三角形的“极矩”不等式及其应用

命题设有面积为S的△ABC及面积为S＇的矩形DBFG,且矩形两顶点D、E在BC边上,矩形两顶点G、F分别在△ABC的边AB、AC上(如图1),则有不等式:S＇/s≤1/2此式当且仅当AF=FC,AG=GB时等号成立。证明设△ABC中,BC边上的对应高为h,底达BC=a,矩形的两边GD、GF分别为x、y,则有: y/a=AG/AB=h-x/h,∴y=a/h(h-x),故S＇=xy=a(hx-x~2)/h=-a/h(x-h/2)~2+a/4h≤1/2s。上式当且仅当x=h/2,即G,F为AB、 AC中点时,等号成立。     

例谈反比例函数中的几个不变性问题

反比例函数是最基本的函数之一.通过学习反比例函数可以使学生进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点,深化对函数内涵的理解和掌握.对于每一个具体的反比例函数来说,其中蕴涵的变化与对应的数学思想是具有普遍性的,但它还有自身的独特性质,笔者在教学中发现了一些关于反比例函数的几个不变性问题,本文通过实例谈谈这些不变性问题中体现的数形结合及转化等一些重要的数学思想.1面积的不变性问题图1例1如图1,已知双曲线y=xk(k为常数,k>0,x>0)经过矩形OABC的边AB的中点F,交BC于点E,则E一定是边BC的中点.分析要证明E是边BC的中点,只需要证明S△OCE=41S矩形OABC或者S矩形OMEC=21S矩形OABC即可,为此可以将问题转化为反比例函数中的面积不变性命题来证明.证明设点E的坐标为(x1,y1)(x1>0,y1>0),点F的坐标为(x2,y2)(x2>0,y2>0).则x1.y1=x2.y2=k.过点E、F分别作EM⊥x轴于M,FN⊥y轴于N.则OM=x1=x1,OC==y1=y1,OA=x2=x2,ON=y2=y2.∴S矩形OMEC=OM.OC=x1.y1=k,S矩形OAFN=O...     

一道中考压轴题的求解途径及其拓展

题目 (2010年上海市中考数学第25题)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,半径为1的⊙A与边AB相交于点D,与边AC相交于点E,连接DE并延长,与线段BC的延长线交于点P.(1)当∠B=30°时,连接AP,若△AEP与△BDP相似,求CE的长;(2)若CE=2,BD=BC,求∠BPD的正切值;(3)若tan∠BPD=1/3,设CE=x,△ABC的周长为y,求y关于x的函数关系式.     

一道中考题的“进化”——“相似三角形的复习”

中考题(2010山东东营-24)如图1,在锐角三角形ABC中,BC=12,△ABC的面积为48,D,E分别是边AB,AC上的两个动点(D不与A,B重合),且保持DE∥BC,以DE为边,在点A的异侧作正方形DEFG. (1)当正方形DEFG的边GF在BC上时,求正方形DEFG的边长; (2)设DE=x,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y,试求y关于.x的函数关系式,写出x的取值范围,并求出y的最大值.     

清华大学·微积分试题(A卷)1999.7.12

一、填空题(每小题4分,共40分)1.幂级数∑∞n=0(-1)n 1xn3n 2(n 4)的收敛半径是;收敛域是.2.函数f(x)在区间[0,1]上的表达式为2-x,f(x)在区间[0,1]上的正弦展开和余弦展开分别是S1(x)=∑∞n=1bnsinnπx和S2(x)=a02 ∑∞n=1ancosnπx,则S1(0)=,S2(0)=.3.设L是抛物线y=x2(-1≤x≤1),x增加方向为正向,则∫Lxdl=;∫Lxdy-ydx=.4.设S为半球面z=1-x2-y2,则S(x y z)dS=.5.设L是平面上一条逐段光滑的简单闭曲线,它包围的区域D的面积等于A,a1,a2,a3,b1,b2,b3是常数.则∮L(a1x a2y a3)dx (b1x b2y b3)dy=.6.设S为平面x y z=1在第一挂限的部分上侧…     

待定系数法解一类条件最值题

问题 设x,y是实数,且a1x2＋b1xy＋c1y2=m（m≠0）时,求S=a2x2＋b2xy＋c2y2的取值范围．     

综合题新编选登

题 76　已知O为坐标原点 ,A ,B为抛物线y2 =2 px (p >0 )上的点 ,设S△AOB =t·tan∠AOB ,求t的最小值 .图 1　题 76图解　设AB与x轴相交于点P(a ,0 ) ,A ,B的坐标分别为 (x1,y1) ,(x2 ,y2 ) ,当AB与x轴斜交时 ,设AB的方程为 :y =k (x -a) (k≠ 0 ) ,联立 y =k(x -a) ,y2 =2 px ,得x1x2 =a2 ,y1y2 =- 2ap .当AB与x轴垂直时 ,上述结论仍然成立 .由S△AOB =12 |OA |· |OB |sin∠AOB =12|OA|·|OB|cos∠AOB·tan∠AOB ,可知t =12 ·|OA|·|OB|cos∠AOB .由向量数量积的定义 ,得|OA|·|OB|cos∠AOB =OA ·OB =x1x2 + y…     

