On the theory of Schur-Rings

Zusammenfassung Diese Arbeit versucht, die von Issai Schur[1] entdcckte und von Wielandt ([14], [15], [16], [17]) betr?chtlich neiterentwickelte Methode zur Untersuchung von endlichen Permutationsgruppen zu einer Theorie der Schur-Ringe zu entfalten. Der Grundgedanke ist sehr einfach: Die Schur-Ringe werden nicht als eine spezielle Klasse von Ringen aufgefaβt, sondern als eine eigene mathematische Struktur. Nach unserer heutigen Ansicht f?llt der Begriff der mathematischen Struktur weitgehend mit dem Begriff der Kategorie zusammen. Daher wird für die Schur-Ringe (genauer: für die Schur-Algebren) ein eigener Homomorphiebegriff (Definition1.5) eingeführt, der eine Kategorie liefert (Theorem1.6). Ein weiterer Leitgedanke ist mit dem kategoriellen Grundgedanken sehr eng verknüpft. Die Theorie der Schur-Ringe wird als eine Verallgemeinerung der Theorie der endlichen Gruppen aufgefaβt und in diesem Sinne entwickelt. Dabei ist die Theorie der endlichen Gruppen vermittelst der Gruppenringe der endlichen Gruppen (die eine spezielle Teilkategorie der Kategorie aller Schur-Ringe sind) in die Theorie der Schur-Ringe eingefügt. Hierfür ist es wichtig, daβ die Morphismen der Gruppenringe in der Kategorie der Schur-Ringe genau die von den Gruppenhomomorphismen induzierten Gruppenringhomomorphismen sind. Die Einbettung der Theorie der endlichen Gruppen in die Theorie der Schur-Ringe vollzieht sich entlang dreier Entwicklungslinien. Die erste ist eine verallgemeinerte Charakterentheorie ([2], [3], [5], [6], [7] und[8]), die die Theorie der (gen?hnlichen) Charaktere von endlichen Gruppen als Spezialfall enth?lt. Die zweite ist die Verknüpfung der Struktur jedes Schur-Ringes T auf einer endlichen Gruppe G mit gewissen Klassen von Untergruppen von G. Es werden die Begriffe der T-Untergruppe (Abschnitt 3), des T-Normalteilers (Abschnitt 4), und der T-subnormalen Untergruppe (Abschnitt 8) eingeführt. Die T-Untergruppen bilden einen Teilverband des Verbandes aller Untergruppen von G (Theorem3.4). Die T-Normalteiler sind genau die Kerne (Definition6.1) der Homomorphismen der Schur-Algebren QT (Theoreme6.2 und6.3). Der dritte und wohl zugleich der wichtigste Aspekt ist die Gültigkeit des Homomorphiesatzes (Theorem6.2) und der Isomorphies?tze (Theoreme7.1 und7.2) für Schur-Algebren. Auf diese S?tze gründet sich der Vier-Untergruppen-Satz (Zassenhaus’ Lemma; Theorem9.1), der den Verfeinerungssatz für T-Subnormalketten (Theorem9.2) und den Jordan-H?lder Satz für T-Kompositionsketten (Theorem10.3) nach sich zieht. Als die Theorie der Schur-Ringe ungef?hr den soeben geschilderten Stand erreicht hatte, tauchte die Idee auf, diese Theorie auf beliebige Gruppen zu verallgemeinern ([9], [10], [11], [12], [13]). Das führte zum Begriff der Schur-Halbgruppe (Definition1.9). Der zugeh?rige Homomorphiebegriff (Definition1.11) liefert die Kategorie aller Schur-Halbgruppen (Theorem1.12), die die Kategorie aller Gruppen als echte Teilkategorie enth?lt. Jedem Schur-Ring T über einer endlichen Gruppe G wird eine Schur-HalbgruppeT über G zugeordnet (Theorem1.15). Jedem Homomorphismus ϕ einer Schur-Algebra ΘT über G wird ein Homomorphismus φ vonT zugeordnet (Theorem1.16). Das Paar der Zuordnungen ΘT →T, ϕ → Φ ist ein Funktor auf der Kategorie aller Schur-Algebren in die Kategorie aller Schur-Halbgruppen über endlichen Gruppen (Theorem1.17).      

