探究一类边长都是特殊整数的倍角三角形问题

我们知道三边长分别是连续正整数3,4,5时,构造的三角形是直角三角形.在连续正整数构造的直角三角形中,三边长分别是3,4,5也是唯一的情况.本文结合2008年一道全国初中数学竞赛试题进行另一方面的探究:如果三个连续正整数构造的三角形中能否满足条件:恰有一个角是另一个角的2倍呢?     

Romanoff定理的定量形式

1934年,Romanoff证明了能表成2的方幂与一个素数之和形式的正整数在正整数集合中有正的比例．最近,本文作者证明了对充分大的x,能表成2的方幂与一个素数之和形式的正整数在不超过x的正整数中至少有0．0868x个．本文证明了:设 x≥5,则在不超过x的正整数中,能表成2的方幂与一个素数之和的数的个数不少于 0．005x,即给出了Romanoff定理的定量形式．     

一道竞赛题的两种解法

本文介绍2005年全国高中数学联赛江西赛区预赛试题第15题的两种解法，供读者欣赏． 2005年全国高中数学联赛江西赛区面赛第15题为： 试求最小的正整数n，使得对于任何n个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和为7的倍数．     

互质数对的某些性质

本文据互质正整数 a,b 定义两个集合:P={p|1≤p≤ab,p=ma+nb,m,n,皆正整数},Q={q|q 为整数,a+b≤q≤ab,且任正整数 m,n,都有 q(?)ma+nb}.证明了 P,Q所含元素个数皆为((a-1)(b-1))/(2),且 P 与 Q 在数轴上,对称于点 (ab+a+b)/2.在 P 中定义了链(即 P 的极大连续整数子集),给出链的个数的计算方法.指出(a,b)=1,a>1,b>1的四种等价说法,讨论了以不全是1的正整数 r,u 为系数的二元二次方程 xy+1=rx+uy 的正整数解的个数,并给出求解方法.     

方程条件下求值问题的解题策略

在初中数学竞赛中常可见一类以方程为条件求某个式子的值，我们概括出这类问题的十种解题策略．1求值代人如果方程中含有参量，可挖掘其中的隐含条件，求出每个参量的值，从而得出所求式子的值．例1若k为正整数，一元二次方程有两个正整数根，求k‘’（P’＋k‘）的值．（1984年北京市初中竞赛题）解易知h＞2．设xl、l。是该方程的两个正整数根，由韦达定理得由②知是一1为正整数·若kMZ坝uk—led1，这时k—1与k互质，MM不可能为正整数．因此人一2，从而工l山一2，两根为卫和2，由①得户一3，2参量4＃根据解题需要，引人一个参量，设而不…     

关于丢番图方程 χ^3一У^6=3pz^2的整数解

设p=5（mod 6）为素数．证明了丢番图方程χ^3一У^6=3pz^2。在p=5（mod 12）为素数时均无正整数解;在P=11（mod 12）为素数时均有无穷多组正整数解,并且还获得了该方程全部正整数解的通解公式,同时还给出了该方程的部分整数解．     

关于方程xy yz zx=n的正整数解

本文用Ｓｉｅｇｅｌ－Ｔａｔｕｚａｗａ定理证明了当ｎ２．５×１０１０时，至多有一个正整数ｎ，使方程ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝ｎ无正整数解（ｘ，ｙ，ｚ）．     

一道高考题的拓展探究

其中每行、每列都是等差数列,aij表示位于第i行,第j列的数． （1）写出a45的值;（2）写出aij的计算公式;（3）（文）写出2008这个数在等差数列中所在的一个位置;（理）证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N＋1可以分解成两个不是1的正整数之积．     

与正整数的无序分拆和有序分拆相关的一些恒等式

Agarwal在2003年给出了一个联系着正整数的无序分拆与有序分拆的恒等式．本文给出了该问题的另外的一些恒等式．此外,利用菲波拉契数讨论了将正整数n分拆成不含分部量1的有序分拆的几个组合性质．     

