一道双曲线习题的探究

<正>以下题目是新课标人教版2-1第二章《圆锥曲线》里面的一道课后习题.一、题目及解答已知双曲线C:x²-y2-y²/2=1,过点P(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于A、B两点,且点P是AB线段的中点?解假设过点P(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于A、B两点,且点P是AB线段的     

椭圆性质的内涵与拓展

<正>设F是椭圆x²/6+y2/6+y²/2=1的右焦点,T为直线x=t(t∈R,t≠2)上纵坐标不为0的任意一点,过点F作TF的垂线交椭圆于点P,Q,若直线OT经过线段PQ的中点M,求实数t的值.一、问题解法的探讨解法1 (点差法),众所周知,点差法是解决解析几何中关于中点问题的常用方法,其过     

你知道点差法产生增根问题的原因吗

同学们都熟悉,用点差法求二次曲线的中点弦问题,有时所求得的直线方程,却不是问题的解,是增根,你知道产生增根问题的原因吗？例1已知直线l与双曲线x22-y24=1交于A,B两点,P（1,1）是弦AB的中点,问直线l是否存在？如果存在,求出l的方程;如果不存在,说明理由.解当直线l的斜率不存在时,由双曲线的轴对称性知不满足要求.当直线l的斜率存在时,设A（x1,y1）,B（x2,     

1981年高考数学第九题分析

今年高考(理工农医类)数学试题第九题是:给定双曲线x~2-y~2/2=1 (1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P_1及P_2,求线段P_1P_2的中点P的轨迹方程;(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q_1及Q_2,且点B是线段Q_1Q_2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程?如果不存在,说明理由。我们在参加批阅高考试卷过程中,尤其是第(1)小题,发现多种解法,现摘选几种解法介绍如下:     

椭圆和双曲线中两个统一的定值及其应用

本文介绍椭圆和双曲线中几个统一的定值及其应用.定理1如果直线l与离心率为e的双曲线C:x~2/a~2-y~2/b~2=1(或椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1,a>b>0)交于A、B两点,P为线段AB的中点,且l与双曲线C(或椭圆)的对称轴不平行,则k_(OP)·k_(AB)=e~2-1.本文仅证明双曲线中的公式,椭圆中的公式留给读者自证.     

圆锥曲线的中点弦的性质及其应用

在平面解析几何中常需要求圆锥曲线的过定点的动弦的中点轨迹。例如,给定双曲线x~2-y~2/2=1,过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P_1及P_2,求线段P_1P_2的中点P的轨迹方程。为了求出P点的轨迹方程,已有各种各样方法:有用直线的点斜式方程的;有用直线的点斜式参数方程的;有用直线的两点式参数方程的;     

对点差法的困惑与反思

<正>最近,学校阶段性考试中,对一道圆锥曲线题的解答,在学生中产生了很大的争议,看似十分合理的解法,但结果却不同,而且不知错在哪里?本文展示出来,以期引起重视!2题目已知双曲线方程:x²-(y2-(y²)/2=1.试问过点A(1,1)能否作直线l,使它与双曲线交于P_1、P_2两点,且点A是线段P_1P_2的中点?这样的直线l存在吗?如果存在,求出直线l方     

由引例探究圆锥曲线的“中点弦”

直线与圆锥曲线相交所得“中点弦”问题,是解析几何中的重要内容之一,也是高考的一个热点问题。解决此类问题,常规思路主要有两种：一是利用代数法结合根与系数的关系求解;二是利用点差法处理。本文以教材中一道双曲线“中点弦”问题为引例,展开探讨。     

“换点”巧求中点弦

二次曲线的中点弦问题,在各种书刊中,一般都是用韦达定理来求解的。作者在教学实践中,发现了一种更简捷的方法——换点法。下面仅举两例略述如下。例1 已知双曲线x~2/4-y~2=1及点A(3,1),求以A点为中点的弦所在直线的方程。解设弦所在直线与双曲线的一个交点为M_1(x,y),由中点坐标公式,可得另一交点M_2的坐标为(6-x,2-y),因点M_1、M_2都在双曲线上,将它们的坐标公别代入双曲线方程中,得:(2)-(1)并整理得: 3x-4y-5=0 这就是弦所在直线的方程。在上述解法中,巧妙地运用中点坐标公     

一道全国高中数学联赛预赛试题的推广

<正>题目(2015年全国高中数学联赛四川预赛15题)过双曲线x²-y2-y²/4=1的右支上任意一点P(x_0,y_0)作一直线l与两条渐近线交于A、B,若P是AB的中点.(1)求证:直线l与双曲线只有一个交点;(2)求证:△OAB的面积为定值.解答证明:(1)双曲线的两条渐近线方程为y=±2x.当y_0=0时,易得直线l的方程为x=x_0,此时直线l与双曲线只有一个交点.     

