Propagation of discontinuity waves of any order through an elastic solid saturated with an inviscid fluid

Summary In this paper we study the propagation of discontinuity waves of any order through an elastic solid saturated with an inviscid fluid by using the linear theory derived in [1] by G. Szefer. By means of the singular surfaces theory we obtain the possible normal speeds of propagation of the wave front and the evolution law along the normal trajectories for transverse and longitudinal propagation.

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Riassunto In questo lavoro studiamo la propagazione di onde di discontinuità di ogni ordine in un mezzo elastico poroso saturato da un fluido non viscoso nell'ambito della teoria lineare formulata da G. Szefer in [1]. Usando il metodo delle superfici singolari otteniamo le possibili velocità normali di avanzamento del fronte d'onda e la legge di evoluzione delle discontinuità lungo le corrispondenti traiettorie normali sia per propagazione trasversale, sia per propagazione longitudinale.

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This work was supported by the G. N. F. M. of C. N. R.     

Diffusive-dispersive traveling waves and kinetic relations III. An hyperbolic model of elastodynamics

This is the third part of a series devoted to the existence, uniqueness, monotonicity, and asymptotic properties of the traveling wave solutions of diffusive-dispersive conservation law. In this part, we focus attention on a nonconvex hyperbolic model of two conservation laws arising in nonlinear elastodynamics and including nonlinear viscosity and capillarity terms. On one hand, using the techniques developed earlier, we study the properties of the corresponding classical and nonclassical shock waves and their corresponding kinetic relation. Several new features are found for this (hyperbolic) model: First of all, we distinguish here between a kinetic function and an inverse kinetic function; the latter is always globally defined but may fail to be globally invertible. Second, we show that shock waves with sufficiently small amplitude are always classical, for a fixed ratio of diffusion and dispersion. Third, we determine here the asymptotic behavior of the kinetic function for both shocks with large and small amplitudes.

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Sunto  Questa è la terza parte di una serie di lavori dedicati all'esistenza, unicità, monotonia e proprietà asintotiche delle soluzioni d'onda di propagazione per leggi di conservazione diffusive-dispersive. In questa parte, l'attenzione è focalizzata su un modello iperbolico non convesso di due leggi di conservazione che sorgono in elastodinamica non lineare, che tengono conto della viscosità non lineare e dei termini di capillarità. Da una parte, utilizzando le tecniche precedentemente sviluppate, studiamo le proprietà delle corrispondenti onde d'urto classiche e non classiche e le loro corrispondenti relazioni cinetiche. Diverse nuove proprietà sono state trovate per questo modello (iperbolico). Innanzitutto, qui distinguiamo tra una funzione cinetica ed una funzione cinetica inversa, quest'ultima essendo sempre definita globalmente ma possibilimente non sempre globalmente iinvertibile. In secondo luogo, mostriamo che onde d'urto con ampiezza sufficientemente piccola sono sempre classiche, per un valore fissato del rapporto tra diffusione e dispersione. In ultimo, determiniamo il comportamento asintotico della funzione cinetica per onde d'urto aventi sia ampiezza grande sia piccola.

     

Applications of polarity

Sunto Nella prima parte di questo lavoro si sviluppa la geometria differenziale del triedro mobile per il gruppo SL(n). La polarità nella sfera unità trasforma una matrice di Frenet C in — C^T per varie geometrie lineari e proiettive. Nella seconda parte si deriva una serie di disuguaglianze integrali basate sulla trasformazione per polarità. Nella terza parte si calcola la trasformazione della matrice Hessiana e della curvatura di Gauss in polarità e ne fa applicazione ai teoremi di rigidità di Liebmann-Hilbert e J?rgens-Calabi-Pogorelov.

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ToBeniamino Segre on his 70-th birthday

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Entrata in Redazione il 18 settembre 1974.

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Research partially supported by NSF Grant GP-27960. AMS (MOS) classification: 26 A 84, 28 A 86, 35 A 30, 35 K 99, 53 A 15, 53 A 20.     

