例谈条件求值

<正>在解条件求值时,根据已知条件和待求值的代数式之间的联系,灵活选择解法,将会收到事半功倍的效果,现介绍几种解条件求值的方法.例1已知x=2,求x⁴-3x4-3x³+4x3+4x²-5x+13的值解法一原式=22-5x+13的值解法一原式=2⁴-3×24-3×2³+4×23+4×2²-5×2+13=11.解法二(逐次提出x,变形后再代入):原式=x{x[x(x-3)+4]-5}+13     

例谈函数性质在解竞赛题中的灵活应用

<正>一、中心对称的应用构造函数,使函数关于某点成中心对称.例1(睿达杯2012年第8题)设x,y是实数,且满足{(x-1)⁵+2012 5(x-1)5+2012 5(x-1)^(1/2)=-1,(y-2)(1/2)=-1,(y-2)⁵+2012 5(y-2)5+2012 5(y-2)^(1/2)=1,则x+y=( ).(A)1(B)2(C)3(D)2012解设f(x)=x(1/2)=1,则x+y=( ).(A)1(B)2(C)3(D)2012解设f(x)=x⁵+2012 5x5+2012 5x^(1/2),则f(x)是R上的奇函数,图像关于原点对称,     

与圆有关的最值问题的求解策略

<正>一、数形结合靠直观数形结合是解析几何的精髓.一般说来,点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的最值问题,大都可以依靠几何直观轻而易举获得解决.例题1已知实数x,y满足方程x²+y2+y²-4x+1=0.求y/x的最大值和最小值.解析原方程即(x-2)2-4x+1=0.求y/x的最大值和最小值.解析原方程即(x-2)²+y2+y²=3,它表     

利用对称思想 巧解高考试题

<正>每年高考题的选择和填空的压轴题都会是函数的题目,这类题目都是综合考察函数的性质,有一定的难度,但是如果思路合理,解法得当,还是能够容易解决问题的.下面利用对称思想,探讨一下2017年高考数学全国Ⅲ卷理科11题解题方法.原题已知函数f(x)=x²-2x+a(e2-2x+a(e^(x-1)+e(x-1)+e^(-x+1))有唯一零点,则a=().     

借助中间桥梁巧化问题

<正>1.问题提出(2011年高考湖南文第8题)已知函数f(x)=e^x-1,g(x)=-xx-1,g(x)=-x²+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为().(A)[2-22+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为().(A)[2-2^(1/2),2+2(1/2),2+2^(1/2)](B)(2-2(1/2)](B)(2-2^(1/2),2+2(1/2),2+2^(1/2))(C)[1,3](D)(1,3)2.问题解读本题属于"方程问题",而且是"超越方程",难以直接入手!一般地,解决"超越方程"往往利用转化与化归的思想,把问题转化为y=f(x)与y=g(x)的交点问题.在同一坐标系中,画出y=f     

两道初中数学竞赛最值问题的另解

<正>问题1(2014年全国初中数学联赛第10题)已知a、b为正整数,且b-a=2013,若关于x的方程x²-ax+b=0存在正整数解,则a的最小值为.另解由b-a=2013,得b=a+2013,代入原方程得x2-ax+b=0存在正整数解,则a的最小值为.另解由b-a=2013,得b=a+2013,代入原方程得x²-ax+a+2013=0.(*)整理为a(x-1)=x2-ax+a+2013=0.(*)整理为a(x-1)=x²+2013.因为x=1不是方程(*)的根,所以x-1≠0.从而     

数形结合巧解题

<正>题目已知椭圆3x²+2y2+2y²-6x=0(1)与x2-6x=0(1)与x²+y2+y²-m=0(m>0)(2)有两个不同交点,则m的取值范围是_____.错解联立(1)(2)得x2-m=0(m>0)(2)有两个不同交点,则m的取值范围是_____.错解联立(1)(2)得x²-6x+2m=0,即Δ=b2-6x+2m=0,即Δ=b²-4ac>0,∴0相似文献   