Aspekte der Stirlingschen Zahlen zweiter Art

Zusammenfassung. Die Stirlingschen Zahlen zweiter Art spielen in der Differenzenrechnung (und damit auch in der Numerischen Mathematik) sowie in der Kombinatorik eine bedeutende Rolle. Verwiesen sei hierbei auf Jordan [2], der sie in seinem Buch über Differenzenrechnung als mindestens so bedeutend wie die Bernoullischen Zahlen erachtet, sowie im zweiten Fall u.a. auf die Bücher über Kombinatorik von Aigner [1] bzw. Riordan [3]. über eine Anwendung der Stirlingschen Zahlen zweiter Art in der Wahrscheinlichkeitsrechnung sollen in der vorliegenden Arbeit neue Aspekte bezüglich der Darstellung gewisser Potenzsummen gewonnen werden. Ferner wollen wir herausarbeiten, da? diese Zahlen unter mehreren Gesichtspunkten als komplement?r zu den Binomialkoeffizienten betrachtet werden k?nnen. Dies wird an den entsprechenden Stellen durch „Argumente” hervorgehoben. Wie die folgenden Herleitungen zeigen werden, erweist sich die Einführung der Stirlingschen Zahlen zweiter Art über die Rekursionsformel als der einfachste Weg. Eingegangen am 5.5.1995 / Angenommen am 10.1.1996     

Die Lehre vom Flächeninhalt ebener Polygone: einige Schritte in der Mathematisierung eines anschaulichen Konzeptes

Zusammenfassung. Es werden einige Stationen in der Ausarbeitung der Begriffe Multikongruenz und Erg?nzungsgleichheit nachvollzogen. Diese führte zur Herausbildung eines wohlumschriebenen methodischen Ansatzes und zu einer pr?zisen Definition des Begriffes Fl?cheninhalt für ebene Polygone. Ein wichtiger Aspekt dieser Entwicklung war es, eine klare Unterscheidung herauszuarbeiten zwischen dem ma?theoretischen Zugang zum Fl?cheninhalt – im nachfolgenden Fl?chenma? genannt – und dem kongruenzgeometrischen Fl?chenvergleich, welcher über Multikongruenz (auch Zerlegungsgleicheit oder endliche Gleichheit genannt) und eventuell Erg?nzungsgleichheit erfolgt. W?hrend das Fl?chenma? (im weiteren mit bezeichnet) eine nichtnegative reelle Zahl ist, ist der Fl?cheninhalt im Sinne des Vergleichs eine ?quivalenzklasse (im weiteren mit A bezeichnet). In dem Rahmen, in dem wir uns hier bewegen werden, stützt sich der ma?theoretische Zugang in der Regel auf die bekannte Formel für das Fl?chenma? des Rechtecks. Diese wird deshalb im nachfolgenden eine wichtige Rolle spielen. Nach einem überblick zu Euklids Lehre vom Fl?chenvergleich im ersten und sechsten Buch seiner Elemente, welche den Ausgangspunkt für alle weiteren Entwicklungen darstellt, werden wir Legendre's Behandlung (1794) des Fl?chenma?es des Rechtecks betrachten sowie seine begrifflichen Pr?zisierungen. Dann studieren wir zwei Abhandlungen von P. Gerwien (1833), welche sowohl in technischer als auch in konzeptueller Hinsicht wichtige Verbesserungen brachten und die ?quivalenz von Fl?chenma? und Fl?chenvergleich für euklidische und sph?rische Polygone bewiesen. Schlie?lich gehen wir auf Duhamels Kritik (1866) und auf Hilberts Grundlagen der Geometrie (1899) ein. Hilbert war es, der die Lehre vom Fl?cheninhalt in den axiomatischen Rahmen einordnete und der auch die heute üblichen Bezeichnungen einführte. Die L?sung Hilberts legte den Gedanken nahe, da? man Multikongruenz und Erg?nzungsgleichheit auch in der hyperbolischen und in der sph?rischen Geometrie verwenden k?nnen sollte. Das letztere hatte bereits Gerwien getan, das erstere wurde von H. Liebmann (1905) im Anschlu? an die Dissertation von L. Gérard (1892) geleistet. Unsere Betrachtungen enden mit der einheitlichen Theorie des Fl?cheninhaltes, die A. Finzel (1912) ausarbeitete und die erstmals alle drei klassischen Geometrien umfa?te. Die Theorie des Fl?cheninhaltes wird systematisch vom modernen Standpunkt aus in [4] und in [44], Kap. XI, entwickelt; man vergleiche auch den Artikel von R. Kellerhals in dieser Zeitschrift ([35]) sowie den übersichtsbeitrag [25] von H. Hadwiger. Eine auf den gymnasialen Mathematikunterricht ausgelegte elementare aber sehr ausführliche Darstellung gibt Faifofer ([15]).

