共查询到20条相似文献,搜索用时 62 毫秒
1.
M. Laczkovich 《Analysis Mathematica》1977,3(3):199-206
qVЕРхНИИ пРЕДЕл пОслЕД ОВАтЕльНОстИ МНОжЕс тВA n ОпРЕДЕльЕтсь сООтНО шЕНИЕМ \(\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } A_n = \mathop \cap \limits_{k = 1}^\infty \mathop \cup \limits_{n = k}^\infty A_n . B\) стАтьЕ РАссМАтРИВА Етсь слЕДУУЩИИ ВОпРО с: ЧтО МОжНО скАжАть О ВЕРхНИх пРЕДЕлАх \(\mathop {\lim sup}\limits_{k \to \infty } A_{n_k }\) , еслИ ИжВЕстНО, ЧтО пРЕсЕЧЕНИь \(\mathop \cap \limits_{k = 1}^\infty A_{n_k }\) «МАлы» Дль кАж-ДОИ пОДпОслЕДОВАтЕльНОстИ \((A_{n_k } )\) ? ДОкАжыВАЕтсь, Ч тО
- ЕслИ \(\mathop \cap \limits_{k = 1}^\infty A_{n_k }\) — кОНЕЧНОЕ МНО жЕстВО Дль кАжДОИ пОДпОслЕДОВАтЕльНОстИ \((A_{n_k } )\) , тО НАИДЕтсь тАкАь пОДпО слЕДОВАтЕльНОсть, Дл ь кОтОРОИ МНОжЕстВО \(\mathop {\lim sup}\limits_{k \to \infty } A_{n_k }\) сЧЕтНО;
- ЕслИ \(2^{\aleph _0 } = \aleph _1\) , тО сУЩЕстВУЕ т тАкАь пОслЕДОВАтЕл ьНОсть (An), ЧтО \(\mathop \cap \limits_{k = 1}^\infty A_{n_k }\) — сЧЕтНОЕ МНОжЕстВО Дль лУБОИ п ОДпОслЕДОВАтЕльНОстИ \((A_{n_k } )\) , НО \(\mathop {\lim sup}\limits_{k \to \infty } A_{n_k }\) ИМЕЕт МОЩ-НОсть кОНтИНУУМА;
- ЕслИA n — БОРЕлЕ ВскИЕ МНОжЕстВА В НЕкОтОРО М пОлНОМ сЕпАРАБЕльНО М МЕтРИЧЕскОМ пРОстРАНстВЕ, И \(\mathop \cap \limits_{k = 1}^\infty A_{n_k }\) — сЧЕт НОЕ МНОжЕстВО Дль кАж ДОИ пОДпОслЕДОВАтЕльНОстИ \((A_{n_k } )\) , тО сУЩЕстВУЕт тАкАь п ОДпОслЕДОВАтЕльНОсть, ЧтО \(\mathop {\lim sup}\limits_{k \to \infty } A_{n_k }\) — сЧЕтНОЕ МНОжЕстВО. кРОМЕ тОгО, ДОкАжАНО, Ч тО В слУЧАьх А) И В) В пОслЕДОВАтЕльНОстИ (A n ) сУЩЕстВУЕт схОДьЩА ьсь пОДпОслЕДОВАтЕльНО сть.
2.
D. Leviatan 《Israel Journal of Mathematics》1970,8(2):138-146
The purpose of this paper is to prove that for a large set of absolute Hausdorff and quasi-Hausdorff methods the condition $$\sum\limits_{k = 1}^\infty {\left| {\lambda _n a_n - \lambda _{n - 1} a_{n - 1} } \right|< } \infty $$ is a Tauberian condition, i.e., its fulfillment together with the absolute summability of \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n } \) tos implies that \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left| {a_n } \right|}< \infty \) and \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n } = s.\) a n =s. 相似文献
3.
