下三重积分计算,给出三种计算方法,本不仅导出了一类旋转体积的简单计算公式,而且其中的解题思想方法有助于学生提高解题能力和数学素养。