---

---

Eingegangen am 26.03.1998 / Angenommen am 25.05.1998     

Der Stein-Chensche Ansatz zur Poisson-Approximation und zum Beweis des Zentralen Grenzwertsatzes

Zusammenfassung.   Befa?t man sich in der Didaktik mit stochastischen Fragestellungen, so ben?tigt man bei Anwendungen früher oder sp?ter den Zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitstheorie. Ein Beweis seiner allgemeinen Fassung wird dabei nirgendwo ausgeführt, denn “dieser Satz ist schwer zu beweisen” (Scheid [11], Seite 103). Siehe dazu auch Krickeberg-Ziezold [8], Seite 106: “Der Beweis dieses Satzes bedarf allerdings zu vieler analytischer Hilfsmittel, als da? er im Rahmen dieses Buches pr?sentiert werden k?nnte“. Mit Hilfe der Steinschen Methode leiten wir auf elementare Art und Weise eine Fehlerschranke her, die die klassische Form des Zentralen Grenzwertsatzes sowie einen Spezialfall des Satzes von Berry-Esséen über die dort vorliegende Konvergenzordnung impliziert. Dabei wird beim Beweis neben einfachen Umformungen nur der Satz von Fubini über die Vertauschbarkeit der Integrationsreihenfolge bei Mehrfachintegralen ben?tigt. Im Zusammenhang mit der Poisson-Approximation der Binomial-Verteilung wurde die Steinsche Methode zuerst von Chen [5] angewandt; die lange gesuchte “optimale” Fehlerschranke leiteten schlie?lich Barbour und Hall [2] her. Verwiesen sei in diesem Zusammenhang insbesondere auf das Buch von Barbour et al. [3]. Einen Gesamtüberblick über beide Themenkreise, die vielf?ltigen weiteren Anwendungen der Steinschen Methode und ausführliche Literaturhinweise findet man bei Barbour [1]. Hier wollen wir über den Begriff der Strukturfunktionen beide Ans?tze soweit wie m?glich vereinheitlichen und die faszinierende Idee sowie die elementaren Beweise einem breiteren Publikum vorstellen. Eingegangen 06.12.1996 / Angenommen 06.03.1998     

Parallel effects of bulk viscosity and time lag in kinetics of non-monatomic fluids

Zusammenfassung Für str?mende nicht-einatomige Fluida werden parallele Einflüsse von Volumenviskosit?t und Relaxation im übergang hinter einer Kompressionsfront untersucht. Anhand einer intramolekularen Eigenschwingung, des einzigen aktivierten inneren Prozesses, wird das System der Grundgleichungen für eine dreiachsige Str?mung mit Einschluss von Volumenviskosit?t und quadratischer Scherz?higkeit aufgestellt. Es wird auf neuliche numerische L?sungen des einachsigen Falles für molekularen Stickstoff hingewiesen. Die Ergebnisse beruhen auf Ver?nderungen der dimensionslosen Enthalpie sowie der Transporteigenschaften gem?ss den 1955-NBS-Tafeln als auch auf Volumenviskosit?t aus zuverl?ssigen Messungen von überschalld?mpfung. Betreffend die Gase und Flüssigkeiten mit noch ungenügenden Daten über Volumenviskosit?t wird die Wichtigkeit der Landau-Teller-Theorie hervorgehoben.

---

---

This work is part of an investigation supported by the United States Air Force, through the Office of Scientific Research of the Air Research and Development Command on contract AF-18 (600)-428.     

Combined effects of turbulence and roughness on transition

Zusammenfassung Eine Betrachtung der vorhandenen Messungen über die Wirkungen eines zylindrischen Rauhigkeitselementes auf die Umschlag-Reynolds-Zahl der Grenzschicht einer Platte in Str?mungen mit verschiedenem Turbulenzgrad weist darauf hin, dass die Wirkung eines solchen Rauhigkeitselementes mit gegebenem Verh?ltnis seiner H?he zur Verdr?ngungsdicke der Grenzschicht als ein ?gleichwertiger? Turbulenzgrad betrachtet werden kann. Auf empirische Weise wird festgestellt, dass der ?gleichwertige? Turbulenzgrad 4·4 (k/δ _k ^*)³% ist. Die physikalische Bedeutung dieses Verh?ltnisses wird er?rtert. Die zusammengesetzte Wirkung von Turbulenz und Rauhigkeit wird berechnet und mit ver?ffentlichten Versuchsergebnissen verglichen.      