Sur le problème de la correspondance par parallélisme entre les variétés réglées dansS n

Sunto In una serie di lavori anteriori propri l' A. ha studiato le ipersuperficie rigate dello S₄ e S₅ ed ha stabilito tra l'altro delle corrispondenze per parallelismo tra vari tipi di varietà rigate di tali spazi [9] – [14]. Il presente lavoro si riferisce alle varietà rigate dello S_n ed è suddiviso in due parti. Nella prima, si da una classificazione affine delle ipersuperficie rigate nello S_n, necessaria per lo studio del problema della corrispondenza per parallelismo, mentre nella seconda si determinano alcune corrispondenze per parallelismo tra le varietà rigate di questo spazio.

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Hommage à Monsieur le ProfesseurEnrico Bompiani     

Su un gruppo di casi relativi ad onde magneto-idrodinamiche non omogenee

Sunto Riferendosi ad un fluido perfetto, incompressibile e di conducibilità elettrica infinita, soggetto ad un campo magnetico stazionario opportunamente assegnato, si introducono le equazioni della magneto-idrodinamica espresse in generiche coordinate curvilinee ortogonali. Si ricercano poi delle opportune ipotesi sotto le quali per tali equazioni è possibile il calcolo completo del campo magneto-idrodinamico, che risulta propagarsi per onde non omogenee nella direzione del detto campo magnetico stazionario assegnato. Sono poi trattati casi particolari in coordinate cartesiane e in coordinate cilindriche.     

Relatively regular ideals in semiprime Banach algebras

Nella prima parte di questo lavoro vengono studiate le relazioni che intercorrono tra il concetto di relativa regolarità in un'algebra non necessariamente unitaria ed alcuni ideali (radicale, zoccolo, prezoccolo) che intervengono nello sviluppo della teoria di Fredholm in algebre di Banach. Nella seconda parte del lavoro viene dimostrato che in certe algebre di BanachA complesse semiprime l'esistenza di un ideale relativamente regolare chiuso implica cheA è unitaria e di dimensione finita.     

Growth of thermo-acceleration waves in a model of irreversible thermodynamics

In questo lavoro si considera il moto unidimensionale di un fluido termoviscoso stokesiano, utilizzando la teoria di Müller [2]. Nel caso di un fluido ideale monoatomico si determinano le limitazioni cui devono soddisfare le variabili di campo affinché il sistema sia iperbolico e si studia la propagazione delle discontinuità deboli in uno stato uniforme imperturbato. Infine si determina l'espressione del tempo critico, in cui l'onda di discontinuità genera un'onda d'urto, e si trova che tale tempo critico esiste solo se l'ampiezza iniziale dell'onda di discontinuità è opportunamente limitata.     

Thermo-mechanic shock waves in elastic materials and viscous fluids

Sunto Si studiano onde d'urto termo-elastiehe, precisamente T--onde d'urto, propagantisi in corpi che o sono elastici, o appartengono a una certa classe K di fluidi Stokesiani, includenti propriamente quelli di Navier-Stokes. Inoltre si propongono dei problemi unidimensionali di evoluzione tnvolgenti T--onde d'urto, posti in una forma linearizzata. La teoria delle onde termo-meccaniche di accelerazione, o T--onde di accelerazione, per corpi elastici e fluidi di Navier-Stokes, è estesa brevemente alla classe K; inoltre si mostra che essa concorda con la presente per onde d'urto. Ciò ha luogo qualitativamente in ogni caso, e quantitativamente in molti casi importanti, includenti tutti quelli di T--onde (d'urto o di accelerazione) propagantisi in corpi elastici (o fluidi non-viscosi). Si intende che sia che esplicitino ed estendano un certo diffuso procedimento per studiare la propagazione delle onde in un certo corpo reale schematizzato soddisfacentemente da un corpo C capace di conduzione termica, il quale sia elastico o sia un fluido viscoso. Secondo questo procedimento (i) si considera un certo corpo puramente meccanico, (ii)si studiano le onde di accelerasione o d'urto in esso, e (iii)si attribuiscono i risultati di questo studio a C. Come è posto in evidenza in [1], sia che la parte di connessa eon onde di accelerazione, sono non-ortodossi, ossia incompatibili con la validità incondizionata di tutte le leggi fisiche. Inveee, come la corrispondente parte di, è ortodossa. Per il suddetto accordo tra e, questo fatto fornisce una spiegagione del successo sperimeniale di. Sia che sono teorie termo-meccaniche di discontinuità iterate in quanto in esse è necessario porre qualche postulato aggiuntivo, come analogo della scelta di in o rispettivamente.

