四面体的一个体积公式及其两个推论

四面体——这种最简单的几何体,其体积的计算公式有各种不同的形式。通常的的几何教材中,采用V=1/3sh,即将四面体的体积等于底面积与高的积的三分之一。本文借助这个公式,导出四面体的另一个体积公式,并推出两个推论,以及它们的应用。一,四面体的体积公式     

关联四面体四个量的一个体积公式

笔者最近得到一个关键四面体四个量的一个体积公式: 定理 设四机体任意两面的面积为S_1、S_2,两面所成的二面角的平面角为θ(0<θ≤π/2),两面所夹的棱长为d,则四面体的体积为:V=2/3dS_1S_2sinθ。 证明 在四面体ABCD中,设面ABD和面     

四面体的又一个体积公式

文[1]给出了四面体的一个体积公式,本文给出四面体的又一个体积公式．供大家参考．     

关于四面体体积的两个新不等式

定理一若四面体的体积为V ,三组对棱的距离分别为R_1、R_2、R_3,各组对棱中点连线长分别为l_1、l_2、l_3,则有 k_1k_2k_3≤3V≤l_1l_2l_3 当且仅当四面体是正四面体时,等式成立。证明设四面体为DABC,如图,过A、B、C分别作BC、CA、AB的平行线,得新四面体DA′B′_(D′)C′,其体积V′=4V。先证 k_1k_2k_3≤3V 因为AB是△A′B′C′的中位线,所以AB∥平面DA′B′,AB到平面DA′,B′的距离就是AB与CD的距离k_1,故E到平面DA′B′的距离也为K_1,故C′到平面DA′B′~(C′)的距离为2k_1。     

四面体的正余弦公式及体积公式

在△ABC中,用a,b,c表示∠A,∠B,∠C的对边,则有以下边角关系成立: 1.正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC.     

四面体体积的两个比例关系及其应用

共角比例关系对于两个具有一公共三面角的四面体,如图1,有[,’,_挪PA .PB·产U「卜才,c,尸月,·共面比例关系丝尸刀产设四面体p一月刀‘和四面体口一月及)的公共底面月石‘所在平面与直线砌交于对,则PM一QM 一一I,尸一脚V。一脚下面,我们举例说明上述两个比例关系的应用. P燕·六(刘护。产亏祥丫“ B一令每1困2 例l在四面体日心rD内取一点G,使I,o一。c~r。一。=I’o一。,一Fo一acD,求证G为该四面体的重心 证如图2,连书、那、cc、佣,并设平面‘口。交AD于点对.由于不‘卜‘二不,。一,。,即不‘,一。‘二F卜。a。.由共面比例关系,有…     

再谈四面体的六棱求体积公式

本刊2003年10月第19期刊登了俞志老师的四面体六棱求体积公式，其证明方法值得我们学习，笔者在阅读后再对题目思考，得出一个新的公式。能达到同样的效果，现表述之，与大家共享．     

向量混合积与四面体体积公式的教学探究

本文利用空间向量的方法和线性代数的有关理论及向量的混合积,得到了利用棱长求四面体体积的公式,并利用该公式推广了几个有意义的结论.     

四面体中的两个不等式

本文将用初等方法研究四面体中的几个不等式。定理1 设P是四面体ABCD内任意一点,AP交平面BCD于A＇,BP交平面ACD于B＇,CP交平面ABD于C＇,DP交平面ABC于D＇。则 AP·BP·CP·DP/AA＇·BB＇·CC＇·DD＇≤(3/4)~4 (1)当且仅当P为四面体ABCD的重心时,等号成立。     