Unsteady flow through helicopter rotors

Zusammenfassung Es wird ein Beitrag geliefert zur Stützung der schon früher ge?usserten überzeugung, dass nichtstation?re Str?mungsanteile das Schwingungsverhalten und die aeroelastische Stabilit?t von Helikopter-Drehflügeln wesentlich beeinflussen k?nnen. Die Untersuchung betont besonders den D?mpfungsverlust, welcher sich aus den entlang der Spannweite eines schwebenden Drehflügels schraubenf?rmig abgehenden Wirbeln ergibt. Gem?ss dem Bedürfnis für verbesserte Mittel zur Behandlung nichtstation?rer aerodynamischer Vorg?nge werden zwei neue theoretische Entwicklungen beschrieben und zum Berechnen von Luftkr?ften auf typische schwingende Drehflügel angewendet. Die erste dieser Arbeiten erfasst auf zweidimensionaler Basis das Vorhandensein einer Bodenebene. Es wird angenommen, dass die Wirbel im Abwinde des schwebenden Drehflügels durch die Bodenebene nicht zurückgeworfen, sondern schnell zerstreut werden. Als Resultat zeigt sich, dass die einer spezifischen Schwingungsform entsprechende aerodynamische D?mpfung durch den Einfluss des Bodens, der praktisch etwa zwei Drehflügel-Durchmesser hinaufreicht, im allgemeinen vergr?ssert wird. Die zweite der vorgelegten Theorien betrifft die dreidimensionale Str?mung über ein schwingendes Flügelblatt, welches als tragende Linie und unter Vernachl?ssigung der Krümmung seines Abwindes untersucht wird. Numerische Rechnungen sind ziemlich mühsam, aber mittels Rechenmaschinen ohne weiteres durchführbar. In einem herausgegriffenen typischen Beispiele zeigte sich, dass die Luftkr?fte bedeutend kleiner sind als die von der Streifentheorie angezeigten, dass aber die Phasendifferenz zwischen Anstellwinkel und Luftkr?ften fast unver?ndert bleibt.

---

---

This investigation was performed under USAF Contract AF33(616)-3270 sponsored jointly by the US Army and Dynamics Branch of the Aircraft Laboratory, Wright Air Development Center.     

Émilie du Châtelet (1706–1749) – ,,die Nachwelt wird Sie mit Erstaunen betrachten“

Zusammenfassung Mit diesem Beitrag wird an die Gelehrte émilie du Chatelet (1706–1749) erinnert, die vor 300 Jahren in Paris geboren wurde. Der Text soll Einblicke in ihr Leben und ihren wissenschaftlichen Kontext geben.émilie du Chatelet lernte und arbeitete mathematisch, naturphilosophisch und -wissenschaftlich zu einer Zeit, als Frauen von h?herer, wissenschaftlicher Bildung institutionell augeschlossen waren und es für Frauen als unschicklich galt, die eigene Gelehrsamkeit selbstbewu?t ?ffentlich zu zeigen.Trotz dieser Hindernisse, gelang es du Chatelet sich Kenntnisse anzueignen, die die der meisten ihrer Zeitgenossen bei weitem überragten. Sie schrieb naturwissenschaftliche Abhandlungen, verfa?te ein Physiklehrbuch und fertigte in ihren letzten Lebensjahren eine kommentierte übersetzung der Principia (1686) von Newton an. Mathematics Subject Classification (2000) 01-99     

Was sollen und was sind Divisoren?