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This work has been performed within the sphere of activity of the research group n. 3 of the C.N.R. (Consiglio Nazionale delle Ricerche) for mathematical physics, in the academic year 1978–79.     

Teoremi di completezza sulla frontiera di un dominio per taluni sistemi di funzioni

Sunto. Nella prima parte si estendono alcuni teoremi della teoria del potenziale di superficie. Successivamente si stabiliscono teoremi di unicità relativi ai problemi al contorno per le funzioni armoniche considerati in una certa classe. Da questi si deducono infine teoremi di completezza nello spazio funzionale diHilbert per determinati sistemi di funzioni.     

A priori bounds in the Bénard problem with boundaries of finite conductivity

In questa nota, si danno alcune stime a priori per le soluzioni classiche delle equazioni che descrivono il problema di Bénard quando le frontiere hanno conduttività finita (modello di Hurle, Jakeman e Pike [3]). Adottando il metodo della funzione peso, si mostra che la velocità v e la temperatura T del fluido che a priori sono fatte crescere per grandi distanze spaziali, si mantengono in effetti uniformemente limitate a patto che siano tali la velocità e la temperatura iniziali del fluido e il suo gradiente di pressione.     

Good dualities and strongly quasi-injective modules

Sunto Siano R ed A due anelli e sia_RK_A un bimodulo topologico di Hausdorff su R ed A dotati della topologia discrete. Sia D(K_A) la categoria formata dagli A-moduli astratti M tali che Hom_A (M, K) separa i punti di M e sia C(_RK) la categoria formata dagli R-moduli topologici che sono topologicamente isomorfi a sottomoduli chiusi di prodotti topologici di copie di_RK. Nella prima parte del lavoro si determinano dette condizioni su K affinchè le suddette categorie siano l'una la duale dell'altra. Nella ricerca di tali condizioni la nozione di modulo topologico fortemente quasi-iniettivo giuoca un ruolo fondamentale. Nella seconda parte del lavoro si studia il caso in cui K è compatto. In particolare, si mette in evidenza uno stretto legame fra la suddetta teoria di dualità ed i risultati di K. R. Fuller sulla teoria delle equivalenze. Nella terza parte del lavoro, infine, si esamina il caso in cui_RK è disereto. Si approfondiscono in tale ambito alcuni risultati ottenuti precedentemente dagli autori nel caso in cui R ed A siano commutativi. Come applicazione si dimostrano rapidamente alcuni teoremi di B. Mütter riguardanti la dualità di Morita.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei gruppi di ricerca matematica del CNR.     

La formalizzazione della nozione di prova e una nuova definizione dell'indipendenza. II

Riassunto La prima parte di questo lavoro è stata pubblicata sul Vol. XVII, N. 9 di questa rivista. In essa si è compiuta un'analisi delle trattazioni dell'indipendenza nella teoria delle probabilità, analisi che ha consentito di individuare tre approcci fondamentali al problema della definizione dell'indipendenza. Ciascuno dei suddetti approcci è stato ampiamente analizzato sia nelle sue trattazioni intuitive sia, quando ciò si verifichi, nelle sue trattazioni formalizzate. Questo articolo consta della seconda, terza e quarta parte del lavoro. Nella seconda parte si espongono intuitivamente le idee di fondo relative alla nozione di ?prova? che si intende introdurre tra i concetti primitivi della teoria delle probabilità. La terza parte è dedicata all'analisi, operata sempre a livello intuitivo, di una nuova definizione d'indipendenza non coinvolgente la nozione di ?probabilità?, definizione che diviene formulabile grazie alla nozione di ?prova?. La quarta parte è infine dedicata alla formalizzazione degli argomenti trattati nella seconda e nella terza parte.

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Summary The first part of this work has been published on Vol. XVII, N. 9 of this review. In the first part we have analysed the well-know developments of indipendence in the theory of probability and we have pointed out the existence of three principal points of view. Each of these points of view has been extensively analysed in its intuitive development and in its formalised development, when there exists one. This paper includes the second, third and fourth part of the work. In the second part we analyse intuitively the main ideas about the concept of ?trial? that we intend to introduce among the primitive concepts of the theory of probability. In the third part we analyse intuitively a new definition of indipendence not involving the notion of ?probability? based on the concept of ?trial?. Finally the fourth part is devoted to the formalization of matters treated in the second and in the third part.