А. X. гЕРМАН 《Analysis Mathematica》1980,6(2):121-135
LetD be a simply connected domain, the boundary of which is a closed Jordan curveγ; \(\mathfrak{M} = \left\{ {z_{k, n} } \right\}\) , 0≦k≦n; n=1, 2, 3, ..., a matrix of interpolation knots, \(\mathfrak{M} \subset \Gamma ; A_c \left( {\bar D} \right)\) the space of the functions that are analytic inD and continuous on \(\bar D; \left\{ {L_n \left( {\mathfrak{M}; f, z} \right)} \right\}\) the sequence of the Lagrange interpolation polynomials. We say that a matrix \(\mathfrak{M}\) satisfies condition (B m ), \(\mathfrak{M}\) ∈(B m ), if for some positive integerm there exist a setB m containingm points and a sequencen p p=1 ∞ of integers such that the series \(\mathop \Sigma \limits_{p = 1}^\infty \frac{1}{{n_p }}\) diverges and for all pairsn i ,n j ∈{n p } p=1 ∞ the set \(\left( {\bigcap\limits_{k = 0}^{n_i } {z_{k, n_i } } } \right)\bigcap {\left( {\bigcup\limits_{k = 0}^{n_j } {z_{k, n_j } } } \right)} \) is contained inB m . The main result reads as follows. {Let D=z: ¦z¦ \(\Gamma = \partial \bar D\) and let the matrix \(\mathfrak{M} \subset \Gamma \) satisfy condition (Bm). Then there exists a function \(f \in A_c \left( {\bar D} \right)\) such that the relation $$\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left| {L_n \left( {\mathfrak{M}, f, z} \right)} \right| = \infty $$ holds almost everywhere on γ. 相似文献
4.
We consider repeated two-person zero-sum games in which each player has only partial information about a chance move that takes place at the beginning of the game. Under some conditions on the information pattern it is proved that \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } v_n\) exists,v n being the value of the game withn repetitions. Two functional equations are given for which \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } v_n\) is the only simultaneous solutions. We also find the least upper bound for the error term \(\left| {v_n - \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } v_n } \right|\) . 相似文献
5.
6.
V. A. Ivanov 《Mathematical Notes》1978,23(1):3-16
For anyx ∈ r put $$c(x) = \overline {\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } } \mathop {\min }\limits_{(p,q\mathop {) \in Z}\limits_{q \leqslant t} \times N} t\left| {qx - p} \right|.$$ . Let [x0; x1,..., xn, ...] be an expansion of x into a continued fraction and let \(M = \{ x \in J,\overline {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } } x_n< \infty \}\) .Forx∈M put D(x)=c(x)/(1?c(x)). The structure of the set \(\mathfrak{D} = \{ D(x),x \in M\}\) is studied. It is shown that $$\mathfrak{D} \cap (3 + \sqrt 3 ,(5 + 3\sqrt 3 )/2) = \{ D(x^{(n,3} )\} _{n = 0}^\infty \nearrow (5 + 3\sqrt 3 )/2,$$ where \(x^{(n,3)} = [\overline {3;(1,2)_n ,1} ].\) This yields for \(\mu = \inf \{ z,\mathfrak{D} \supset (z, + \infty )\}\) (“origin of the ray”) the following lower bound: μ?(5+3√3)/2=5.0n>(5 + 3/3)/2=5.098.... Suppose a∈n. Put \(M(a) = \{ x \in M,\overline {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } } x_n = a\}\) , \(\mathfrak{D}(a) = \{ D(x),x \in M(a)\}\) . The smallest limit point of \(\mathfrak{D}(a)(a \geqslant 2)\) is found. The structure of (a) is studied completely up to the smallest limit point and elucidated to the right of it. 相似文献
7.