Zusammenfassung. Der von Leopold Kronecker (1823–1891) gepr?gte Begriff „Divisor” kann als Klammer für die Teilbarkeitstheorien von Kronecker, Richard Dedekind (1831–1916) und Egor Ivanovič Zolotarev (1847–1878) dienen. Die ausführliche Einleitung versucht, den Leserinnen und Lesern einen überblick über historiografische und mathematische Arbeiten etwa der letzten zwanzig Jahre zu einem allgemeinen, an Kronecker anknüpfenden Divisor-Begriff zu geben. Der erste Teil des vorliegenden Aufsatzes ist einem detaillierten Vergleich von Dedekind und Kronecker hinsichtlich der von ihnen benutzten Begriffe und der Rezeption ihrer Theorien gewidmet. Der zweite Teil entwickelt systematisch und fast lückenlos eine allgemeine Theorie von Integrit?tsringen mit zugeordneten gr?ssten gemeinsamen Teilern („Divisoren”) ihrer Elemente (die nicht notwendig im Ring selbst existieren). Die Darstellung ist in die kommutative Algebra einzuordnen, wird jedoch – abweichend von bestimmten einschl?gigen Teilen der rezenten Literatur – unter der Beschr?nkung ausgeführt, ?quivalente des Auswahlaxioms nicht zu benutzen, um alle überlegungen so konstruktiv wie m?glich zu gestalten. Eingegangen am 6. Mai 1999 / Angenommen am 24. September 2001     

The reflection of shock waves from an orifice at the end of a duct

Zusammenfassung Die Str?mungserscheinungen, die auftreten, wenn eine Stosswelle an ein mit einer Blende versehenes Rohrende gelangt, werden besprochen. üblicherweise werden sie unter der Annahme berechnet, dass man für stetige und unstetige Str?mungen die gleichen Randwertbedingungen in der Blende verwenden kann. Die reflektierte Welle ist dann entweder eine einfache Expansionswelle oder eine Stosswelle, je nach der St?rke des einfallenden Stosses und der Blenden?ffnung. Dieses Resultat stimmt nicht mit experimentellen Beobachtungen überein, die gezeigt haben, dass die reflektierte Welle immer aus einer Stossfront besteht, der eine Expansionswelle nachl?uft, bis der Druck genügend vermindert ist, um eine stetige Str?mung zu erm?glichen. Die überlagerung dieser Wellen erzeugt eine Druckspitze (?overshoot?), die den in der üblichen Weise berechneten Maximaldruck um einen erheblichen Bruchteil des Druckanstieges in der einfallenden Stosswelle übersteigen kann. Die Unzul?nglichkeit der üblichen Methode kann man qualitativ durch die Verz?gerung erkl?ren, die notwendig ist, um eine stetige Str?mung in der Blende herzustellen, nachdem die einfallende Stosswelle eine St?rung erzeugt hat. Die gegenw?rtige Untersuchung zeigt, dass man die überdruckspitze in Abh?ngigkeit von der Blendengr?sse, der Sto?st?rke und der Entfernung von der Blende auf Grund einiger einleuchtender Annahmen berechnen kann. Es ergibt sich, dass die überdruckspitze besonders dann bemerkbar wird, wenn die Druck?nderung über die gesamte reflektierte Welle verschwindet. Unter dieser Bedingung und für Stosswellen verschwindender St?rke wird sie anf?nglich genau so gross wie der Drucksprung der einfallenden Stosswelle. Mit wachsender St?rke des einfallenden Stosses verringert sich die relative Gr?sse der überdruckspitze, w?hrend ihre absolute Gr?sse bis zu einem Maximum von beinahe 40% des Druckes vor der einfallenden Stosswelle ansteigt. Dieses Maximum wird bei einem ungef?hren Druckverh?ltnis der einfallenden Stosswelle von 2,3 erreicht. Die überdruckspitze wird ziemlich unbedeutend, wenn das Druckverh?ltnis den Wert 3 überschreitet. Experimente mit einem Stosswellenrohr werden dann beschrieben, in denen die Druckver?nderungen der einfallenden und reflektierten Wellen für verschiedene Entfernungen von der Blende, Sto?st?rken und Blenden?ffnungen aufgezeichnet werden k?nnen. Die gemessenen überdruckwerte stimmen mit den gerechneten in allen F?llen gut überein. Es kann erwünscht sein, die überdruckspitze zu beseitigen, und die M?glichkeit einer speziellen Blendenkonstruktion wird gezeigt. Die Berechnung der überdruckspitze ist für eine einfallende Stosswelle abgeleitet, unter der Bedingung, dass das Gas vor der einfallenden Welle in Ruhe ist und dass sich die Blende am Ende des Rohres befindet. Erweiterungen der Methode auf beliebige Wellen, anf?ngliche Str?mungen und Blenden im Inneren des Rohres sind kurz besprochen.