秘密在哪儿？

在函数y =f(x)中隐含着秘密 ,发现并利用y =f(x) 的秘密 ,是顺利解题的关键 .那么 ,秘密到底藏在哪儿呢藏在函数的关系式之中例 1 :(0 1年全国高考题 )设 f(x)是定义在R上的偶函数 ,对于任意x1 ,x2 ∈ 0 ,12 ,都有f(x1 +x2 ) =f(x1 )·f(x2 ) ,且 f(1 ) =2 .求 f 12 ,f 14 .分析 :怎样由 f(1 ) =2去求f 12 呢 ?从题设给出的函数关系式 :f(x1 +x2 ) =f(x1 )·f(x2 )启发我们 ,只要把 1分成两个 12 之和 ,即可解决问题 .解析 :首先 ,由x1 ,x2 ∈ 0 ,12 都有f(x1 +x2 ) =f(x1 )·f(x2 )的条件 ,可推出x∈ [0 ,1 ]时都成立的一般式子 :f(x) =f …     

美国数学月刊问题征解11057的简解及类比

美国数学月刊 2 0 0 4年 1月问题征解 110 5 7翻译为 :x ,y ,z为正数 ,矩形ABCD内部有一点P ,满足PA =x ,PB =y ,PC =z ,求矩形面积的最大值 .今探讨发现 ,原题有误 ,应修正为 :x ,y ,z为正常数 ,P是矩形ABCD的边上或内部的一点 ,PA =x ,PB =y ,PC =z ,求矩形ABCD面积的最大值 .此题笔者已采用三角法给出了一种巧妙的解法 ,今采用代数法给出一种巧妙的简解 .解　过P作PE⊥AB交AB于E ,PF⊥BC交BC于F ,设PE =u ,PF =v ,则由勾股定理知 ,u2 +v2 =y2 ,因此 0≤u≤y .AE =x2 -u2 ,EB =y2 -u2 ,BF =y2 -v2 ,FC =z2 -v2 ,AB …     

构造方差解方程组

设 n个数据 x1,x2 ,… ,xn 的平均数为 x,则其方差为S2 =1n[( x1- x) 2 ( x2 - x) 2 … ( xn - x) 2 ]=1n[( x21 x22 … x2n) - 1n .( x1 x2 … xn) 2 ].显然 S2 ≥ 0 (当且仅当 x1=x2 =… =xn= x时取等号 ) .合理地灵活应用这一公式 ,可简捷、巧妙地解方程组 ,其思路独特 ,功效奇妙 .例 1　解方程组x 1 y - 1 =6 ,x y =1 8.解　∵　 x 1 ,y - 1的方差是S2 =12 [( x 1 ) 2 ( y - 1 ) 2 -12 ( x 1 y - 1 ) 2 ]=0 ,∴　 x 1 =y - 1 =3.解此方程 ,并检验 ,得方程组的解为x =8,　 y =1 0 .例 2　求方…     

例谈一类最值问题的统一解法

在求多元函数最值时,常常会遇到求某二元齐次式的最值问题,这类问题解法多种多样,灵活多变．本文介绍解决这一类问题巧妙的统一的解法,供参考．例1 (1993年全国高中数学联赛)实数x,y满足4x2-5xy 4y2=5,设S=x2 y2,     

例谈三种最值求法

<正>根据已知等式利用基本不等式等方法求最值,是一类常见题目.本文通过三个题目归纳这类问题的三种常用解法.题1设x>0,x²+y2+y²/2=1,求x(1+y2/2=1,求x(1+y²)2)¹/2的最大值.题2设x,y为实数,4x1/2的最大值.题2设x,y为实数,4x²+y2+y²+xy=1,求2x+y的最大值.题3设正数x,y满足1/x+2/y=1,求x+y的最小值.一、基本不等式基本不等式三个使用条件"一正、二定、三取等"中"定"是关键,解题时需根据题意构造"定积"或"定和".利用基本不等式解题的模式     

一个试题的多种解决方法

<正>试题如图1,有一块形状为直角梯形ABCD的铁皮边角料,AB=20,AD=8,BC=24,要按图中所示的方法截取一块矩形EFGH铁皮.(1)设FG=x,用含x的代数式表示EF,并求矩形EFGH面积的最大值;(2)当矩形EFGH的面积最大时,该矩形EFGH以每秒1个单位的速度沿射线BC匀速运动(当点H与点C重合时停止运动),设运动时间为t秒,矩形EFGH与直角梯形ABCD重叠部分的面积为S,求S与t的函数     

再探一类矩形面积最大值问题的初等解法

<美国数学月刊>2004年1月问题11057[1]为: 设x,y,z为实数,矩形ABCD内部有一点P,满足PA=x,PB=y,PC=z,求矩形面积的最大值. 文[2]试图给出上述问题的解答,但解答有误.郭要红老师等在文[3]中指出了文[2]错误的原因,并给出了上述问题的一个微分解法.     