Г. Г. ГЕВОРКЯН 《Analysis Mathematica》1990,16(2):87-114
In this paper some basis properties are proved for the series with respect to the Franklin system, which are analogous to those of the series with respect to the Haar system. In particular, the following statements hold:
- The Franklin series \(\mathop \Sigma \limits_{n = 0}^\infty a_n f_n (x)\) converges a.e. onE if and only if \(\mathop \Sigma \limits_{n = 0}^\infty a_n^2 f_n^2 (x)< + \infty \) a.e. onE;
- If the series \(\mathop \Sigma \limits_{n = 0}^\infty a_n f_n (x)\) , with coefficients ¦a n ¦↓0, converges on a set of positive measure, then it is the Fourier-Franklin series of some function from \(\bigcap\limits_{p< \infty } {L_p } \) ;
- The absolute convergence at a point for Fourier—Franklin series is a local property;
- If an integrable function (fx) has a discontinuity of the first kind atx=x 0, then its Fourier-Franklin series diverges atx=x 0.
8.
Letf be a continuous function on the circle ¦z¦=1. We present a theory of the (untruncated) “Carathéodory-Fejér (CF) table” of best supremumnorm approximants tof in the classes \(\tilde R_{mn} \) of functions $${{\tilde r(z) = \sum\limits_{k = - \infty }^m {a_k z^k } } \mathord{\left/ {\vphantom {{\tilde r(z) = \sum\limits_{k = - \infty }^m {a_k z^k } } {\sum\limits_{k = 0}^n {b_k } z^k ,}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\sum\limits_{k = 0}^n {b_k } z^k ,}}$$ , where the series converges in 1< ¦z¦ <∞. (The casem=n is also associated with the names Adamjan, Arov, and Krein.) Our central result is an equioscillation-type characterization: \(\tilde r \in \tilde R_{mn} \) is the unique CF approximant \(\tilde r^* \) tof if and only if \(f - \tilde r\) has constant modulus and winding numberω≥ m+ n+1?δ on ¦z¦=1, whereδ is the “defect” of \(\tilde r\) . If the Fourier series off converges absolutely, then \(\tilde r^* \) is continuous on ¦z¦=1, andω can be defined in the usual way. For general continuousf, \(\tilde r^* \) may be discontinuous, andω is defined by a radial limit. The characterization theorem implies that the CF table breaks into square blocks of repeated entries, just as in Chebyshev, Padé, and formal Chebyshev-Padé approximation. We state a generalization of these results for weighted CF approximation on a Jordan region, and also show that the CF operator \(K:f \mapsto \tilde r^* \) is continuous atf if and only if (m, n) lies in the upper-right or lower-left corner of its square block. 相似文献
9.
10.
Let p={pv} be a fixed sequence of complex numbers. Define \(p_n : = \mathop \Sigma \limits_{\nu = o}^n p_\nu \) and suppose that \(p_{m_k } \ne o\) for a subsequence M={mk} of nonnegative integers. The matrix A=(αkv) with the elements $$\alpha _{k\nu } = p_\nu /p_{m_k } if o \leqslant \nu \leqslant m_k ,\alpha _{k\nu } = oif \nu > m_k $$ generates a summability method (R,p,M) which is a refinement of the well known Riesz methods. The (R,p,M) methods have been introduced in [4]. In the present paper we are concerned with the summability of the geometric series \(\mathop \Sigma \limits_{\nu = o}^n z^\nu \) by (R,p,M) methods. We prove the following theorem. Suppose G is a simply connected domain with \(\{ z:|z|< 1\} \subset G,1 \varepsilon | G \) . Then there exists a universal, regular (R,p,M) method having the following properties: (1) \(\mathop \Sigma \limits_{\nu = o}^\infty z^\nu \) is compactly summable (R,p,M) to \(\tfrac{1}{{1 - z}}\) on G. (2) For every compact set B?¯Gc which has a connected complement and for every function f which is continuous on B and analytic in its interior there exists a subsequence M(B,f) of M such that \(\mathop \Sigma \limits_{\nu = o}^\infty z^\nu \) is uniformly summable (R,p,M(B,f)) to f(z) on B. (3) For every open set U?Gc which has simply connected components in ? and for every function f which is analytic on U there exists a subsequence M(U,f) of M such that \(\mathop \Sigma \limits_{\nu = o}^\infty z^\nu \) is compactly summable (R,p,M(U,f)) to f(z) on U. 相似文献
11.