---

---

This work was sponsored by Project SQUID which is supported by the Office of Naval Research under Contract N6-ori-105 T.O.III, NR-098-038. Reproduction in full or in part is permitted for any use of the United States Government.     

Randbemerkungen zur historischen Entwicklung des Tangentenbegriffs

Zusammenfassung Die griechische Tangentendefinition verlangte, da? die Kurve ganz auf einer Seite der berührenden Geraden liegt. Eine allgemeine Methode, die Tangenten an eine beliebige Kurve zu finden, gab es nicht. Es wurden spezielle Konstruktionen (erraten und) angegeben und nachtr?glich bewiesen, da? sie Tangenten lieferten. Roberval und Torricelli leiteten auf Grund der Erzeugung mancher Kurven durch zwei Bewegungen Tangentenkonstruktionen aus dem Parallelogramm der Geschwindigkeiten ab. Barrow bemerkte, da? man jede Kurve durch zwei Bewegungen erzeugen kann: die Koordinaten werden als Funktionen der Zeit aufgefa?t —x(t), y(t). Fermat und Descartes fanden eine neue Methode zur Berechnung der Tangenten an algebraische Kurven. Sie beruht darauf, da? eine Gerade zwei zusammenfallende Punkte mit der Kurve gemeinsam hat, und da? dies einen quadratischen Faktor [(y−y ₀)² odere ²] in der Gleichung für die Schnittpunkte verlangt. Diese Methode enth?lt eine neue Definition der Tangente, die auch in Wendepunkten gilt. Die Methode wurde auch — etwas leichtfertig — auf transzendente Kurven übertragen, und lieferte auch richtige Resultate. Die Rechtfertigung dafür erbrachte erst die Differentialrechnung, von der hier nicht mehr gesprochen wird.

---

Herrn Professor Dr. Dr.h.c.mult. Otto Haupt mit den besten Wünschen zum 100. Geburtstag gewidmet     

Einige Bemerkungen zum Vierscheitelsatz

Zusammenfassung. Der Vierscheitelsatz sagt aus, da? die Krümmung einer geschlossenen, sich selbst nicht schneidenden, ebenen Kurve stets mindestens zwei Maxima und zwei Minima besitzt. Er wurde unabh?ngig von Syamadas Mukhopadhyaya und von Adolf Kneser bewiesen, und seitdem hat es eine ganze Reihe weiterer Beweise gegeben. In der vorliegenden Note wird der Satz aus einer elementargeometrischen Aussage über Kreisbogenvielecke durch Grenzübergang hergeleitet und schlie?lich durch Abschw?chung der Differenzierbarkeitsvoraussetzungen verallgemeinert. Eingegangen am 13. Dezember 1994 / Angenommen am 3. M?rz 1995     

„ ... das Wesen der reinen Mathematik verherrlichen”

Zusammenfassung. C.G.J. Jacobi geh?rt zu den pr?genden Gestaltern der Mathematik in der ersten H?lfte des 19. Jahrhunderts. Dies gilt für seine Forschungs- und Lehrt?tigkeit, aber auch für sein Mathematikverst?ndnis allgemein. Mit seiner Konzeption der Mathematik als einer autonomen, reinen, d.h. erfahrungs- und anwendungsunabh?ngigen Mathematik grenzt er sich insbesondere explizit gegen die zeitgen?ssische franz?sische Tradition ab. Im Kontext dieser Wissenschaftsauffassung versucht er, Antworten auf die Fragen nach dem Grund des Fortschritts der Mathematik und ihrer Anwendbarkeit zur Beschreibung der Realit?t zu formulieren. Im vorliegenden Beitrag werden Jacobis diesbezügliche Anschauungen und ihre Ver?nderungen dargestellt und vor dem Hintergrund der zeitgen?ssischen Mathematik und Philosophie analysiert. Im Mittelpunkt steht dabei das ausführlichste von Jacobi erhaltene Dokument zum Themenkomplex: eine lateinische Rede, die er zum Eintritt in die K?nigsberger philosophische Fakult?t im Jahre 1832 hielt. Diese Rede wird hier erstmals in deutscher übersetzung wiedergegeben und ausführlich kommentiert. Eingegangen am 21.6.1994 / Angenommen am 14.10.1994     

