自由向量助你一臂之力

以往的立体几何问题常常是给出一定的几何条件,通过逻辑推理、演绎论证得出需要证明的几何结论.现在应用向量处理立体几何问题,常把一定的几何条件通过基向量,转化为向量关系式,再运用向量的基本运算即加法、数乘、内积、外积等,转化为新的向量关系式,从而使得要求的几何结论得以解决.这已成为现在解决立体几何问题的“通性通法”,也容易被学生接受和掌握.通常建立空间直角坐标系,通过位置向量的运算来解决立体几何中的度量问题,实质是上是将已知的几何条件翻译为数组,通过代数运算,完成几何度量,突出几何问题代数化.在运用自由向量解决几何…     

代数问题图形解

<正>在解决某些代数问题时,常从数式所涉及的几何意义出发,构造几何模型,用几何图形直观地提示已知条件和未知条件之间的数量关系,借助图形的直观形象和几何性质进行推理和论证,其实质就是将代数语言转化为图形语言,将代数问题转化为几何问题.这样的解题方     

空间向量在立体几何中的应用

高中数学二期课改新教材,引入了直线的方向向量及平面的法向量. 这一引进,对解决空间问题提供了一个很方便、很实用的工具. 向量学习的目的之一是“重点培养学生使用向量代数方法解决立体几何问题的能力”,将几何题中的逻辑推理转化为向量的代数运算. 沟通代数与几何之间的联系,使问题解决显得模式化、程序化,减少辅助线的添加,降低解题难度.一、证明线面平行或垂直证明线面平行,可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;证明线面垂直,可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量平行,从而得出结论,达到解决问题的目的.例 1　已知…     

相关变量式的取值问题

如果若干个变量适合某种关系式,则称它们是相关变量。否则,称为无关变量。对于相关变量式的取值问题是学生学习的题点,有关问题的病解题,在学生练习中,资料杂志上时有发现。本刊今年第4期刊载的《一类带参变量的二次函数最值问题的错误解法探源》一文,从几何角度找出了病因和诊治措施。但人们碰到这类问题时,总想从代数的角度去寻探解题思路,因此,读者在阅读文后,仍难以除却病根。为此,笔者这里从代数的角度去寻找病根,同时给出几种预防措施,是否可弥补其不足,愿与读者们一起探讨。我们首先列出一组病例:     

初中平几证题方法浅谈

几何是数学的重要组成部分 ,学好数学必须学好几何 ,平面几何是几何的基础 ,而初中平几的证明又是基础的基础 ,因此 ,使学生掌握初中平几证题的方法和技巧就显得十分重要 ,根据自己多年的课堂教学实践和学习有关几何教学理论 ,归纳出初中平几证题的常用方法 :一、综合与分析法 ;二、图形运动法 ;三、代数与三角法 ;四、面积法 ;五、反证法 .一、综合法与分析法 :( 1)从题目已知条件出发 ,根据已知的公理、定理、定义寻找和探索由这些已知条件可推导出哪些结论 ,再由这些结论推导出新的结论 ,直到得出要证明的结论 ,这种从已知条件出发的证题…     

三角方法在不等式证明中的应用

在不等式证明中,三角代换是一种常见、有效的处理方法,它多用于条件不等式的证明,当所给条件结构比较复杂、变量比较多、变量之间的关系不甚明了时,可考虑三角代换,将多个变量用相对统一的角参数来表示,将复杂的代数问题转化为三角问题．     

小议数形结合

数形结合方法是一种把代数中研究的“数”与几何中研究的“形”结合起来思考问题的方法 .用数形结合方法解题 ,有利于发挥“形”的直观生动和“数”的简洁严谨的优势 ,扬长避短 ,使思路更宽 ,解答更简洁 .运用这种方法 ,关键在于从所给的代数条件中找出具有一定几何特征、几何意义的式子 ,并由此出发构造几何模型解决代数问题 ,或从所给的几何图形中找出数量关系构造代数模型解决几何问题 .例 1　已知ａ >ｂ >0 ,求证ａ2 -ｂ2 +2ａｂ -ｂ2 >ａ .证明　如图 1,构造Ｒｔ△ＡＢＣ ,使ＡＣ =ｂ,ＢＣ =ａ ,∠Ａ =90° ,则ＡＢ =ａ2 -ｂ2 .∵ＡＢ …     

用分离变量法解三角问题

在化简、求值、证明三角函数问题时,若已知和未知中涉及两个或多个变量,可设法使两变量分离于等式两端,再运用已知条件和三角函数的有关公式,代入已知或未知式子中,消去一个变量,从而使问题得以解决.这种解题的策略和方法,称为分离变量法,它的本质是消元法.     