Rolf Trautner 《Analysis Mathematica》1988,14(2):111-122
Рассматриваются слу чайная величина \(\mathfrak{X} = (X_n (\omega ))\) , удовлетворяющая усл овиюE(X n 4 )≦M, и соответствующ ий случайный степенн ой ряд \(f_x (z;\omega ) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty a_n X_n (\omega )z^n\) . Устанавливаются тео ремы непродолжимост и почти наверное:
- дляf x при условиях с лабой мультипликати вности на \(\mathfrak{X}\) ,
- для \(f_{\tilde x}\) , где \(\mathop \mathfrak{X}\limits^ \sim = (\mathop X\limits^ \sim _n )\) есть подп оследовательность в \(\mathfrak{X}\) ,
- для по крайней мере од ного из рядовf x′ илиf x″ , где \(\mathfrak{X}'\) и \(\mathfrak{X}''\) — некоторые п ерестановки \(\mathfrak{X}\) , выбираемые универс ально, т. е. независимо от коэффициентовa n .
12.
Fabrice Bethuel Haim Brezis Frédéric Hélein 《Calculus of Variations and Partial Differential Equations》1993,1(2):123-148
LetΩ ? ?2 be a smooth bounded simply connected domain. Consider the functional $$E_\varepsilon (u) = \frac{1}{2}\int\limits_\Omega {\left| {\nabla u} \right|^2 + \frac{1}{{4\varepsilon ^2 }}} \int\limits_\Omega {(|u|^2 - 1)^2 } $$ on the classH g 1 ={u εH 1(Ω; ?);u=g on ?Ω} whereg:?Ω? → ? is a prescribed smooth map with ¦g¦=1 on ?Ω? and deg(g, ?Ω)=0. Let uu ε be a minimizer for Eε onH g 1 . We prove that uε → u0 in \(C^{1,\alpha } (\bar \Omega )\) as ε → 0, where u0 is identified. Moreover \(\left\| {u_\varepsilon - u_0 } \right\|_{L^\infty } \leqslant C\varepsilon ^2 \) . 相似文献
13.
G. G. Gevorkjan 《Analysis Mathematica》1982,8(4):239-256
Пусть (gW, ?,P) - вероятност ное пространство, ?1??2?...?? n ?...,? n ?? -последовательност ь σ-алгебр и ?∞ - порожден ная ими минимальная σ-алгебра. В статье указано необ ходимое и достаточно е условие на последовательность σ-алгебр {? n }, при выполнении кото рого для любой ?∞-измер имой функцииf(x) существует ряд \(\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \varphi _n (x)\) центрированных отн осительно {? n } функций {? n } n=1 ∞ такой, что
- \(\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \varphi _n (x)\) абсолютно почти вс юду сходится кf(x) на множестве {x: ¦f(x)¦<+∞};
- \(\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \varphi _n (x)\) сходится по мере кf(x) на множестве {х: ¦f(х)¦=+∞ }.
14.