Simple waves and shock waves in a thin prestressed elastic rod

Zusammenfassung Ein halb-unendlicher dünner elastischer Stab wird einer monoton ansteigenden Störung am freien Ende unterworfen. Die unstetige Wellenbewegung für endliche Verzerrungen wird untersucht, und die Bedingungen zur Bildung von Stössen werden aufgestellt. Eine implizite Lösung für die Wellenbewegung im Gebiete einfacher Wellen wird mittels der Methode der Charakteristiken erhalten. Eine andere und explizite Lösung in diesem Gebiete wird gefunden durch Anwendung der Theorie sich fortpflanzender Diskontinuitätsflächen, als eine Taylor-Reihe um die Ankunftszeit der Wellenfront. Es wird gezeigt dass der Koeffizient des ersten Gliedes in der Entwicklung eine Lösung für eine homogene nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung ecster Ordnung darstellt. Die übrigen Koeffizienten befriedigen lineare, jedoch inhomogene gewöhnliche Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten. Für den Fall einer rampenartigen Belastung und für Stossbildung an der Wellenfront wird für schwache Stösse durch Anwendung einer Methode von Friedrichs die Vereinigung von einfachen Wellen untersucht. Als Beispiel wird die Entlastung eines Stabes betrachtet, der einer anfänglichen Dehnung von 50% unterworfen ist.     

The development of a laminar wing type turbine bucket

Zusammenfassung In Analogie zum Gedankengang, der zur Einführung des Laminarflügels führte, wurde eine Leitschaufel für eine Gleichdruckturbine konstruiert. Die Methode für die Originalkonstruktion beruhte auf einer Kombination von Singularit?ten in der Hodographenebene und einem Netzverfahren in der (x, y)-Ebene. Die Schaufel wurde im Gitterversuch, in einer einstufigen Luftturbine und schliesslich in einer dreistufigen Dampfturbine genau geprüft. Sie ergab einen Gewinn am Wirkungsgrad zwischen einem halben und einem Prozent. Sie wurde daraufhin im Turbinenbau eingeführt. Ein v?llig automatisches Hodographenverfahren zur Berechnung dieser Schaufeln ist in stetigem Gebrauch. Es wird bald ver?ffentlicht werden.      

Kommunikative Rationalität, Logik und Mathematik

Zusammenfassung. In dieser Arbeit wird folgende These erl?utert und begründet: Sinn und Bedeutung von Mathematik liegen letztlich darin, da{?} Mathematik die rationale Kommunikation von Menschen wirksam zu unterstützen vermag. Dazu werden die Begriffe der kommunikativen Rationalit?t (im Sinne von Jürgen Habermas), der kommunikativen Logik (im Sinne der Peirceschen Sp?tphilosophie) und der kommunikativen Mathematik (im Sinne Allgemeiner Wissenschaft) ausführlich expliziert. Mit diesen Begriffen wird argumentiert, da? die Mathematik über ihre enge Verbindung zur Logik kommunikative Rationalit?t aktivieren und damit die rationale Kommunikation von Menschen wirksam unterstützen kann. Eingegangen: 13. Februar 2002 / Angenommen: 16. August 2002     

Dynamically possible finite deformations of isotropic,incompressible, elastic-inelastic solids with temperature independent response

Summary In isotropic, incompressible simple materials there are five known families of dynamically possible inhomogeneous finite deformations. It is shown that these deformations are also possible in isotropic, elastic-inelastic materials with temperature independent response. The method of solution is an inverse one. The deformation is specified precisely at the outset, and the problem of finding the surface tractions which are required in order to maintain the deformation is reduced to the problem of solving a system of ordinary differential equations.

---

Zusammenfassung In isotropen inkompressiblen einfachen Substanzen mit Gedächtnis gibt es fünf Gruppen von dynamisch möglichen nicht-homogenen Deformationen. In der Arbeit wird gezeigt, dass diese Gruppen von Deformationen auch in isotropen inkompressiblen elastisch-inelastischen Substanzen dynamisch möglich sind. Die vorgeschlagene Methode stellt einen inversen Lösungstyp dar. Die Deformationen werden als gegebene Funktionen der Zeit vorausgesetzt, und das Problem der Berechnung der Oberflächenspannungen, welche diese Deformationen erzeugen, wird auf die Lösung eines Systems von gewöhnlichen Differentialgleichungen reduziert. Es wird auch gezeigt, dass die Anzahl der Gleichungen in diesem System für keine der erwähnten Gruppen von Deformationen 3+n übersteigt, wobein die Zahl der Strukturparameter ist, die die elastisch-inelastische Substanz charakterisieren.

