反正切函数的一个性质

反正切函数求和的问题,是比较烦琐的,往往不能引起学生的重视。下面就这个问题浅谈一下自己的认识: 例1求arctg1/2 arctg1/3之值一般解法如下:设arctg(1/2)=α,arctg(1/3)=β∴0<α<π/4,0<β<π/4,∴0<α β<π/2 又tg(arctg(1/2) arctg(1/3))=tg(α β) =(tgα tgβ)/(1-tgα tgβ =(tg(arctg1/2) tg(arctg1/3))/(1-tg(arctg1/2)·tg(arctg1/3)) =(1/2 1/3)/(1-1/2·1/3)=1 ∴arctg1/2 arctg1/3=arctg1=π/4。从上例可看出运算麻烦。但是,通过观察,容易发现、arctg1/2 arctg1/3     

服务员强制休假的M/M/1排队模型的另一个特征值

研究服务员强制休假的M/M/1排队模型的主算子在左半复平面中的特征值,证明(λ-μ-b)-√(b+μ)2-3λ2-μb/2是该主算子的几何重数为1的特征值.     

M/M/1算子的其它特征值

证明对一切θ∈（0,1）,θ（2（λμ）~（1/2）-λ-μ）都是偏微分方程形式的M/M/1排队模型主算子的几何重数为1的特征值.     

具有可选服务的M/M/1排队模型的另一个特征值

当λ(μ1+μ2)＜μ1μ2时,证明-λ是具有可选服务的M/M/1排队模型的主算子的几何重数为1的特征值.     

用 a+b/2≥a~(1/2)证明 a+b+c/3bc~(1/3)

高中代数教材在证明平均值不等式a+b/2≥ab~(1/2)和a+b+c/3≥(abc)~(1/3)时,各自采用了独立的证法。我们为强调基础知识的作用,采用二元平均不等式证明三元平均不等式的方法。设a,b,c∈R~+,求证a~3+b~3+c~3≥3abc.     

从证明“2~(1/2)”是无理数所想到的

一般数学资料上在谈到实数分类时,都讲到无理数,但往往所举之例多是证明2~(1/2)为无理数,以及用几何方法在数轴上作表示2~(1/2)的点。其证明都是采用反证法,首先假设它是有理数,按反设—推演—矛盾—结论的步骤证明,那么形如3~(1/2)、5~(1/2)、7~(1/2)、……等等无理数是否可以采用同样的方法证明呢?我请教了数学老师,他们都隐约给我提了些线索让我思考,并指点了     

单重休假的M/M/1排队模型的进一步研究

证明对一切θ∈(0,1),所有θ(2√λη-λ-η)都是单重休假的M/M/1排队模型的主算子的几何重数为1的特征值.     

第十六届全俄中学生第三轮数学竞赛试题解答(十一年级)

1.求常数c的值,使函数在区间(-1/4,1/4)上为奇函数。(5点) 解假设所求常数C是存在的,函数f(x)为奇,于是f(0)=arctg2 c=O。由此知c的唯一可能值为-arctg2。我们将证明在区间(-1/4,1/4)上,函数是奇函数,即满足关系式f(x)=-f(-x)。     

sum from 1 to n cos[θ+2(i-1)π/n]=0的几何证明

容易证明:cosπ/3+cos3π/3+cos5π/5=0;cosπ/5+cos3π/5+cos5π/5+cos7π/5+cos9π/5=0;cosπ/7+cos3π/7+Cos5π/7+Cos7π/5+cos9π/7+cos11π/7+cos13π/7=0; …等等。容易猜到,这类问题的一般结论应该是: sum form 1 to n(cos〔θ+2(i-1)π/n〕=0(Ⅰ) 关于它的证明,方法很多,其中常见的有代数法、复数法、三角法等等,但这些方法一般很冗长。这里,我们给出一种简捷的证明方法——几何(射影)法。     

arcsin(1-x~2)/(1 x~2) arccos(2x)/(1 x~2) 2arctg(2x)/(1-x~2)的构图

题目设,求的值此题通常是观察联想，应用万能公式作交换的典型题．然而，笔者通过构造直角三角形来求解，则更为简洁，令人叹服．解构造Rt凸ABC，使LC＝90”，AC一2，＊C一I－／，则＊B＝1＋’，如图．arcsin(1-x~2)/(1 x~2) arccos(2x)/(1 x~2) 2arctg(2x)/(1-x~2)的构图@毛晓峰$兰州铁路一中!73000     

一个作N~(1/2)的几何法

我们现在要讨论的问题是用几何法(又叫尺规作图法)在实数轴上作出诸如2~(1/2),3~(1/2),4~(1/2)…,82~(1/2)…,N~(1/2)…,(N为自然数)各点,为叙述方便,我们约定: (1)N~(1/2)x＆y意为N~(1/2)可表示分别以x及y为两条直角边所作成的直角三角形之斜边。     

3~(1/2)是无理数的证明

一些同学对无理数的证明很感兴趣,并从不少的资料中也看到了2~(1/2)是无理数的详尽证明。然而又如何去证明3~(1/3)是无理数呢? 证明假设3~(1/3)是有理数,则存在互质数p、q使得3~(1/3)=q/p。两边平方得3=q2/p2,     

服务员强制休假的M/M/1排队模型的进一步研究

证明当.M=1,λ(μ+b)μb时,(-6λ~2+μb-λ(b+μ)-|μb-λ(b+μ)-2λ~2|)/(8λ)是服务员强制休假的M/M/1排队模型的主算子的几何重数为1的特征值.     

