函数轴对称问题初探

复合函数轴对称问题比较复杂 ,现行高中课本并未涉及 ,但复习考试题中经常遇到 ,学生感到困难 ,现就线性复合函数对称问题作初步探讨 .定理 1　若 y =f(x) 以x =b为对称轴 ,f(x) 是定义在R上的函数 ,则f(x) =f( 2b-x) (以下函数均定义在R上 ) .证　略 .定理 2　若 y =f(x) 以x =b为对称轴 ,k≠ 0 ,则 y =f(kx)以x =bk 为对称轴 ,反之亦然 .证　因为 y =f(x) 以x =b为其对称轴 ,f(x) 的图象到 f(kx)的图象纵坐标保持不变 ,则 f(kx)的横坐标缩小到 1k,f(kx)的对称轴的横坐标也缩小到1k,所以 f(kx)的对称轴为x =bk.定理 3　若 y =f(x) 关于直…     

争鸣

问题　　 问题 6 9　已知函数 y =f(x) 的对称轴为x =b ,求 y=f(kx +c) (k≠ 0 )的对称轴方程 .解　因为 f(kx +c) =f(k(x + ck) ) ,所以 y=f(kx +c)的图象是由 y =f(x) 的图象先实施平移变换 ,再实施伸缩变换而得到 .x =b进行相应的平移变换后得x =b - ck ,再将x =b - ck 进行相应的伸缩变换后得x =b- ckk .即x =kb-ck2为 y =f(kx +c)的对称轴 .上述解法对吗 ?若不对请说明产生错误的原因 .(本刊编辑部根据来稿摘登 )　　问题 70 　在人教版数学第一册 (必修 )的三角函数一章中 :正切函数 y =tanx的单调递增区间表示为 (kπ - π2 ,kπ + …     

如何探讨抽象函数的性质

在近几年的高考试卷中出现过不少有关抽象函数的题目,要求研究抽象函数的定义域和值域、反函数、奇偶性、单调性、周期性等,下面逐一加以例析.一、定义域这类问题一般是给出y=f(x)和g(x)的定义域,求解复合函数y=f(g(x))的定义域.解决的关键是将g(x)看成一个整体,来替代y=f(x)中的x,从而转化为求解不等式.例1函数y=f(x)的定义域为[-12,21],求函数y=f(cosx)的定义域.分析与简解:因为函数y=f[g(x)]中的g(x)相当于f(x)中的自变量x.所以?21≤cosx≤12,解三角不等式得kπ 3π≤x≤kπ 2π3(k∈Z).解题的关键是始终要明白定义域是自变量的取值范围…     

两类一阶线性偏微分方程的解

利用二元复合函数求导的链式法则,推导一阶线性齐次偏微分方程P(x)f1x+Q(y)f1y=0的解,由此得出一阶线性非齐次偏微分方程P(x)f1x+Q(x)f1y=R(x)f和P(x) f1zx+Q(y)f1y=R(x)f的通解.     

陕西省第四次大学生高等数学竞赛(复赛)试题(附答案)〔2001年10月13日上午9∶00—12∶00〕

一、( 1 0分 )求 dndxn( x3x2 -1 ) |x=0 　 ( n>1 ) [=0 ,当 n为偶数-n!,当 n为奇数二、( 1 0分 )设函数 φ( x)、f( x)有一阶连续导数 ,且 f′( x) >0 ,又函数 z( x,y) =f[x φ( y) ]满足方程φ( y) z x- z y=0 ,求φ( y) .[=Cey三、( 1 0分 )计算 I =∫ 11 kcosxdx,k为非零常数 .[当 |k|>1时 ,I =1k -1k -1k 1 lnk 1k -1 tan x2k 1k -1 -tan x2 C;当 0 <|k|<1时 ,I =21 -k2 arctan( 1 -k1 ktan x2 ) C;当 k =± 1时 ,I =± cscx± cotx C,四、( 1 0分 )设 xn 1=14( 3 xn 81x3 n) ( n=0 ,1 ,2 ,… ) ,其中 x0 >0 .( 1 )证明…     

Hammerstein型非线性积分方程的固有值与固有函数

<正> 本文是作者工作[1]—[3]的继续.利用 Leray-Schauder 拓扑度理论研究下面形式的Hammerstein 型非线性积分方程(?)(x)=integral G k(x,y)f[(?)(y)]dy=A(?)(x) (1)的固有值与固有函数,这里 G 表 N 维欧氏空间 R~N 中某有界闭域,函数 f(u) 在0≤u≤δ(δ>0)上连续且 f(0)=0.以下,恒用 f′+(0)表 f(u)在点 u=0的右导数.定理1 假定:(i)非负连续核 k(x,y) 满足k(x,x)(?)0 (x∈G);     