     

Tip-clearance and other three-dimensional effects in axial flow fans

Zusammenfassung Es wird die an einem Axialventilator durchgeführte Untersuchung der Auswirkung des Schaufelspaltes auf Laufradstr?mung und Leistung beschrieben. Das Laufrad, mit einem Durchmesser von 305 mm, war für ausgepr?gt dreidimensionale Str?mung entworfen. Die in solchen F?llen bestehenden Einschr?nkungen der Gültigkeit von zweidimensionalen Berechnungsunterlagen aus Windkanalversuchen werden besprochen. Es zeigte sich, dass die radial nach aussen gerichtete Querstr?mung durch Zentrifugalwirkung und die nach innen gerichtete Querstr?mung durch Vergr?sserung des Spaltspieles hervorgerufen wird. Vergr?sserung der Spaltweite beeinflusst die Str?mungsverh?ltnisse nicht nur in der N?he der Schaufelspitze, sondern über die ganze radiale Erstreckung der Schaufel. Dadurch wird die Druckziffer verkleinert, und die Abreissbedingungen ver?ndern sich. Unter diesen Verh?ltnissen ist es wesentlich, die ?nderung der Axialgeschwindigkeit im Laufrad korrekt in Rechnung zu setzen. Der wesentlichste Parameter scheint die Gr?ssec _2m /u zu sein. Dabei zeichnet sich bei gleichen Eintrittsverh?ltnissen, aber stark verschiedenen Querstr?mungen ein eindeutiger Zusammenhang zwischenc _2u /c _2m undc _2m /u für beliebige Schaufelgeometrien ab. Es mag daher von Vorteil sein, den aus Messungen am zweidimensionalen Windkanal erhaltenen Unterlagen in dieser Form den Vorzug vor den üblichen Einzelflügel- und Gitterparametern zu geben, die durch Querstr?mung merklich beeinflusst werden.      

Die Zürcher Vorlesung von Schur über Darstellungstheorie

Im Jahre 1936, unmittelbar nach seiner Entlassung als Professor in Berlin, wurde Issai Schur an die ETH in Zürich eingeladen, um eine Vorlesung über die Darstellungstheorie von Gruppen zu halten. Die (kurze) Vorlesung wurde damals vom jungen Eduard Stiefel ausgearbeitet und in vervielfältigter Form herausgegeben. Es handelt sich dabei historisch um den ersten Lehrbuch-Text überhaupt, der ganz der Darstellungstheorie gewidmet war. Im vorliegenden Beitrag werden die Hintergründe der Einladung von Schur an die ETH beleuchtet, es wird ein Überblick über den Inhalt des Textes gegeben und schliesslich wird die damalige Veröffentlichung in einen historischen Bezug gesetzt.Der vorliegende Text ist eine leichte Überarbeitung eines Vortrages im Rahmen der Kolloquiums History of Mathematics; Algebra, Geometry and Number Theory and their Interactions, 10./11. Januar 2003, ETH Zürich.     

Approximate solution of boundary layer problems with injection or suction

Zusammenfassung Der grundlegende linearisierte Ansatz zur Näherungslösung von Grenzschichtproblemen wird auf neue Anwendungen erweitert, um die Behandlung von Problemen mit Massenaustausch durch die Oberfläche zu ermöglichen und die Beschränkung auf die Prandtl-Zahl 1 zu mildern. Das klassische Problem der konstanten, d. h. nicht ähnlichen Geschwindigkeitsverteilung an der Oberfläche wird behandelt, und die Ergebnisse werden mit der exakten numerischen Lösung verglichen. Es ergibt sich eine ausgezeichnete Übereinstimmung. Sodann wird eine Lösung des schwierigen und praktisch wichtigen Problems einer Stufenfunktion für die Oberflächengeschwindigkeit gegeben. Die freie Konvektion über einer vertikalen Platte mit konstanter Temperatur und Oberflächengeschwindigkeit wird erstmalig gelöst. Schliesslich wird das der Schlitzeinspritzung entsprechende Anfangswertproblem unter Milderung der bisherigen AnnahmeP _r =1 behandelt.

---

---

This work was supported by the National Science Foundation, Grant No. GK-310,