一道初三课外练习的另解及说明

<正>贵刊2015年第9期(初中版)课外练习,初三年级.解方程(1+x+x²)(1+x+x2)(1+x+x²+…+x2+…+x⁽¹⁰⁾)=(1+x+x(10))=(1+x+x²+…+x2+…+x⁶)2.为了比较另解与原解答的不同,我们还是先给原解答,然后展开另解.一、原解答解显然x=0是原方程的根.若x≠0则原方程可以化为     

因式分解概念三问三答

<正>问1什么叫因式分解?因式分解的对象是什么?答把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形就叫做这个多项式的因式分解.因式分解的对象是多项式,因式分解不针对单项式,因为单项式本身已经是整式的积的形式了,无需再进行因式分解.如:多项式x²-3x+2,可以进行因式分解,结果是(x-1)(x-2);而对单项式(1/2)ab2-3x+2,可以进行因式分解,结果是(x-1)(x-2);而对单项式(1/2)ab²就不再考虑进行因式分解.     

错解辨析

<正>圆是高中数学的重要组成部分,同时也是高考的高频考点,但在学习本部分内容时,倘若对基础知识和基本技能掌握的不好就很可能会导致解题的失误,现举例加以辨析,以期能对大家解题能力的提升有所帮助.1.忽视必备前提例1若圆C_1:x²+y2+y²=1和圆C_2:x2=1和圆C_2:x²+y2+y²-6x-8y-k=0没有公共点,则实数k的取值范围是().     

取值范围问题的解法探究

<正>在一次数学测试中,有这样一道题目:已知实数x>0,y>0,且x²+y2+y²-xy=3,则x+2y的取值范围是____.这道题看似简约,似曾相识,但解题正确率却不高.同学们一般都采用判别式法来求解.解法步骤如下:解法1设t=x+2y,将x=t-2y代入x2-xy=3,则x+2y的取值范围是____.这道题看似简约,似曾相识,但解题正确率却不高.同学们一般都采用判别式法来求解.解法步骤如下:解法1设t=x+2y,将x=t-2y代入x²+y2+y²-xy=3,整理得7y2-xy=3,整理得7y²-5ty+t2-5ty+t²-3=0.因为方程有解,     

一道错题的剖析与再变

1错题由来题已知Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,则S_△ABC=_<sub><sub><sub>.学生的解法:解法1（标准答案）:因为Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,所以斜边长为4,设两个直角边的长为x、y,则x+y=4 3^1/2,x²+y²=16,故S_△ABC-1/4[（x+y）²-（x²+y²）]=1/4[(4 3^1/2)²-16=8.解法2:因为Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,所以斜边长为4,设两个直角边的长为x、y则x+y=4 3^1/2,x²+y²=16,消去y得x²-4 3^1/2x     

圆的直径式方程

<正>若圆的直径的两个端点为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则此圆的方程可这样求:设圆上任一点为P(x,y),我们有AP⊥BP,即AP·BP=0.而AP=(x-x_1,y-y_1),BP=(x-x_2,y-y_2).∴圆方程为(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0,即x²+y2+y²-(x_1+x_2)-(y_1+y_2)+(x_1x_2+y_1y_2)=0.     

例析不等式转化为等式的解题策略

<正>若Δ≤0且Δ≥0,则Δ=0,掌握了这一转化策略,并适时用于解题,可大大提高解题能力,可使看来不能求解的题,得以求解,而且方法简单.实际上,解与一元二次方程有关的问题时,常在解题的关键环节用到这一解题策略,使问题得到巧妙解决,现举例说明.例1求方程x²+xy+y2+xy+y²-3x-3y+3=0的实数解.分析本题为一个方程两个未知数,常规方法不能求解,但把一个未知数视为主元,另     