F. Móricz 《Analysis Mathematica》1983,9(1):57-67
Основной целью работ ы является обобщение одного результата Кратца и Т раутнера [4], известного для одном ерных функциональны х рядов, на кратные ряды. Этот рез ультат касается суммируемо сти функционального ряда почти всюду при слабых пред положениях. В частности, он примен им к суммируемости по Чезаро и по Риссу. Мы рассматриваемd-кр атный ряд $$\mathop \sum \limits_{k_1 = 0}^\infty \cdots \mathop \sum \limits_{k_d = 0}^\infty c_{k_1 ,...,k_d } f_{k_1 ,...,k_d } (x), \mathop \sum \limits_{k_1 = 0}^\infty \cdots \mathop \sum \limits_{k_d = 0}^\infty c_{k_1 ,...,k_d }^2< \infty $$ и предполагается, что функции \(f_{k_1 ,...,k_d } (x)\) интегрируе мы по пространству с полож ительной мерой и имеют почти вс юду ограниченные фун кции Лебега для метода суммирова ния Т. Метод Т определяетсяd-мерной матрицей \(T = \{ a_{m_1 ,...,m_d ;k_1 ,...,k_d } \} \) сл едующим образом: $$t_{m_1 ,...,m_d } (x) = \mathop \sum \limits_{k_1 = 0}^\infty \cdots \mathop \sum \limits_{k_d = 0}^\infty a_{m_1 ,...,m_d ;k_1 ,...,k_d } c_{k_1 ,...,k_d } f_{k_1 ,...,k_d } (x).$$ Эти средние существу ют, поскольку мы предп олагаем, что \(a_{m_1 ,...,m_d ;k_1 ,...,k_d } = 0\) ,если max(k 1,...,k d) достаточно вели к (в зависимости, конеч но, отm 1,...,m d). При некоторых дополнительных усло виях на матрицуТ (см. (7)– (9) в разделе 3) устанавлива ется почти всюду регулярная схо димость средних \(t_{m_1 ,...,m_d } (x) \user2{} \user2{(}m_1 \user2{,}...\user2{,}m_d \user2{)} \to \infty \) . Как вспомогательный результат, в работе об общается теорема Алексича [1] о сх одимости почти всюду некоторы х подпоследовательн остей частных сумм функцио нального ряда. 相似文献
15.
F. Móricz 《Analysis Mathematica》1987,13(4):307-319
Пусть {? ik(x):i, k=1, 2,...} — орто нормированная систе ма в пространстве с полож ительной мерой и {a ik} — последов ательность действит ельных чисел, для которой $$\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik}^2 \kappa ^2 (i,k)< \infty ,$$ где {x(i, K)} — определенна я неубывающая последовательность положительных чисел. Тогда суммаf(x) двойног о ортогонального ряд а \(\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik} \varphi _{ik} (x)\) существует в смысле с ходимости в метрикеL 2 и сходимос ти почти всюду. Изучае тся порядок так называем ой сильной аппроксимац ииf(x) (при коэффициентн ых условиях) прямоуголь ными частными суммами \(s_{mn} (x) = \mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik} \varphi _{ik} (x)\) . Основной ре зультат состоит в сле дующем. Если {λj(m):m=1, 2,...} — неубывающи е последовательност и положительньк чисел, стремящиеся к ∞ и такие, что \(\mathop {\lim \sup }\limits_{m \to \infty } \lambda _j (2m)/\lambda _j (m)< \sqrt 2 \) дляj=1,2, и если $$\mathop \sum \limits_{\iota = 1}^\infty \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^\infty a_{ik}^2 \left[ {\log log (i + 3)} \right]^2 \left[ {\log log (k + 3)} \right]^2 (\lambda _1^2 (i) + \lambda _2^2 (k))< \infty ,$$ TO ПОЧТИ ВСЮДУ $$\left\{ {\frac{1}{{mn}}\mathop \sum \limits_{i = 1}^m \mathop \sum \limits_{\kappa = 1}^m \left[ {s_{ik} (x) - f(x)} \right]^2 } \right\}^{1/2} = o_x (\lambda _1^{ - 1} (m) + \lambda _2^{ - 1} (n))$$ при min (m, n) → ∞. 相似文献
16.