二元函数极值的一种新判别方法

通常都是利用二阶偏导数来判别二元函数 z =f (x,y)的极值存在性 .本文将讨论如何利用一阶偏导数来判别二元函数的极值存在性 .我们知道 ,在利用二阶偏导数判别 z =f (x,y)的极值时存在着两方面的不便 :1°要计算三个二阶偏导数值 ;2°当 [fxx .fyy -f2xy]( x0 ,y0 ) =0时 ,不能确定极值是否存在 .下面我们受一元函数极值判别的启发 ,利用一元函数的性质 ,研究如何用一阶偏导数判别二元函数的极值 .设二元函数 z =f (x,y)在点 (x0 ,y0 )的 δ-邻域 B| ( x0 ,y0 ) ={ (x,y) | 0 <(x -x0 ) 2 (y -y0 ) 2 <δ}内有连续偏导数 ,(x,y)是该邻域…     

新题征展(133)

A 题组新编1.设函数y=f(x)在定义域D上可导,且a∈D,则(1)函数y=f(x)的图象关于点(α,f(α))对称( ←→)函数y=f'(x)的图象关于直线x=α对称;(2)当f'(a)=0时,函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称( ←→)函数y=f'(x)的图象关于点(a,f'(a))对称.     

广义齐次函数

若函数f(x,y)在其定义域G上满足恒等式 f(tx,ty)=t~nf(x,y),t>0,则称f(x,y)为n次齐次函数。把这个概念推广一下,还可以得到一类广义齐次函数,本文的目的就是对这类广义齐次函数的性质作一初步的讨论。定义.若函数f(x,y)在其定义域G上对一切t>0恒满足等式 f(tx,ty)=h(x,y)k(t)+z~mf(x,y),(1)其中h(x,y)为n次齐次函数,k(t)=t~mlnt(n=m时)或k(t)=(t~n-t~m)(n≠m时),则我们称函数f(x,y)为关于特征函数h(x,y)的m次广义齐次函数。例如,xlny+ylnx+x为关于特征函数x+y的1次广义齐次函数。而x~2+y~2+x~2y则为关于特     

反函数函数的一种几何解释

设函数 y=f ( x)的反函数存在 ,且 f′( x)≠ 0 ,则其反函数 x=f- 1( y) (或记 x=φ( y) ,此处φ=f- 1)的导数也存在。在同一坐标系中函数与其反函数的图象是同一条曲线 ,如下图。关于函数 y=f ( x)在点 x处的导数 f′( x) ,其几何意义是曲线 y=f( x)在点 ( x,y)处的切线 l关于 x轴的斜率 ,从而有 dydx= f′( x) =tanα,其中α是切线 l与 x轴正向的夹角 ,同时记切线与 y轴正向夹角为 β。关于函数 x=f- 1( y) ( x=φ( y) ) ,在相应点 y处的导数为 φ′( y) ,其几何意义是曲线 x=f- 1( y) ( x=φ( y) )在点 ( x,y)处的切线 l,关于 y轴正向的…     

例谈极值问题转化的策略

<正>函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都大(都小),f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0(f′(x)>0),右侧f′(x)>0(f′(x)<0),就把点a叫函数y=f(x)的极小值(极大值)点,f(a)叫函数y=f(x)的极小值(极大值).可见极值点a处一定有f′(a)=0,但是f′(a)=0的点a不一定为极值点.处理极值问题除了课本上常见的列表定义判断外,还有多     

2006年高考数学全国卷Ⅰ

一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.1.设集合M={x|x2-x<0},N={x||x|<2},则A.M∩N=B.M∩N=MC.M∪N=MD.M∪N=R2.已知函数y=ex的图像与函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称,则A.f(2x)=e2x(x∈R)B.f(2x)=ln2·lnx(x>0)C.f(2x)=2ex(x∈R)D.f(2x)=lnx+ln2(x>0)3.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=A.-41B.-4C.4D.414.如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数=A.1B.-1C.2D.-25.函数f(x)=tanx+4π的单调增区间为A.kπ-2π,kπ+2π,k∈ZB.(kπ,(k+1)π),k∈ZC.kπ-34π,kπ+4π,k∈ZD.kπ-4π,kπ+34π,k∈Z6.△ABC的内角A、B、…     

赋值法在抽象函数中的应用

我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数 .由于这种表现形式的抽象性 ,使得直接求解思路难寻 .解这类问题可以通过化抽象为具体的方法 ,即赋予恰当的数值或代数式 ,经过运算与推理 ,最后得出结论 .下面分类予以说明 .1　 判断函数的奇偶性例 1　若 f ( x + y) =f ( x) + f ( y)对于任意实数 x、y都成立 ,且 f( x)不恒等于零 ,判断函数 f ( x)的奇偶性 .解　在 f( x + y) =f ( x) + f ( y)中令x =y =0 ,得 f( 0 ) =0 .又在f ( x + y) =f( x) + f ( y)中令 y =- x,这样就有　 f ( x - x) =f ( x) + f( - x) ,即 f ( 0 ) =f ( x) + f ( - x)…     