两正整数线性组合的若干性质

本文从存在性和构造性两个方面,揭示数论中的一个问题:以正整数为系数的两正整数线性组合,有如下性质: 给定正整数a,b,对任何正整数k,皆存在正整数m,n使得 [a,b]+k(a,b)=ma+nb,     

W．J．LeVeque的一个定理的注记

本文证明了：对固定的正整数α，β．ｍ，其中ｍ≥２，若方程　有无穷多个正整数解ｎ，则ｍ＝２，α＝３及β＝１．这推广了ＬｅＶｅｑｕｅ的一个结果。     

对称本原图的集指数与本原简单图的广义上指数的极图

一个有向图D称为本原的，如果存在某个正整数k，使得对于D中的任一点x到任一点y都有长为k的途径，这样的正整数k中的最小者称为D的本原指数，作为本原指数概念的推广，R．A．Brualdi和柳柏濂于1990年引入了本原有向图的广义本原指数的新概念，本文给出了对称本原图的集指数的一些性质，并对本原简单图的广义上指数的极图进行了完全刻划。     

关于指数Diophantine方程2~x+p~y=z~2的解的个数的上界估计

设P是一个固定的奇素数.得到了方程2~x+p~y=z~2的所有正整数解(x,y,z)的一个分类.此外,证明了:如果P≡1(mod 4)并且P≠17,那么Diophantine方程2~x+p~y=z~2的全部正整数解(x,y,z)的个数N(p)满足估计N(p)≤4.     

关于广义Ramanujan-Nagell方程的一个猜想

设D=3a^2＋1，P=4a^2＋1是奇素数，其中a是正整数．本文证明了：当a〉6．10^18时，方程x^2＋D^m=P^n恰有2组正整数解（x，m，n）=（a，1，1）和（8a^3＋3a，1，3）．     

华林问题g(4)的估值

<正> 华林问题是数论中的一个有名问题,命k表示固定的正整数,以 g(k)表示一个最小的正整数 S=S(k),使得对于任意一个 n>0不定方程     

代数学基本定理

本文的目的是对代数学基本定理给出一个初等而又相当简短的证明。 定理 每一个正方次的多项式在复数域内有一个根。 证明 设p为一正方次的多项式,其系数属于复数域C,由于P为连续并且当|z|→∞时一致地有|P|(z)|→∞,故存在z_0∈C使得|P(z_0)|≤|P(z)|对于所有z∈C成立,可不妨假设z_0=0。因代替P(z)可考虑多项式P(z+z_0)_(?)我们要证P(0)=0。 存在一个正整数n≥1和a,b∈C,b≠0使得     

华林问题g(5)=37

<正> 华林 g(k)问题是数论中的一个有名问题,命 k 表示固定的正整数,以 g(k)表示一个最小的正整数,s=s(k),使得对于任意一个 n>0不定方程     

一类古典概型概率的计算

设X1，X2，…，Xn为n个随机变量，为求概率P（X1＋X2＋…＋Xn）=r，利用母函数方法，将其关键步骤转化为判定一个n元一次不定方程正整数解个数的问题，并借助实例加以说明．     

一个数谜问题的破解技巧

<正>如图1,十个小圆圈摆成一个正三角形,每个小圆圈内都有"春暖花开"之中的一个汉字,请找到四个正整数分别填入图中的十个位置,使十个正整数的平方和恰为2019.这是一个饶有趣味的数字谜,表面看,4个未知数只给一个数字关系2019,有些迷茫,无从下手.注意到隐蔽的条件,四个正整数的个数分     

关于不定方程x~2-Dy~2=c的最小正整数解

给出一般二元二次不定方程最小正整数解的一个判定准则 ,确定了几类二元二次不定方程和Pell方程的最小正整数解 ,推广了 [1 ]、[2 ]中的两个结果