西北工业大学·高等数学(B卷)

一、填空题 (本题共 5小题 ,每小题 4分 ,满分 2 0分 )1 .设 z =e- ( yx xy) ,则 dz| ( 1,2 ) =2 .由曲面 z =4-12 (x2 y2 )与平面 z =2所围成的立体的体积等于3.设Σ是平面 x y z =6被圆柱 x2 y2 =1所载下的部分取上侧 ,则 Σzdxdy =4.设 f (x)是以 2π为周期的周期函数 ,在区间 (-π,π]上有 f (x) =1 -x,　 -π 相似文献   

运用伸缩变换进行拓广类比——2010年高考数学江苏卷第18题初探

题1 (2010年江苏18)在平面直角坐标系xOy中,如图1,已知椭圆x29+y25=1的左右顶点为A,B,右焦点为F,设过点T(t,m)的直线TA,TB与椭圆分别交于点Mx1,y1,Nx2,y2,其中m>0,y1>0,y2<0. (1)设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹; (2)设x1=2,x2=13,求点T的坐标; (3)设t=9,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).     

二次方程约束条件下的一类取值范围问题

1错解分析文[1]对于“实数x,y满足Ax~2 Bxy Cy~2=D,D≠0时,求S=ux~2 vxy wy~2的取值范围”问题给出了一个一般性解法.虽然对于原文中的例题,这一方法均给出了正确结果,但该解法并非对任何此类问题都能给出正确结果的,下面的例子说明了这一点.例1实数x,y满足x2 xy-2y2=1,求S=3x2-y2的取值范围.解(按文[1]方法)由S(x2 xy-2y2)=3x2-y2得Sxy=(3-S)x2 (2S-1)y2,两边平方得S2(xy)2=[(3-S)x2-(2S-1)y2]2 4(3-S)(2S-1)(xy)2,于是有[S2-4(3-S)(2S-1)](xy)2≥0,由此得S2-4(3-S)(2S-1)≥0(原文要求对xy=0和xy≠0两种情形进行讨论,此处将讨论过…     

数学问题解答

20 0 4年 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 471　求方程组 x+y =ztz+t =xy的非负整数解 .解　因为方程组中x与y ,z与t可以互换 ,所以可以先求满足 0 ≤x≤y ,0 ≤z≤t的整数解组 (x,y ,z,t) .( 1 )若x、z中有一个为零 ,不妨设x=0 ,则由原方程组消去t得 :y+z2 =0所以y =z=0 ,t= 0 .即 ( 0 ,0 ,0 ,0 )是原方程组求的一组解 .( 2 )若x ,z都不是 0 ,但是有一个为 1 ,设x=1 ,则由原方程组消去y得 :t+z=zt - 1所以 (z- 1 ) (t- 1 ) =2 ,因为z,t为正整数且z≤t,所以z - 1 =1t- 1 =2 得z=2 ,t =3,y=5即 ( 1 ,5 ,2 ,3)是原方程组的一组解 ,同…     

两个最值定理的推广

高中代数课本第二册P.88例3给出了二个最值定理: 定理1 设x,y∈R~+,x+y=S,xy=P,如果P是定值,那么当且仅当x=y时,S的值最小。定理2 设x,y∈R~+,x+y=S,xy=P,如果S是定值,那么当且仅当x=y时,P的     

一道源于教材、高于教材的好试题

浙江省 2 0 0 3年高中证书会考试题 3 3 ,是一道源于教材高于教材的好试题。题目 :已知椭圆C1 :x212 y26=1,圆C2 :x2 y2 =4,过椭圆C1 上的点P作圆C2 的两条切线 ,切点为A、B .( 1)如图 1,当点P的坐标为 ( -2 ,2 )时 ,求直线AB的方程 ;( 2 )当点P(x0 ,y0 )在椭圆上运动但不与椭圆的顶点重合时 ,如图 2 ,设直线AB与坐标轴围成的三角形面积为S ,问S是否存在最小值 ?如果存在 ,请求出这个最小值 ,并求出此时点P的坐标 ;如果不存在 ,请说明理由 .分析 :( 1)直线AB方程为 :y =x 2 ;( 2 )设A(x1 ,y1 ) ,由题意 ,及切线PA、PB的性质 ,连…