一个三角形中线不等式

一个三角形中线不等式杨学枝（福州二十四中３５００１５）△ＡＢＣ中，边长ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ．这三边上对应中线分别为ｍａ、ｍｂ、ｍｃ，对应高线分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ，△表示此三角形面积．用∑表示循环和．定理在△ＡＢＣ中，有当且仅当△ＡＢＣ为等腰...     

一个中线不等式的加强

设ABC三边长为a，b，c，对应边上的中线长分别为ma，mbRr分别为ABC的外接圆和内切圆半径，s为半周长，文[1]给出以下不等式：证1当ABC．是非钝角三角形时，如图，作等腰ABC，使A'D=AD=m，则由中线长公式：一个中线不等式的加强@张善立$浙江岱山县岱山中学!3162001 周才凯.一个几何不等式的加强.数学通讯,1906,6     

关于三角形中线的一个不等式

最近在中国不等式研究小组网站(http:∥zgbdsyjxz.nease.net/bdbbdb/bdb.htm)上看到一个很有趣的关于三角形中线的一个不等式问题(猜想),未见有解答,故笔者试作解答.     

关于三角形中线的一个不等式

文 [1 ]给出了关于三角形中线乘积的一个不等式 :mambmc≥ 18R∑b2 c2 ( 1 )本文将给出中线乘积的一个上界 ,以下恒用 a,b,c,ma,mb,mc,s,R,r和△分别表示△ ABC的三边边长、中线、半周长、外接圆半径、内切圆半径和面积 .并用 ∑ 表示循环和 ,Π表示循环积 .定理　在△ ABC中 ,有mambmc≤ R8(∑a) 2 (2 )当且仅当△ ABC为正三角形时等号成立 .证明　由中线公式 4 m2a =2 b2 2 c2 - a2 ,知64m2am2bm2c =Π( 2 b2 2 c2 - a2 )=- 4( ∑a2 ) 3 1 8∑a2 ∑b2 c2 - 2 7Πa2故 ( 2 )式等价于- 4( ∑a2 ) 3 1 8∑a2 .∑b2 c2 -2 7Πa2 …     

关于三角形中线的一个不等式链

关于三角形三中线和与三边长关系，笔者最近又得到一个有趣的不等式，即以下定理设△ABC三边长为BC＝a，CA＝b，AB＝c，其对应边上的中线分别为m_a、m_b、m_c，则当且仅当△ABC为正三角形时，（1）、（2）两式取多号（以上Σ表示循环和，下同）．证明先证（1）式．根据三角形中线公式，很容易得到以下恒等式：（这里△表示△ABC的面积）．由此得到类似还有两式．于是有由此可知，要证（1）式，只需证因此④式成立，（）式获证，由证明中易知，当且仅当凸＊＊C为正三角形时（）式取等号．这时顺便指出，上述①式在证明三角形中线不等…     

对一个几何不等式的再思考

本文首先给出Mathematical Reflections杂志上一个数学问题的等价形式,然后给出文[1]中一个不等式链的加强命题以及问题的加强命题和下界估计.     

再探一个不等式

<正>拙文[1]给出并用多种方法证明了下面的一个不等式:已知a,b,c>0,求证:a3b+b3c+c3a≥abc(a+b+c)1文献[2]给出了不等式1的一种简证并给出了此不等式的一个推广,这种简证的方法简就简在没用任何证明不等式的工具(如均值不等式等),而只用了证明不等式的最基本的方     

一个不等式的再推广

问题[1 ] 　设ａ1 ,ａ2 ,ａ3,ａ4∈Ｒ ,求证ａ31 ａ2 ａ3 ａ4 ａ32ａ3 ａ4 ａ1 ａ33ａ4 ａ1 ａ2 ａ34ａ1 ａ2 ａ3≥ (ａ1 ａ2 ａ3 ａ4) 21 2 ( 1 )文 [1 ]讲 ,此不等式的证明需要在较高的理论层次上去探讨 ,这不是中学课堂上所能解决的 .但文 [2 ]仅仅使用了中学生最熟悉的基本不等式 ,给出不等式 ( 1 )的两个简单证明 ,并将其推广为 :设ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ ∈Ｒ ,且ａ1 ａ2 … ａｎ =ｓ,则有ａ31 ｓ -ａ1 ａ32ｓ -ａ2 … ａ3ｎｓ -ａｎ ≥ ｓ2ｎ(ｎ - 1 ) (ｎ≥3) ( 2 )事实上 ,应用基本不等式 ,不等式 ( 2 )还可以进一…     

关于三角形角平分线与中线的一个不等式

本文将给出三角形中线长与角平分线长的一个有趣的几何不等式．     

再谈一个不等式命题

再谈一个不等式命题沈文选（湖南师范大学数学系４１０００６）文［１］、［２］分别用数学归纳法、切比晓夫不等式证明了命题设ｘ１，ｘ２；…；∈Ｒ（ｎ≥２），ｍ，Ｐ∈Ｎ且奇偶性相同，则有等号当且仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｎ时成立．实际上该命题也只不过是如下一个不等...     