四面体的内接四面体的体积

若Ai'是四面体A1A2A3A4面上的点，则称四面体A1'A2'A3'A4'为内接四面体．设它们的体积分别为V、V1，则有定理1若A1'与人重合，Ai'在校A4Ai定理2若A'与A4重合，底面△A1A2A3的顶点Ai的对边上点为Ai'，且为了得出更一般的结论，我们首先引入“面积坐标”的概念．即：面积为S的△A1A2A3内一点P，它与Ai的对边构成的三角形面积为Si．记=1，2，3），则称有序实数组（a1，a2，a3）为点P关于△A1A2A3的面积坐标．定理3若A4'与人重合，A4'是Ai对面上的点（i=1，2，3），且它们关于它所在侧面三角形的面积坐标分别为A'（a2，a3，a4）…     

与四面体体积相关的几个不等式

本文推出与四面体体积相关的几个新的不等式 .对于四面体Ａ1Ａ2 Ａ3 Ａ4 ,采用约定记号 :体积Ｖ ,重心Ｇ ,Ａｉ 所对的面的面积为Ｓｉ,重心为Ｇｉ,Ａｉ与对面的距离为ｈｉ,棱ＡｉＡｊ 的中点为Ｂｉｊ,Ａ1Ａ2 ,Ａ1Ａ3 ,Ａ2 Ａ3 与对棱的距离为ｄ1,ｄ2 ,ｄ3 .相应对棱中点的连线段为ｍ1,ｍ2 ,ｍ3 . 为循环和 .记 1≤ｉ<ｊ≤ 4Ａ2 ｉｊ= Ａ2 ｉｊ(ｉ,ｊ =1,2 ,3,4 ) ,则可以得到 :定理　 1)ｍ1ｍ2 ｍ3 ≥ 3Ｖ .2 )ｍ21 ｍ22 ｍ23 ≥ 33 9Ｖ2 .3)ｄ1ｄ2 ｄ3 ≤ 3Ｖ .4 ) Ａ2 ｉｊ- 2 716 ＡｉＧ2 ｉ≥ 33 9Ｖ2 .5 ) ＡｉＧ2 ｉ≥1633 9Ｖ2 .…     

关于四面体的两个不等式

贵刊文 [1]将一个三角形不等式移植到四面体 ,得到如下结果 :图 1　定理 1图定理 1　设四面体Ａ1Ａ2 Ａ3Ａ4 的面Ａ2 Ａ3Ａ4 ,Ａ3Ａ4 Ａ1,Ａ4 Ａ1Ａ2 ,Ａ1Ａ2 Ａ3的面积与外接球半径和体积分别为△1,△2 ,△3,△4 ,Ｒ ,Ｖ .Ｐ是四面体Ａ1Ａ2 Ａ3Ａ4 内的任意一点 ,ＡｉＰ与Ａｉ 所对的侧面交于点Ａ′ｉ,ｉ=1,2 ,3,4 .则Ａ1Ａ′1·Ａ2 Ａ′2 ·Ａ3Ａ′3·Ａ4 Ａ′4 △′1·ＰＡ′1 △2 ·ＰＡ′2 △3·ＰＡ′3 △4 ·ＰＡ′4≥2 4 3Ｖ316Ｒ8( 1)等号当且仅当Ｐ为正四面体的中心时成立 .受文 [1]启发 ,笔者通过探究 ,得到两个与 ( 1)式类似的…     

四面体的求积公式

任何一个平面多边形总可以分割成若干个三角形,因此,由三边求积公式有可能计算任何平面多边形的面积。同样,任何一个多面体总可以分割成若干个四面体,而四面体的形状和大小由共六条棱的长度和连接顺序所确定,如果能根据四面体的六条棱长计算四面体的体积,也就可能解决了任意多面体的求积问题。本文将证明一个较易记忆的已知四面体的六棱求其体积的公式。     

