等价无穷小代换在极限运算中的推广

探讨了当自变量为等价无穷小时,函数为等价无穷小关系的一个充分条件,并给出了函数等价无穷小代换的若干结论,举例说明了具体应用.     

求极限的等价无穷大代换

给出等价无穷大代换的法则,并由此得到求某些未定式极限的计算方法.     

等价无穷小代换在求极限过程中的应用

等价无穷小代换是一种很灵活的求极限方法。如果用来替换的无穷小选择恰当的话 ,可以使计算简化。但替换中要严格遵守无穷小替换法则 ,即定理 1　在自变量同一变化过程中 ,设 α～ α′,β～ β′,且 limβ′α′存在 ,则 lim βα=limβ′α′证明见 [1 ]。定理 1说明 ,无穷小替换只能在积商运算中使用。其实不然 ,等价无穷小代换也能在多项式无穷小之比时使用。例 1　求 limx→ 0x-sin2 xx+sin2 x解　原式 =limx→ 0x-2 xx+2 x=-13例 2　求 limx→ 0tanx-sinxx3解　原式 =limx→ 0x-xx3=0例 1正确 ,但例 2错误。事实上 ,limx→ 0tanx -sin…     

等价无穷小代换在求和式极限中的应用

等价无穷小代换经常用于求函数乘积的极限,讨论了如何利用等价无穷小代换求函数和式的极限.     

无穷小的阶在判断级数敛散性中的应用

在正项级数审敛法中有一个极限形式比较法,当达兰贝尔比值法失效时就常应用此审敛法.定理　设∑∞n=1un和∑∞n=1vn,其中un>0,vn>0,如果limn→∞unvn=λ(0<λ< ∞)则级数∑∞n=1un和∑∞n=1vn同时收敛,或同时发散.上述审敛法叫做正项级数的极限形式比较审敛法,因为un→0(当n→∞时)(否则∑∞n=1un发散),所以上述审敛法的实质是寻求无穷小un(n→∞时)的同阶无穷小vn,且∑∞n=1vn的敛散性或已知或容易判断.于是问题的实质将由un去寻求其同阶无穷小vn并转而确定un为1n(n→∞时)的几阶无穷小.一、无穷小阶的求法下面给出无穷小阶的三种常见求法:…     

利用Taylor公式选择恰当的等价无穷小

在求函数极限的过程中,利用等价无穷小代换常常会使计算简单,但对形如的极限,若无穷小量有时权限并不相等.这里的关键是与的选取不当．本文着重讨论这种情况下利用Taylor公式选取适当的等价无穷小量作代换保持权限不变．为叙述方便,我们只讨论的情况．同时假定下文中所涉及的都是当时的连续且具有任意阶导数的函数无穷小量,以后不再交代．引理1若引理2若则,这里不全为0引理3若a在处的Taylor展开式（带皮亚诺余项）为（按前面假设,常数项为0）：证明显然,从而实际上,通常我们所用的等价无穷小都是取Tayfor展式的第一个非零项．如…     

关于等价无穷小代换的一个注记

在条件limx xA （x）＝0成立的情况下,等价无穷小关系（1＋ x）α-1～αx和（1＋ x）α-1-αx ～→0α（α-1）2 x2（x →0）中的常数α可被推广至函数A （x）,实例说明推广结论在求极限问题中的应用。     

用等价无穷小代换求极限中的一些问题

学生用等价无穷小代换求极限的过程中出现许多我们认为是错误的方法,但有些错误的方法又能够得到正确的结论,如求极限时对复合函数的中间变量作等价无穷小代换;两非等价无穷小和差分别做等价无穷小代换等,这应该算对还是错？本文在理论上作了分析．     

关于等价无穷小代换的若干结论

陈汝栋等在 [1 ],[2 ]中讨论了等价无穷小的代换问题 .本文对无穷小代换问题再给出若干充分条件 ,从而解决了一批加减乘除混合运算的等价无穷小代换问题 .     

利用等价无穷小代换求和式极限

等价无穷小代换经常用于求极限.讨论了如何利用等价无穷小代换求和式极限.     

应用等价无穷小方法分析问题一例

微元法是利用定积分解决实际问题时采取的重要方法,应用时需要对所求量作近似处理,本文应用等价无穷小的方法分析在求解平面曲线弧长和平面图形面积时之所以取不同近似的原因,为教与学提供一定的帮助.     

Functional Calculus for Infinitesimal Generators of Holomorphic Semigroups

We give a functional calculus formula for infinitesimal generators of holomorphic semigroups of operators on Banach spaces, which involves the Bochner–Riesz kernels of such generators. The rate of smoothness of operating functions is related to the exponent of the growth on vertical lines of the operator norm of the semigroup. The strength of the formula is tested on Poisson and Gauss semigroups inL¹(Rⁿ) andL¹(G), for a stratified Lie groupG. We give also a self-contained theory of smooth absolutely continuous functions on the half line [0, ∞).     

商的导数情形下的等价无穷小替换

对于复变函数中高阶极点留数的计算,常会碰到商的导数的极限,给出了商的导数情形下等价无穷小替换的一种方法,简化了计算.     

谈谈在微积分中引入实无限小量的问题

基于经典分析数学的观点,针对黄乘规新著《标准的欧弥伽无穷小微积分学》一书中引入无穷小线段等问题,提出一些需要探讨和再思的问题,以供高校数学分析课程教学的师生们参议评论.同时指出欧弥伽微积分缺乏计算功能的原因,供参考研究.     

用等价无穷小替换求一类和式极限

利用等价无穷小替换,得到了一类和式极限的简单求法,并给出若干实例.     

Infinitesimal connections in bundles

This paper presents an investigation on the structures defined by a horizontal distribution in bundles.Translated from Itogi Nauki i Tekhniki. Problemy Geometrii, Vol. 8, pp. 163–182, 1977.     

Infinitesimal F-planar transformations

The theory of F-planar maps of Riemannian spaces and affinely connected spaces developed by J. Mike? and N. S. Sinyukov [1–6] naturally extends the theory of geodesic and holomorphic projective maps. In the present paper we find basic equations of infinitesimal F-planar maps and study these equations. The F-planar maps are maps between spaces endowed with affinor structures. The geometry of Riemannian spaces and affinely connected spaces endowed by affinor structures was investigated by A. P. Shirokov (see, e.g., [7–14]) who also studied maps between spaces of this type ([13, 14]).     

G-Quasiasymptotics at Infinity

The G-quasiasymptotics at infinity in Colombeau's space G, its basic properties and the application to a Cauchy problem for a strictly semilinear hyperbolic system are given. Under suitable assumptions on the non-linear term the quasiasymptotic behaviour at infinity of the solution inherits the quasiasymptotic behaviour at infinity of the initial data.