数学问题解答

606.设9n 2(n∈N)是两个连续自然数的乘积,试证:n是两个连续自然数的乘积。证设9n 2=k(k 1)其中k∈N且k≥     

任意n个连续自然数、等差数列求和规律初探

<正>1简捷方法探究在相邻n个连续自然数求和的计算过程中,一般需列出每项的数值,再依次求和,计算复杂,且易出错.为了节约计算时间,避免出错,本文尝试找到更便捷的计算方法.(1)任意相邻三个连续自然数的和设中间的自然数为x,     

一组勾股数的再思考

3、4、5是大家非常熟悉的一组勾股数,它满足32 42=52,这个等式的特点是三个数为连续的自然数,且前面两个数的平方和等于第三个数的平方,由此我们思考这样一个问题:在自然数中是否存在2n 1(n=1、2、3、…)个连续自然数,使前面(n 1)个数的平方和等于后n个数的平方和呢?     

有趣的三角数

在两千多年前,古希腊人就研究过形如S=(1 n)n/2(n∈N)的自然数,这就是所谓的三角数,它的最小的前几个是1,3,6,10,….显然,S=1 2 3 … n,由此可知,除1以外的任何一个三角数,总可以分拆成多个连续自然数的和。这是三角数的一个有趣的性质。下面我们来考察数1990是否是一个三角数? 假设数1990是一个三角数,则有 1990=(k 1) (k 2) … m     

自然数幂个位数字变化规律的一个证明

本文用数学归纳法证明:任何一个自然数,当其幂指数以4为周期变化时,幂的个位数字保持不变.我们观察以下表格,会发现一个有趣的规律:从1到7这几个数,当它们的幂指数增加4时,个位数字保持不变.n1n2n3n4n5n6n7n811111111248163264128256392781243729218765614166425610244096163846553652512562531251562578125390625636216129677764665627993616796167493432401168071176498235435764801其实,任何自然数的幂均符合这一规律.也即:任何自然数当其幂指数以4为周期变化时,幂的个位数字保持不变.我们将其分为两个结论来证明.结论1:任何自然数的5次…     

等差数列法构造双偶阶亲子幻方

1 前言 幻方为一著名组合算题,n阶幻方指1～n2个连续的自然数布满一个n×n的方阵,使每一行、每一列及主副对角线元素之和均等于(n3+n)/2(称"幻和").     

训练探求能力的方法

一、应用特殊值法 ,揭露思维起点 ,训练探求能力特殊值法在解题中不但能发现规律 ,得出一般性的结果 ,而且能有效地揭示思维的起点 ,展示思维的发展过程 ,提高探求能力 .若不等式 1n +1+1n +2 +… +12n>m2 4对于大于 2的一切自然数n都成立 ,求自然数m的最大值 ,并说明理由 .分析　m是多大的自然数呢 ?显然n =2时 ,原式左边 =13 +14 =712 =142 4,由题意可知m一定小于 14 ,而小于 14的最大自然数是13 ,那么m会不会是 13呢 ?如果是 ,那么记f(n) =1n +1+1n +2 +… +12n,则当n =3 ,4…时 ,都应有 f(n) >132 4,因为 f( 2 ) =142 4>132 4,只要能证…     

倒序法求前n个自然数的平方和

关于求解前n个自然数平方和问题,至少已经有10多种方法了.其中,最经典的是利用n3－(n－1) 3求解.因为这种解法不但解题快速,更重要的是可以推广求解自然数方幂和.     

一个余弦和猜想的证明及一个正弦和的结论

文[1]提出了一个有关余弦和的猜想：若自然数n使4n 1为素数，则有且只有n个不超过2。的自然数：k1，k2，…，kn(k‘1，k’2，…，k‘n为相应的不超过2n的剩余的n个自然数)，     

关于自然数的乘法分拆

<正> 设f(n)表示把自然数n分解成大于1的因子之积(不计因子的顺序)的不同分解式的个数.我们把每个这样的分解式称为自然数n的一个乘法分拆.如f(12)=4,因为12有四个不同的乘法分拆:12=6×2=4×3=3×2×2.特别地定义f(1)=1.在许多问题的研究中提出了估计f(n)的上界问题.1983年John F.Hughes和J.O.Shollit在     