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Lavoro eseguito con contributo del CNR, nell'ambito del gruppo nazionale per le strutture algebriche e geometriche e le loro applicazioni (sezione VII).     

Geometria proiettiva di elementi differenziali

Sunto. Preliminare allo studio differenziale delle varietà rispetto al gruppo topologico (nel senso indicato nel testo) è quello della totalità delle calotte, di ordine e dimensione fissati, rispetto al gruppo delle collineazioni. La rappresentazione analitica di tali calotte introduce elementi arbitrar? (sia nel riferimento rispetto all' ambiente, sia nella scelta dei parametri sulla calotta). Un'adeguata rappresentazione iperspaziale di quelle calotte nasce dalla considerazione delle calotte eccezionali, e porta a varietà razionali di semplice definizione rispetto alle quali quelle calotte sono rappresentate da spaz? lineari; il gruppo delle collineazioni con un punto fisso nello spazio dato si rappresenta nel gruppo delle collineazioni per cui una di quelle varietà è trasformata in sè. Poichè la rappresentazione geometrica elimina le accidentalità della rappresentazione analitica si ha un modo di riconoscere senz' altro l'esistenza di invarianti relativi a configurazioni di elementi differenziali (anche di dimensioni differenti).     

Due questioni di relatività generale

Sunto Si considera un generico conduttore ideale elastico magnetizzabile & in Relatività generale. Si mostra che quando il moto di & è rigido secondo Born sussistono certe proprietà di invarianza per grandezze elettromagnetiche, le quali, nel caso di non magnetizzabilità, si riducono a certe proprietà già note sia in Fisica classica che in Relatività generale, cf.[11] e[14]. Inoltre si scrivono le equazioni (in termini finiti) che determinano la velocità di propagazione in & delle onde magneto-elastiche d’accelerazione e le discontinuità d’accelerazione. Con ciò si generalizzano alcuni risultati noti per fluidi.

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Summary An arbitrary magnetizable and elastic ideal conductor, &, is considered in general Relativity. Certain invariance properties of some eletromagnetic quantities are shown to hold for &, under the condition of the Born rigidity. This is a generalization of a result that for nonmagnetizable bodies is already known in both classical physics and general Relativity, cf.[11], [14]. Furthermore the author deduces the algebraic equations for the propagation speed in & of (acceleration) magneto-elastic waves and for the discontinuity vector of acceleration. Thus some known results concerning fluids have been generalized.

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Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività dei gruppi di ricerca del C.N.R.

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Entrata in Redazione il 26 luglio 1971.     

Wave features for a heat conductor with thermal relaxation

Summary In the context of the nonlinear wave theory we study, in the case of a rigid heat conductor, the model proposed by G. Grioli. We point out some properties concerning exceptionality conditions and shock waves. We obtain some functional forms for the specific internal energy at equilibrium and for the heat conductivity by which a weak discontinuity wave never breaks down. Moreover we verify that the model is strictly exceptional.

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Sommario Nell'ambito della teoria delle onde non-lineari si studia un modello per la propagazione del calore proposto da G. Grioli, nel caso di un conduttore rigido.Richiedendo che il sistema di equazioni che regge il modello sia completamente eccezionale si ottengono alcune forme funzionali per l'energia interna all'equilibrio e per la conducibilità termica.Si verifica ehe il sistema é altresi strettamente eccezionale.

     

Su un caso di non esistenza e su uno di esistenza e unicità della soluzione di un problema della magnetoidrodinamica stazionaria

Riassunto In questa nota si affrontano alcune questioni di esistenza e unicità della soluzione classica del problema del moto stazionario di un fluido omogeneo, incomprimibile, perfetto, elettricamente condutore attorno ad un ostacolo dielettrico e scarico in un punto del quale è situato un dipolo magnetico. Precisamente, si dimostra dapprima che, nel caso in cui il fluido abbia conduttività finita, il problema suddetto non ammette soluzione se al campo cinetico e al campo magnetico sono imposte condizioni all'infinito alquanto restrittive. Si dimostra poi che opportune ipotesi all'infinito assicurano l'esistenza e l'unicità della soluzione del medesimo problema nel caso in cui il fluido sia un conduttore perfetto.