关于四面体的两个不等式

本文将给出关于四面体的两个不等式与其证明。定理一若α_i(i=1,2,……,6)、R、r与α_t′(i=1,2,……6)、R′、r′分别表示四面体ABCD与四面体A′B′C′D′的6条棱长和外接球半径、内切球半径,则成立不等式: 144rr′≤sun from i=1 to 6 α_(?)α_(?)′≤16RR′其中左边等号成立的充分必要条件为:两个四面体均为正四面体;右边等号成立的充分必要条件为:两个四面体对应棱长成比例且每一四面体的三对对棱相等。定理二若m_i、h_i(i=1,2,……,6)、R、r与m_i′、h_i′(i=1,2,……,6),R′、r′分别表示四面体ABCD和四面体A′B′C′D′的四条中线、四条高和外接球半径、内切球半径,则成立不等式:     

四面体的一个体积公式--三面角的棱面角公式的一个应用

文 [1 ]给出了三面角中棱与面所成角与三面角之间的关系如下 :定理 1　在三面角S—A1 B1 C1 中 ,三个面角∠C1 SB1 =α ,∠A1 SC1 =β,∠A1 SB1 =γ ,且棱SA1 和平面C1 SB1 所成的棱面角为θ1 ,棱SB1 和平面A1 SC1 所成的棱面角为θ2 ,棱SC1 与平面A1 SB1 所成棱面角为θ3,则cosθ1 =cos2 β+cos2 γ- 2cosαcosβcosγsinα ,cosθ2 =cos2 γ+cos2 α- 2cosαcosβcosγsinβ ,cosθ3 =cos2 α +cos2 β- 2cosαcosβcosγsinγ .(三面角的棱面角的余弦公式 )文 [2 ]给出了定理 1的一个简证 .受定理 1启发 ,如图 ,若分别在SA1…     

四面体外心坐标公式

文[1]给出了四面体的界点、界心及其坐标公式,并提出:"求四面体外心的一般坐标公式"的问题.本文解决这一问题,给出四面体外心坐标公式.     

四面体上的莱布尼兹公式

四面体上的莱布尼兹公式湖南益阳师专胡耀宗我们先介绍三角形中的莱布尼兹公式；设△ＡＢＣ三边分别为ａ、ｂ、ｃ，重心为ＧＰ是△ＡＢＣ所在平面上任意一点，则［１］三角形莱布尼兹公式可以引伸和迁移．公式的引伸若把公式中的Ｐ点移到空间任意位置，公式（１）仍然成立...     

关于四面体的两个新命题

四面体是空间较简单的几何体 ,笔者通图 1　命题 1图过将它与三角形进行类比 ,得到如下两个命题 .命题 1　如图 1 ,Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ分别是四面体Ａ ＢＣＤ棱ＡＢ ,ＢＣ ,ＣＤ ,ＤＡ上的点 ,则Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ四点共面的充要条件是ＡＥＥＢ·ＢＦＦＣ·ＣＧＧＤ·ＤＨＨＡ=1 .证　先证充分性 .分两种情况 :　　 1 )当ＥＦ∥ＡＣ时 ,有 ＡＥＥＢ=ＣＦＦＢ.由 ＡＥＥＢ·ＢＦＦＣ·ＣＧＧＤ·ＤＨＨＡ=1知ＣＧＧＤ=ＨＡＨＤ.∴ＨＧ∥ＡＣ .∴ＥＦ∥ＨＧ .∴Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ四点共面 .2 )当ＥＦ∥ＡＣ时 ,设直线ＥＦ与直线ＡＣ相交于点Ｐ ,连结Ｐ…     

四面体体积的一个不等式

四面体体积的一个不等式孔令恩（山东枣庄三十中２７７１００）《数学通报》１９８４，１２载文（见［１］），提到杨路先生早些时候研究的不等式“，其中Ｐ为四面体的六棱之积，Ｒ为外接球半径，Ｖ是体积，”本文将给出此不等式的一个下限．定理设四面体的体积为Ｖ，外接...     

界点四面体的体积

文[1]给出了四面体的界点、界心的定义及其坐标公式,本文给出界点四面体的定义和体积的有关结果.