几何问题三角证法例谈

这里的三角证法是指运用三角知识(和部分代数知识)转化、进而解决几何问题的方法,它是一种典型的以形寻数、数形结合的方法。用三角法解几何问题的基本思路是,利用三角函数的有关知识,将有关几何元素的关系式转化为三角函数关系式,即,将几何问题三角化,借助于三角变形和一些代数变形最终解决给定问题。     

辅助线是几何证明的“点睛”之笔

对于几何证明题,总有一些学生幻想能够一眼看出,即从已知出发只需一步推理直接得出结论。学习中哪有这样的"好事",所以常常碰壁。几何证明要耐心细致,冷静分析,谨防急躁心理。要善于作辅助线,搭建已知与结论之间的"桥梁"。作几何辅助线好比画龙点睛。巧妙的辅助线往往使解题起死回生,从条件到结论,水到渠成。     

从结论出发求解解析几何问题

解析几何是用代数方法研究几何问题的数学学科,在遇到解析几何的计算题或证明题时,我们通常是将已知的几何条件表示成代数式子,通过代数运算来解决问题,这可以说是解析几何的本质,但代数运算的运算量通常比较大,如果不分清问题形势,一味强调运算,不仅不能调动学生的积极性,而且有把获取数学知识、形成数学技能和能     

初等几何定理机器证明中的可约性问题

在几何定理的机器证明中,遇到可约的情形就会出现重大困难。本文依据代数几何中代数簇相对可约与绝对可约的概念,引进直线与园的定向座标,以避免或至少减轻可约性的困难。作为应用实例,我们对割线定理、Feuerbah 定理以及 Thebault-Taglor-Chou 定理进行了分析,并对最后一个定理给出了比已知要简单得多的机器证明。     

圆锥曲线中二元范围问题的四个视角

解析几何是用代数的方法来研究几何问题的一门学科,不等式是代数中的一个重要内容,圆锥曲线中的范围问题将二者有效地结合起来了,因此,它成为各级各类考试中命题的热点. 圆锥曲线中二元范围问题就是问题中含有两个变量或者在解决问题过程中必须引进第二个变量的范围问题.这类问题的基本解法是由已知条件得到与两个变量有关的一个等式和不等式,等式的作用是消元,不等式的作用是获得范围,难点是不等式的构造,本文就此作一点简单的归纳.     

选择题和填空题中的圆锥曲线方程问题

<正>求曲线的轨迹方程是解析几何中的两大基本问题之一.其本质就是根据题目中的几何条件通过坐标进行代数化.但是,如果圆锥曲线的形状是已知的,解决问题的关键是应用条件建立相关参数的关系式.就问题而言,目标都是求圆锥曲线的方程,但是其条件可能会千差万别.当然,不管条件如何变化,只要结合求解目标所需,应用条件或转化条件来得到参数的关     

几何代数在定理证明中的消元与化简算法

在符号计算中,最困难的一个地方是中间计算过程的表达式快速膨胀.基于不变量代数的符号几何计算为解决这个困难提供了可能.比如,利用零几何代数证明欧氏几何定理时,就可以给出很短的证明,甚至是单项式证明.中间的证明过程里有很多地方涉及到消元,展开,化简等问题.从程序实现的角度出发,在充分利用零几何代数计算特点的基础上,给出用于机器证明的消元、化简算法.     

关于多项式的因子分解的机械方法的注记

在Van der Waerden [1]的§37中有一个定理说:如果域△上的单变量的多项式能在有限步内分解,则多变量的多项式亦可。由于这一定理对几何证明的机械化方法颇为重要,吴文俊在总结他自己所开创的几何定理机器证明的重要著作[2]的4.2中以如下形式重新叙述并证明了上述的定理: 设A是一个有么元素的整环,且已知有一机械方法可在有限步内将A中任意一数唯一分解成不可约因子(确定至A中可逆因子),则有一机械方法可在有限步内将A[x_1,     

几何图形证明不等式例举

证明代数不等式的方法很多,用几何方法证明的关键在于,把代数式翻译成几何量,如将一次式译成线段长,平方式译成面积,根式译成两点间的距离等等。例1 已知;a、b、c、q>0,求证     

从平面几何问题的解析法到综合法

解平面几何问题,用综合法“费思”,用解析法“费算”。有的几何难题,采用综合法解决,有时会感到无法下手。例如,应该通过那条途径去建立已知和求证之间的联系?该作那些补助线(或圆)?以及要用到那些定理或公式?但是若用解析法来做,在选取适当     

一道三角形面积最值问题的解法探究

<正>1题目再现在△ABC中,AB=AC,D为线段AC的中点,若BD的长为定值l,则△ABC面积的最大值为_____(用l表示).2解法探究不少同学面对此题时,不知道该如何下手.对于这个三角形面积最值问题,第一步,我们要清楚已知条件是什么?未知是什么?已知和未知如何建立联系?也就是△ABC面积如何和已知条件建立起联系,然后求最值.对于本题已知条件的转化方式有三种:代数化、几何化及向量化.     

向几何意义要参数的变化

<正>在解析几何学习中,经常遇到一些求变量取值范围的问题,有些同学注重技巧,其实解决问题应强调基本思路,关注本质特征.解析几何的研究对象是几何图形,研究方法是代数.面对确定参变量的解析几何问题,要集中精力观察、把握参变量对几何结构的影响和代数性质,明确特征,建立逻辑的起点,按照规