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Summary This paper deals with some questions of classical solution existence and uniqueness for the problem of the steady flow of an homogeneous, incompressible, perfect, electrically conducting fluid past a dielectric and discharged obstacle in which a magnetic dipole is situated. More precisely, in the first place the non-existence of solutions of the above mentioned problem is proved for fluids of finite conductivity, if rather restrictive conditions are placed on behavior of the kinetic and magnetic fields at infinity. In the next place an existence and uniqueness theorem is established for perfectly conducting fluids.

     

Problema misto e quasi-periodicità per l'equazione delle onde non omogenea

Sunto La presente Memoria è, essenzialmente, dedicata a provare che una soluzione generalizzata dell'equazione delle onde (con secondo membro quasi-periodico), a traiettoria relativamente compatta nello spazio dell'energia, é quasi-periodica. La dimostrazione si fonda su una proprietà diminimax concernente l'equazione non omogenea delle onde. A Giovanni Sansone nel suo 70^mo compleanno. Istituto matematico del Politecnico di Milano.     

On uniqueness cones,velocity cones andP-convexity

Sunto Viene studiata l'unicità nel problema di Cauchy quando i coefficienti sono analitici. Il metodo è basato sull'uso dei coni di unicità. Un cono di unicità è il cono duale di un cono convesso e aperto di direzioni non-caratteristiche in un semi-spazio. I risultati ottenuti sono così generali che ci si può chiedere se siano anche necessarie le trovate condizioni sufficienti per l'unicità nel problema di Cauchy. Vengono anche studiate la propagazione delle perturbazioni e la P-convessità.

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Entrata in Redazione il 25 febbraio 1972.

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Sections3, 4, 8 and9 of this paper were presented in a speech at the University of Oslo, December 13, 1971.     

Spazi proiettivamente piani (1)

Sunto L'A. espone nella prima parte, coordinandoli, i principali risultati delle ricerche finora condotte sugli spazi proiettivamente piani, apportandovi qualche complemento (relativo ad esempio alle ipersuperficie diE _n affine per le quali la connessione affineintrinseca è proiettivamente piana). Nella seconda parte, dà una costruzione geometrica, basata sulla teoria delle connessioni proiettive, di tutte le connessioni affini simmetriche proiettivamente piane, e coglie l'occasione per introdurre e studiare certe connessioni proiettive,metriche enon affini, determinate da un campo di quadriche associate ai punti dello spazio supposto; connessioni cui può subordinarsi una metrica riemannianaqualunque, come alla geometria proiettiva ordinaria, in relazione a una quadrica data come assoluto, si subordina la geometria metrica riemannianaa curvatura costante. Questo lavoro riproduce, con alcuni complementi e modificazioni, una comunicazione (con lo stesso titolo) fatta alla XX Riunione della Soc. Italiana per il Progresso delle Scienze (Milano, 18-9-1931). Negli Atti della Società verrà pubblicato soltanto un brevissimo sommario. Ved. anche ? Bollettino Un. Matem. Italiana ?, X, 1931, pp. 254–255.     

Correnti positive: Uno strumento per l’analisi globale su varietà complesse

Lo scopo di questo testo è di presentare i temi principali riguardanti le correnti positive su varietà complesse. L’importanza di questo strumento, per coloro che studiano geometria complessa, è evidente; tuttavia non è semplice tenere le fila di una grande quantità di contributi sull’argomento, alcuni dei quali sono ormai pietre miliari su questa via. Vorremmo quindi delineare una “mappa” dei contributi che ci sono sembrati particolarmente significativi; per ovvie ragioni, rimandiamo ai test originali non appena si voglia entrare nel merito dei singoli argomenti. Lo scritto è composto di due parti (oltre a una appendice dedicata al lettore che affronta per la prima volta il tema delle correnti positive): nella prima si trattano principalmente i temi in riferimento alle correnti positive e chiuse, storicamente la classe più importante di correnti per le varietà complesse, in quanto generalizzazione naturale delle sottovarietà. Nella seconda si espongono risultati su correntiT positive pluriarmoniche o plurisubarmoniche, cioè caratterizzate da una condizione imposta alla corrente $i\partial \bar \partial T$ , e naturali generalizzazioni delle funzioni plurisubarmoniche, nonché delle correnti chiuse. Questa scelta è motivata nel primo capitolo della seconda parte, partendo dall’ormai classico teorema di R. Harvey e J.R. Lawson che caratterizza tramite correnti positive e pluriarmoniche l’esistenza di metriche kähleriane su varietà compatte.