学会用化归法思考高中代数问题

<正>化归法是通过数学知识和方法将不熟悉的问题转化为熟悉的问题的数学方法.在下面的内容中,将重点介绍化归法在高中代数中的应用.例1(1999年高考试题理科)若(2x+√3)⁴=a_0+a_1x+a_2x4=a_0+a_1x+a_2x²+a_3x2+a_3x³+a_4x3+a_4x⁴,那么(a_0+a_2+a_4)4,那么(a_0+a_2+a_4)²-(a_1+a_3)2-(a_1+a_3)²的值是().(A)1(B)-1(C)0(D)2思考方法上述问题如果你能找到"(a_0+a_2+a_4)2的值是().(A)1(B)-1(C)0(D)2思考方法上述问题如果你能找到"(a_0+a_2+a_4)²-(a_1+a_3)2-(a_1+a_3)²=(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4)(a_0-a_1+a_2-a_3+a_4)"之间的联系,就说明你学会化归法的使用方法.     

三次与四次函数图像对称性探索

<正>二次函数是初中数学教学的一个重难点,我们先来回顾一下.对于二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0),可以进行如下的变形:f(x)=a(x2+bx+c(a≠0),可以进行如下的变形:f(x)=a(x²+b/ax+c/a).根据公式(x+m)2+b/ax+c/a).根据公式(x+m)²=x2=x²+2mx+m2+2mx+m²,f(x)可以配方得顶点式方程:f(x)=a(x-m)2,f(x)可以配方得顶点式方程:f(x)=a(x-m)²+n(其中m、n是与x无关的常数).从上式中得到f(x)的对称轴方程为x=m(m=-b/2a),这也可以表达为:对于任意的x总有f(m     

一道西班牙数学竞赛题的探究

<正>第31届西班牙数学奥林匹克第2题为命题1如果(x+（x²+1）^1/2)(y+（y²+1）^1/2) =1,那么x+y=0.文[1]、[2]给出了命题1的三种证法,文[2]还给出了命题1的类似命题2如果x,y∈[1,+∞),或x,y∈(—∞,—1],且(x+（x²—1）^1/2)(y+（y²—1）^1/2)=1,那么x=y.     

一题两解

<正>1.问题若2x-1>m(x²-1)对满足|m|≤2的所有m都成立,则x的取值范围____.解法1(分离参数法)1°当x2-1)对满足|m|≤2的所有m都成立,则x的取值范围____.解法1(分离参数法)1°当x²-1=0,其中x=-1时,m∈φ;x=1时,对|m|≤2的所有m都成立;2°当x2-1=0,其中x=-1时,m∈φ;x=1时,对|m|≤2的所有m都成立;2°当x²-1>0时,即x<-1或x>1,此时,m<((2x-1)/(x2-1>0时,即x<-1或x>1,此时,m<((2x-1)/(x²-1)),又由题意有((2x-1)/(x2-1)),又由题意有((2x-1)/(x²-1))>     

一道求值赛题的多种解法

<正>试题(2016年四川省初中数学竞赛(初二)初赛)已知实数a,b,c满足abc≠0,且(a-c)²-4(b-c)(a-b)=0,求(a+c)/b的值.解法1(因式分解法)由(a-c)2-4(b-c)(a-b)=0,求(a+c)/b的值.解法1(因式分解法)由(a-c)²-4(b-c)(a-b)=0得,a2-4(b-c)(a-b)=0得,a²-2ac+c2-2ac+c²-4(ab-ac+bc-b2-4(ab-ac+bc-b²)=0,所以a2)=0,所以a²+2ac+c2+2ac+c²-4(ab+bc)+4b2-4(ab+bc)+4b²=0,即(a+c)2=0,即(a+c)²-4b(a+c)+4b2-4b(a+c)+4b²=0.分解因式,得(a+c-2b)2=0.分解因式,得(a+c-2b)²=0.     

对一类最值问题的深入思考

<正>马上轮到我做数学"课前5分钟"了,讲些什么内容好呢?我想起了初中时做过的一道题目:问题1已知02+1)2+1)^(1/2)+(x(1/2)+(x²-6x+18)2-6x+18)^(1/2)的最小值.解析首先将式子整理为y=(x(1/2)的最小值.解析首先将式子整理为y=(x²+12+1²)2)^(1/2)+((3-x)(1/2)+((3-x)²+32+3²)2)^(1/2),因为0相似文献