几个基本定理的一个综合应用

闭区间上连续函数的介值定理,微分中值定理,“单调有界数列必有极限”定理,求数列极限的夹逼定理,是一元函数微分学中很重要的几个基本定理.本文给出它们的一个综合应用.设自然数n≥2,试证方程x~n x~(n-1) … x=1     

关于前N个自然数排成的数

由从1开始的连续的若干个自然数所排成的数 N=123456789101112…是一个极为特殊的数.国内外数学竞赛中,经常出现与此数相关的题目.本文讨论该数的几个主要性质,及其应用. 很明显,N依次由1位数、2位数、3位数…排列而成.我们不妨称N中的所有n位数排成的数段为N的第n段.     

探索从尝试开始——例谈学生尝试能力的培养

1 由学生解答所引发的思考 引例 1求5n(n为自然数)被6除的余数. 书本提供的解答:按n的奇偶性讨论.当n为偶数时,设n=2m(m为自然数),则5n=52m=[(6-1)2]m=(62-2×6+1)m被6除余1;当n为奇数时,设n=2m+1(m为自然数),则5n=52m+1=52m×5=(62-2×6+1)m×5被6除余5.所以5n(n为自然数)被6除的余数为1或5.     

问题与解答

一本期问题 1.n为自然数且9n~2 5n 26的值等于两个连续自然数的乘积,求n。江苏吴县浒关中学王继源提供 2.解方程:(171-x)~(1/5) (104 x)~(1/5)=5 河北正定中学赵延勋提供 3.试证:平行六面体任一对角线长的平方等于与这条对角线一端共端点的三条侧面对角线长的平方和,减去与另一端共端点的三条棱长的平方和。 4.直线L_1过抛物线y~2=4x的焦点F,L_1交抛物线于A、B,且(?)/S_(⊿AOF)=1/2。L_2是过A的法线,求L_1与L_2的交角。湖南临澧一中沈文选提供二、上期问题解答 1.已知(sin)~3A=1/2sinB, ccs~3A=1/2c sB,求锐角A、B 解:由已知得sin~6A=1/4sin~2B。     

具有四个素因子的奇亏完全数

设n为自然数,σ(n)表示n的所有正因子和函数.令d是n的真因子,若n满足σ(n)=2n-d,则称n为亏因子为d的亏完全数.本文给出了具有四个素因子的奇亏完全数的一些性质的刻画.     

2005年第二期初中数学问题参考解答

一、求证:n>2时,n5-5n3 4n被120整除.证明:n5-5n3 4n=n(n4-5n2 4)=(n-2)(n-1)n(n 1)(n 2)上式为5个连续自然数之积,故能被5×4×3×2×1=120整除.二、有多少个大于10小于100的整数,当数字交换位置后所得的数比原来增加9.解:满足题设条件的在10—19中只有12;在20—29中只有23;…     

第19届全俄中学生数学奥林匹克试题及解答

9年级第一试1 如果自然数n使得2n+1和3n+1都恰好是平方数,试问5n+3能否是一个素数? 2 AB和CD是两条长度为1的线段,它们在O点相交,而且∠AOC=60°,试证:     

关于Alzer不等式的注记

设n为自然数,则对所有的实数r,nn+1相似文献   

二次方程“证明”费马大定理

还未证明费马大定理之前,先证明一个引理:对于自然数α,n,n≥2;α~n均能表示为α个连续奇数的和(用数学归纳法)。 (1)当n=2时,α~2=sub from i=1 to α(2i-1),引理成     

一个有趣的发现

一个偶然的机会,我发现了连续自然数n次方之间的一个小规律．这是一天的傍晚,我顺手拿起笔,随便写了几个数．当我写到几个连续自然数的n次方的时候,我想:它门之间会不会有什么关系呢?说干就干,我拿出一张新纸．做法如下: 12=1、22=4、32=9、42=16、52=25、62=36．我把1、4、9、16、25、36作为一组数依