关于如何使用好复合函数求导公式的探讨

复合函数的求导问题,历来是函数求导数中的一个难点.关于复合函数的求导法则,国内、国外的数学分析教材和高等数学版本都是这样叙述的:设y=f[（?）(x)]是由函数y=f(u)及u=（?）(x)复合而成的函数,若函数u=（?）(x)在点x处是可导的,y=f(u)在对应点y=（?）(x)处也可导,则复合函数y=f[（?）(x)]在点x处可导,且其导数为     

函数图像的两种对称问题

对于如下问题,许多同学感到不知所措. 1.y=f(x)是定义在R上的函数,则y= f(1-x)与y=f(1+x)的图像关于__对称. 2.y=f(x)是定义在R上的函数,若f(1+ x)=f(1-x),则y=f(x)的图像关于__对称. 3.y=f(x)是定义在R上的函数,则y= f(x-1)与y=f(1-x)的图像关于__对称. 其实,此类问题涉及到了函数图像的两种对称性,一种是同一函数自身的对称性,我们称其为自对称;另一种是两个函数之间的对称性,我们称其为互对称.     

函数零点的几种转化方法

<正>函数的零点是最近几年高考数学出题的热点,无论是选择题,填空题,解答题的压轴题出现这个知识点的频率都很高.较简单的类型零点可直接求出,零点问题变化较多,但寻求f(x)=g(x)的零点个数主要方法还是转化成两个函数y=f(x),y=g(x)的公共点个数,关键在于y=f(x),y=g(x)的函数图像在同一个直角坐标系中容易画出,有时需要进行变形整理.有些对称问题和纵坐标相等的问题都可以转化成函数交点问题来解决.一、零点个数转化成两个函数公共点个数     

新题征展(30)

A　题组新编1 .( 1 )对任意的 x∈ [- 1 ,1 ],函数 f( x)= x2 - ( k 1 ) x 4的值恒大于 0 ,求实数 k的取值范围 ;( 2 )对任意的 k∈ [- 1 ,1 ],函数 f ( x) =x2 - ( k 1 ) x 4的值恒大于 0 ,求实数 x的取值范围 .2 .( 1 )过点 P( 3,1 )作直线 l交 x、y轴正方向于 A、B点 ,求使△ AOB面积最小时直线l的方程 ;( 2 )过点 P( 3,1 )作直线 l交 x轴正方向于 A,交直线 y =2 x于 B,求使△ AOB面积最小时直线 l的方程 ;( 3)过点 P( 3,1 )作直线 l分别交直线 y= - x - 2与 y =2 x 1于 A、B,且 O′为这两条直线的交点 ,求使△ AO′B面…     

抽象函数与解题模型

我们这里所说的“抽象函数”是指那些没有给出函数的具体解析式,只给出一些特殊条件或特征的函数(如函数递推式,函数的定义域、函数性质及特征、部分图象等)尽管这类函数问题高度抽象,但往往有它所对应的具体函数模型.例如:f(x y)=f(x)·f(y)对应的是指数函数ax y=ax·ay,f(xy)=f(x) f(y),对应的是对数函数loga(xy)=logax logay,f(x y)=f(x) f(y)对应的是正比例函数k(x y)=kx ky,f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y)正弦型的三角函数.f(x±y)=f(x)f(y)g(x)g(y)余弦型的三角函数等等.除此之外面对抽象函数数学题,我们的解题思路常常有:(1)合理赋值,化…     

不动点的性质及应用

本文试图探索不动点问题的解题途径、规律和策略,权当对教材的补充.一、函数不动点的定义定义:对于函数f(x),若存在实数x0,满足f(x0)=x0,则称x0为f(x)的不动点.对此定义有两方面的理解(1)代数意义:若方程f(x)=x有实根x0,则y=f(x)有不动点x0.(2)几何意义:若函数y=f(x)与y=x有交点(x0,y0),则x0为y=f(x)的不动点.在实际问题中经常根据f(x)=x根据情况进行讨论,同时结合图形来求解有关不动点的问题.二、函数不动点的性质性质1:函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),-1不动点.证明:由f(x0)=x0,可得f-1(x0)=x0,所以x0是y=f-1(x)的不动点.性质2:定义在R的…     

新题征展(10)

A.题组新编1.(1)设函数y=f(x)的定义域为R,则两函数y=f(2-x)与y=f(x-4)的图象关于　　对称;(2)已知函数y=f(x)对于任意x∈R都有f(2-x)=f(x-4),那么函数y=f(x)的图象关于　　对称;(3)设函数y=f(x)的定义域为R,则两函数y=f(x)与y=-f(2-x)的图象关于　　对称.(廉万朝、孙荣供题)2.