不等式tgA/2 tgB/2 tgC/2≥3~(1/2)及其应用

设△ABC的三边为a、b、c,f=1/2(a b c),面积为s,外接圆、内切圆的半径分别为R、r。上述这些元素间存在着许多基本不等式,各不等式间有什么内在联系?能否用一个基本等式推导出其它不等式?这就是本文讨论的问题。一、不等式tgA/2 tgB/2 tgC/2≥3~(1/2)的证明及推论在△ABC中,求证tgA/2 tgB/2 tgC/2≥3~1/2(当且仅当A=B=C时等号成立)。证明 ∵     

证不等式a+b+c/3≥(abc)~(1/3)的几种方法

命题设a、b、c≥0,(a+b+c)/3≥abc~(1/3), 证明显然当a、b、c中至少有一个为零时,不等式恒成立,所以我们只就a、b、c全不为零时给出证明。方法1应用基本不等式m~2+n~2≥2mn来证明。设P>0、q>0、r>0 ∵p~2+q~2≥2pq, q~2+r~2≥2qr,r~2     

北京市高等学校1958年暑期招生数学試題及解答

試題 Ⅰ.(1)解方程:x-5=(x+7)~(1/2)。(2)由50个不同的元素中选出47个元素,問有多少种选法? (3)已知lg2=0.3010,試利用对数的性質判定2~7×8~(11)×5~(10)是几位数。 (註)lg是以10为底的对数的符号。 (4)求tg(arctg5/6-arctg3/8)的值。 (註)lg是正切函数的符号;arctg是反正切函数主值的符号。     

(((i~2+b~3)/2))～(1/2)≥(a+b)/2≥(ab)～(1/2)≥2/(1/a+1/b)的一种几何证法

我们知道,((a~2+b~2)/2)~(1/2)、(a+b)/2、(ab)~(1/2)、2/(1/a+1/b)(a>0、b>0)分别为a、b的平方平均数、算术平均数,几何平均数、调和平均数。不等式(a~2+b~2/2)~(1/2)≥(a+b)/2≥(ab)~(1/2)≥2/(1/a+1/b)为平均不等式最简单的情形,这里给出它的一种几何证法。因为a、b是给定的,以a+b为直径作圆如右图,BD=a、DC=b,过D作AD垂直于BC交圆于A,连OA、OB、AC,则OA=OB=OC=BC/2。而且有 1°.四个三角形ABC、ABD、AOD、ADC都是直角三角形,     

具有可选服务的M/M/1排队模型的进一步研究

研究具有可选服务的M/M/1排队模型的主算子在左半实轴上的点谱.当顾客的到达率λ,必选服务的服务率μ_1与可选服务的服务率μ_2满足λ/μ_1+λ/μ_21时,证明区间(η,-λ)中的所有点都是该主算子的几何重数为1的特征值,其中η=max{-μ_1,-μ_2,-4/3λ,-2λμ_2/(μ_1+μ_2)-λ,-μ_1μ_2(μ_1μ_2-λμ_1-λμ_2)+λ~3μ_1(1-λ)/[μ_1~2(μ_2-λ)+μ_1μ_2(μ_1-λ)](1-γ)+λ~2μ_1-λ}r表示顾客选择可选服务的概率.     

与4/p = 1/(n1) + 1/(n2) + 1/(n3) 相关的素变量均值估计

如果n是正整数,我们用f（n）表示丢番图方程4/p=1/n_1＋1/n_2＋1/n_3的正整数解（n1,n2,n3）的个数.对于素数p,f（p）可以分解为f1（p）＋f2（p）,这里fi（p）（i=1,2）为分母n1,n2,n3中恰有i个能被p整除的解的个数.本文我们将研究关于均值∑p〈xfi（p）,i=1,2,的估计,其中p表示素数.     

反三角函数不等式的解法

解反三角函数不等式,其基本思路是把反三角函数不等式转化为代数不等式或最简反三角不等式。由于转化的方法不同,解法也可能不同。这里我们来介绍反三角函数不等式的几种常用解法。一、单调法此法是利用反三角函数的单调性,把反三角不等式转化为代数不等式或最简反三角不等式。故此法称作单调法。例1 解不等式 arcsin(arctg 2x)+arcsin〔arc tg(3-x~2)〕>0。解 arcsin(arc tg2x)>arcsin〔arctg(x~2-3)〕。