一个代数不等式的再研究

文 [1]发表了宋庆老师新发现的一个代数不等式及其证明 .笔者发现此代数不等式的背后蕴含着更一般的结论 .同样可利用幂函数的单调性来证明下面的定理成立 .定理 1　若ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ .则ｘｍ(ｘｎ- ｙｎ) ｙｍ(ｙｎ-ｚｎ) ｚｍ(ｚｎ-ｘｎ)≥ 0(1)其中ｍ·ｎ≥ 0 ;当ｍ·ｎ≤ 0时 ,不等式 (1)反向 .等号当且仅当ｘ =ｙ =ｚ或ｍ =0或ｎ =0时成立 .证　设ｘ≥ｙ >0 ,ｘ≥ｚ >0 .当ｍ·ｎ≥ 0时1)若ｍ≥ 0且ｎ≥ 0 ,则ｘｍ≥ｚｍ>0 ,ｘｎ≥ｙｎ>0 ,即ｘｎ- ｙｎ≥ 0 ,故ｘｍ(ｘｎ- ｙｎ)≥ｚｍ(ｘｎ- ｙｎ) ;2 )若ｍ≤ 0且ｎ≤ 0 ,则 0 <ｘ…     

一个三角形不等式的再推广

在三角形中,有一个熟知的不等式命题为命题1 若△ABC的三边的长分别为a、b、c,外接圆半径为R,则 1986年,文[1]在圆内接四边形中,推出了一个类似的命题: 命题2 若圆内接四边形ABCD的四边长长分别为a、b、c、d,圆的半径为R,则 1987年,文[2]将上述命题一般化,进一步证明了命题3 若圆内接n边形A_1A_2…A_n的n边的长分别为a_1、a_2 …、a_n,圆的半径为R,则等号当且仅当A_1A_2……A_n为正n边形时成立。     

一个优美不等式的再推广

瓦西列夫不等式： 设n，b，c〉0，n＋b＋c=1，则a^2＋b/b＋c＋b^2＋c/c＋a＋c^2＋a/a＋b≥2.     

一个加强不等式的再加强

本刊88(3)上《一个不等式的加强》一文对我启发很大,该文将如下的不等式(1)加强为不等式(2)。本文笔者又将(2)式加强为不等式(3);从而得到一个递强题链.     

一个代数不等式的再推广

文 [1 ]中给出了一个代数不等式并由此推出了一系列的结果 ,文 [2 ]中对这一不等式作了推广 .本文将其再推广 ,给出更具一般性的形式 .定理　设ｘ =ｘ(ｔ) ,ｙ =ｙ(ｔ) ,ｔ∈Ｄ Ｒ ,ｘ >0 ,ｙ >0 ,ｘ ,ｙ是Ｄ上单调函数 (可不严格 ) ,Ａ =ｘ(ｔ1)·[ｙ(ｔ1) - ｙ(ｔ2 ) ]+ｘ(ｔ2 )[ｙ(ｔ2 ) - ｙ(ｔ3) ]+… +ｘ(ｔｎ -1) [ｙ(ｔｎ -1) -ｙ(ｔｎ) ]+ｘ(ｔｎ) [ｙ(ｔｎ) - ｙ(ｔ1) ],ｎ >1 ,ｎ∈Ｎ .则1 )若ｘ ,ｙ增减性相同 ,得Ａ≥ 0 ,且当且仅当ｘ(ｔ1) =… =ｘ(ｔｎ)或 ｙ(ｔ1) =… =ｙ(ｔｎ)时 ,Ａ =0 ;2 )若ｘ ,ｙ增减性相反 ,得Ａ≤ 0…     

一个分式不等式的再推广

1993年,冯跃峰老师在《上海中学数学》第2期上提出一个不等式问题:已知x,y,z∈R ,x y z=1,求证:x4y(1-y) z(1y-4z) x(1z-4x)≥16.(1)次年,尹文华老师将其推广,得到如下结果[1]:若x,y,z∈R ,且x y z=1,求证:x4y(1-y2) z(1y-4z2) x(1z-4x2)≥81.(2)2004年,李铁烽老师将上述两个不等式统一推广为[2]:若x,y,z∈R ,且x y z=1,n是正整数,求证:x4y(1-yn) z(1y-4zn) x(1z-4xn)≥3n 32n-9.(3)本短文旨在推广不等式(3),笔者提出并证明下述定理若x,y,z,n∈R ,m≥2,且x y z=1,则xmy(1-yn) z(1y-mzn) x(1z-mxn)≥33nn--m 12.(4)证明由幂平均不等式,可得…     

一个几何不等式的再加强

陈计老师在文[1]中给出了在△ABC中的一个不等式: sin~2A/2+sin~2b/2+sin~2c/2 ≤3~(1/2)/8(cscA+cscB+cscC)(1) 文中借用了Gerreten不等式给出了(1)的一种证明,本文将给出比(1)更强的不等式,并用两种不同的     

一个经典不等式的再探究

文[1]得到以下结论:命题A 若a1,a2,…,an∈R+,且a1+a2+…+an=s,P∈R,且|p|≥2,则∑ni=11/api(s-ai)≥np+2/sp+1(n-1).其实,关于上述不等式的研究很多文献早有出现.如:徐丹,杨露老师在2001年就已证明了p≤-2的情形[2],2003年,裘敬华老师将结果推广到p≤-1的情形[3].2010年,翁利帅老师[4]将p的范围推广到p∈(-∞,-1]U[0,+∞),但对于p∈(-1,0)的情形,翁老师自称还“留下一点遗憾”.笔者经一番探究,得到如下结论:     

对Kantorovich积分不等式的再探讨

给出Kantorovich积分不等式的一般推广形式,并用构造性方法予以证明.