双曲线和椭圆的又一个几何性质

<正>问题设F₁,F₂是双曲线x²-y²=4的两个焦点,Q是双曲线上任意一点,从F₁引∠F₁QF₂的平分线的垂线,垂足为P,求点P的轨迹方程.     

用好“点差法”

<正>"点差法"是学习解析几何时,解决直线与曲线位置关系中,有关弦中点的问题的常用的方法之一.它通过方程作差、中点公式、斜率公式等,把直线与曲线的交点问题,迅速转化为弦中点的横纵坐标和弦所在直线斜率的关系,使问题得到解决.下面以2013年北京高考试题19的第二问为例体会一下这个方法的简洁和快捷.     

双曲线的几个有趣性质

笔者对双曲线作了研究,得到了几个有趣的结论,现论述如下,与同行共享. 性质1 设E,F是双曲线x2/a2-y2b2=1(a＞0.b)>0)的左右焦点,双曲线的半焦距为c,P是直线x=＞±c2/a上的动点,∠EPF=θ,双曲线离心率是e,则θ为锐角且cscθ≥e(当且仅当点P到双曲线实轴的距离为eb时取等号).     

椭圆中的“垂径定理”

圆中的垂径定理是我们较为熟悉的,但其实在椭圆中也存在着与圆中垂径定理类似的结论.一、问题的起源设椭圆方程为x2/a2+y2/b2=1,求椭圆所有斜率为k的弦的中点轨迹方程.解运用点差法,设弦与椭圆分别交于不同的两点(x1,y1),(x2,y2),由于点在直线上,有     

也谈"点差法"的改进

点差法,又叫代点相减法,是解决圆锥曲线中的点弦问题非常重要,也非常简便的方法之一.利用这个设而不求的方法能快速、准确地得到弦的中点坐标与弦的斜率之间的关系式.同时我们也知道,点差法本身存在一个较大的缺陷.     

一题答案引发的思考与探究

<正>在高二解析几何单元测试中,有这样一道题:题目在平面直角坐标系xOy中,过双曲线x2-y2/9=1的左焦点F1作圆x2+y2=1的一条切线(切点为T)交双曲线右支于P,若M为线段F1P的中点,则|OM|-|MT|= _____.在答卷中有52.3%的人为2,有45.6%的     

对数学问题1631的研究性学习

<数学通报>2006年第9期数学问题(文[1])1631为: 过双曲线(x~2/a~2)-(y~2/b~2)=1(a>0,b>0)的右焦点F作B_1 B_2⊥x轴,交双曲线于两点B_1,B_2,B_2 F_1,交双曲线于B点,连结BB_1交x轴于H点.求证:过H垂直于x轴的直线l是双曲线的"左"准线.     

一道竞赛改编题的多种解法及其启示

<正>原题^[1]设点P在双曲线x²/16+y²/9=1除去顶点的右支上运动,E、F分别为其左、右焦点.设A为△PEF在∠PEF内的旁心.则点A的轨迹方程为______.这是一道经典的求轨迹问题,笔者将其中的限制条件“双曲线的右支”去掉,得到下面的改编题,作为全国高中数学联赛一试的模拟题给同学们训练.     

对双曲线中点弦的探讨

例题已知双曲线x~2-y~2/2=1,试问过点A(1,1)能否作直线l,使它与双曲线交于M、N两点,且点A是线段MN的中点?解设M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)则①-②得(x_1~2-x_2~2)-(y_1~2-y_2~2)=0,∴k_(MN)=(y_1-y_2)/(x_1-x_2)=(2(x_1 x_2)/(y_1 y_2)=2．     

建议学生勤进行解题回顾

文[1]叶万海同学利用双曲线的第一定义较为巧妙地解决了下题： 如图1,已知F1,F2是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0）的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点P在双曲线上,则双曲线的离心率是（ ）