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设含有变量x1,x2,…,xn的不等式,如果对任意正数λ,用λx1,λx2,…,λxn去替代x1,x2,…,xn所得的不等式不改变,则称这个不等式是齐次不等式,否则,称这个不等式是非齐次不等式.齐次不等式体现了数学的对称美和和谐美,所以我们常常把非齐次不等式转化为齐次不等式进行证明,这样可以化繁为简,达到事半功倍的效果.反过来,对于某些齐次不等式,如果我们增加条件将它非齐次化,有时也会减少不必要的复杂运算,化难为易,其优雅之处,也叫人拍案叫绝. 相似文献
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若不等式两边各项的次数相等 ,不妨称之为齐次不等式 .如均值不等式中 ,a2 +b2 ≥2ab ,是齐二次不等式 ,a +b+c3 ≥ 3 abc是齐一次不等式 ,对某些非齐次不等式的证明 ,若能结合题设条件 ,将低次项的次数适当升高 ,从而将原不等式转化为齐次不等式来处理 ,往往会产生出奇制胜的解题效果 .例 1 已知a、b、c∈R ,且a+b +c=1.求证 :ab +bc+ca≤ 13 .分析 所证不等式左边是二次式 ,右边是一个常数 ,即零次式 .由已知 a +b+c =1,∴ (a+b+c) 2 =1,从而所证不等式可化为齐二次不等式ab +bc+ca≤ 13 (a +b+c) 2 ,即 a2 +b2 +c2 ≥ab +bc+ca .而 左边 -右边= 12 [(a-b) 2 +(b -c) 2 +(c -a) 2 ] ≥ 0 ,∴ 原不等式成立 .例 2 已知 p3 +q3 =2 .求证 :p+q≤ 2 .分析 所证不等式左边为一次式 ,右边为零次式 ,考虑到已知等式是一个三次式 ,从而将所证不等式两边立方 ,得 (p+q) 3 ≤ 8,∵ p3 +q3 =2 , ∴ 8=4( p3 +q... 相似文献
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在解题中,我们常会遇到各项次数相等的式子,我们称之为齐次式。齐次式体现了数学的对称美与和谐美,正因为如此,我们在解题时若能把某些非齐次式转化为齐次式,或构造出有利于解题的齐次式,则能起到化繁为简,化难为易的作用,达到事半功倍的效果。本文通过2013年的几道高考题和竞赛题,谈谈齐次化思想在高中数学解题中的运用,供参考。 相似文献
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通过对文[1]阅读,笔者学习了该文作者提出的通性通法——三角代换法。然而,经笔者思考后还发现,这几个例题还存在另一种很实用的通法,即化齐次法。化齐次法是一种通过构造关系式(等式或不等式)两边各项的次数相等,转化为齐次式,从而实现解题目标的一种数学转化策略。 相似文献
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用所接受的单参数李群的特征定义拟齐次自治系统,并且对拟齐次系统进行约化,定义约化系统的约化Kowalevskaya指数,给出该指数与原拟齐次系统的Kawalevskaya指数之间的关系,对二维的拟齐次多项式系统,具体给出约化Kowalevskaya指数特征与拟齐次多项式首次积分的更深入关系.基于约化系统,证明拟齐次系统一般均存在局部的拟齐次首次积分组. 相似文献
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通过引入多参数及估算权函数,建立一个具有零齐次核的Hilbert型积分不等式。作为应用,建立了它的等价式及一些特例。 相似文献
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形如ax~2 +bxy +cy~2 (a ,b ,c是常数 )的式子叫做二次齐次式 ,在确定 y≠ 0的情况下 ,可变形为 y2 [a( xy) 2 +b( xy) +c] .若是二次齐次方程或不等式 ,此变形的结果为关于 xy的一元二次方程或不等式 ,这种变形往往对问题的解答十分有利 .1 .数列中的二次齐次式例 1 设数列 {an}是首项为 1的正项数列 ,且 (n + 1 )a2 n + 1 -na2 n+anan + 1 =0 (n =1 ,2 ,3,… ) ,则它的通项公式是an=.分析 已知等式是关于an,an + 1 的二次齐次式 ,因为an>0 ,两边同除以a2 n 得 (n + 1 )·( an + 1an) … 相似文献
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本文研究了非齐次椭圆方程的障碍问题,给出了二阶非齐次障碍问题解的定义,利用Poincar啨不等式,获得非齐次障碍问题的解及其导数的一些性质,填补了对非齐次障碍问题研究的空白. 相似文献
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应用实分析及权函数的方法,引入一些参数及中间变量,建立一个一般非齐次核全平面Hilbert型积分不等式的若干等价陈述.常数因子被证明是最佳的.作为应用,一个一般齐次核全平面Hilbert型积分不等式的若干等价陈述被导出.我们还考虑了一些特殊情况、算子表示及若干例子. 相似文献
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文章给出利用齐次化原理求解n阶常系数非齐次线性方程初值问题的方法.通过基本问题可得到原方程的解,避免了利用常数变易法求解的诸多不便,同时也将非齐次项的形式拓展到了所有可积函数. 相似文献
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葛晓葵 《数学的实践与认识》2011,41(3)
通过估算权函数,建立一个核含多参数且为-(2n+1)(n∈N)齐次的新的Hilbert型积分不等式及其等价式,并用复分析和代数的方法论证及表述最佳常数因子.作为应用,还给出其逆向形式及一些特殊结果. 相似文献
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齐次化是重要的解题方法之一,用其解题不仅可以简化解题步骤,还可以体现数学的对称美与和谐美.齐次化的本质是降维消元,将问题化繁为简,本文结合四道实例进行介绍,一方面给广大师生提供另一种解题思路,另一方面展示齐次化的应用技巧,从中体会其精妙之处. 相似文献
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a^2+b^2≥2ab,2(a^2+b^2)≥(a+b)^2,a^2+b^2+c^2≥nb+bc+ca等是我们经常使用的几个基本不等式.仔细观察,我们会发现,这几个不等式两边各项的次数都相等,像这样的不等式叫做齐次不等式. 相似文献