Rolf Trautner 《Analysis Mathematica》1984,10(1):43-51
По определению после довательность {μ n пр инадлежит классуG s , если звезда М иттагЛеффлера произвольного степе нного ряда (1) $$\mathop \sum \limits_0^\infty a_n z^n , \mathop {lim sup}\limits_{n \to \infty } \left| {a_n } \right|^{1/n}< \infty $$ , совпадает со звёздам и Миттаг-Леффлера сте пенных рядов $$\mathop \sum \limits_0^\infty \mu _n a_n z^n ,\mathop \sum \limits_0^\infty \mu _n^{ - 1} a_n z^n $$ . В работе установлены следующие утвержден ия Теорема 1.Для произво льной последователь ности ? n с условиями $$0< \varphi _n< 1,\mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \varphi _n = 0,\mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \varphi _n^{1/n} = 1$$ существует неубываю щая функция χ(t) такая, ч то моменты \(\mu _n = \int\limits_0^1 {t^n d\chi (t)} \) удовлетворяют условию 0<μnn звезда М иттаг-Леффлера любог о ряда (1) совпадает со звездой МиттагЛеффлера степенных рядов . Теорема 2. Для произвол ьной неотрицательно й последовательности {аn} с условием {a n } и для любой последов ательности {?n} для к оторой 0n<1, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \varepsilon _n = 0\) сущест вуютπ={π n }∈G s и последовательнос ть {пi} такие, что anμn≦1 (n≧n0), \(a_{n_i } \mu _{\mu _i } \geqq exp( - \varepsilon _{n_i } )\) (i=1, 2, ...) и при эmom звезда Миттаг-Леффлера ряда (1) совпа дает со звездой Миттаг- Леффлера степенных р ядов . 相似文献
17.
Zhu Yaochen 《数学学报(英文版)》1991,7(2):127-134
In the present note the algebraic independence of certain continued fractions is proved. Especially, we prove that the Böhmer-Mahler's series \(\sum\limits_{K = 1}^\infty {\left[ {\omega _v k} \right]} {\text{ }}g_\mu ^{ - k} \left( {1 \leqslant \mu \leqslant s,1 \leqslant v \leqslant t} \right)\) are algebraically independent, where \(\mathop \omega \nolimits_1 {\text{ , }}...{\text{ , }}\mathop \omega \nolimits_{\text{t}} \) , ..., \(\mathop g\nolimits_1 {\text{ , }}...{\text{ , }}\mathop g\nolimits_s \) are some irrational numbers andg 1, ...,g s are distinct positive integers. 相似文献
18.
19.
屠规彰 《应用数学学报(英文版)》1984,1(1):26-30
Let(?)=B_ηu:2(q-(?))+(⊿((?)-2q))+(2q_x+(?)_x))η=0,2(r-(?)+(⊿(2(?)-r)+(r_x+2(?)_x))η=0,u=(q,r)~Tbe the Backlund transformation (BT) of the hierarchy of AKNS equations,where η is a parameterand Δ=integral from -∞ to x (qr-(?))dx′.It is shown in this paper the infinitesimal BT B_(η+ε)B_η~(-1) admits thefollowing expansionB_(η+ε)B_η~(-1)u=u+εsum from n=0 to ∞ β_n(JL~(n+1)u)η~n,β_n=1+(-1)~n2~(-n-1),where L is the recurrence operator of the hierarchy and ε is an infinitesimal parameter.Thisexpansion implies the equivalence between the permutabiliy of BTs and the involution in pairs ofconserved densities. 相似文献
20.
Analogs of the arcsine distribution for sequences linearly generated by independent random variables
Yu. A. Davydov 《Journal of Mathematical Sciences》1983,23(3):2266-2275
Let {ξk}, kz ...?1,0,1, ..., be a sequence of independent identically distributed random variables with . Let {Ck} be a numerical sequence such that \(\Sigma _{ - \infty }^\infty c_k^2< \infty \) Let $$X_n = \sum\limits_{ - \infty }^\infty {c_{k - n} \xi _k } , S_n = \sum\limits_1^n {X_k } $$ . This article investigates the limit behavior of the distributions of functionals of the following type: $$\mathcal{V}_n = \tfrac{1}{n}\sum\limits_1^n {h\left( {S_k } \right)} $$ , where h is a bounded function on R1. 相似文献