关于在数学教学中强调通法的思考

关于在数学教学中强调通法的思考王敬庚（北京师大数学系１００８７５）手边有几道平面几何题，对解释“通法”十分合适．例１已知两个圆Ｓ１及Ｓ２，一条直线ｌ，一个已知长度ａ，求作直线ｍ平行于ｌ，与二圆分别交于Ｐ１，Ｐ２，使线段Ｐ１Ｐ２具有已知长度ａ．作法将圆...     

营造良好教学氛围 培养学生创造能力

21世纪国家之间的竞争，归根结底是人才的竞争，更是创造性人才的竞争．因此在数学教学过程中，如何遵循数学不富的发现、发明自创新的发展规律，遵循学笠的认知规律，男刀营造良好教学氛围，诱导学生积极参导教学活动，发展学生的自力，全面提高学生素质，培养学生创造能力．1鼓励设问解疑，培养创造能力大胆设问，勇于解疑是有所创造的前提．因此教学中教师要鼓励学生育目的地设问．例如，在讲球的体积公式的，学生刘教材中亘接取一个反面半径和高都等于球半径R的圆枉，从圆枉中挖去一个以圆枉上反面为反面，下反面圆Ith＼为顶点的圆锥后…     

也谈几个有趣的三角不等式

文[1]介绍了三角形中几个有趣的三角不等式．笔者发现，在圆内接四边形中也有如下类似结论．     

拟圆的两个充分条件

拟圆是拟共形映照理论中的重要概念和研究对象，对拟圆的研究有着重要意义，许多著作都专门研究了拟圆，得到了拟圆的许多性质以及判定拟圆的充分条件。本文给出了复平面Ｒ↑－＾２＝Ｒ＾２∪｛∞｝上判定拟圆的两个充分条件，它们分别是Ｆ．Ｗ．Ｇｅｈｒｉｎｇ和Ｏ．Ｍａｒｔｉｏ在文［１，２］中两个必要条件在一定条件下的逆。本文的两个充分条件在应用上较为广泛和实用。     

加强三点注意，解决直线与圆问题

在学习平面解析几何的“直线与圆”部分时，为了实现快速、简洁、准确解答“直线与圆”有关的问题，必须注意以下几个方面．     

一道高中联赛题的几种新证法

1题目如图1，已知两个半径不等的圆O1与圆O2相交于M、N两点，且圆O1与圆O2内切于S、T两点，求证：OM上MN的充要条件是S、N、T三点共线（满分50分，命题组供题）这是1997年全国高中联赛第二试中第一大题，命题组为改卷提供的参考答案只有一种证法【’］．其实，平面几何问题，常无定法，从不同角度去思考，往往可以发现多种途径，有的还是很简捷的证法．本文除了给出几种不同于上述参考答案的新证法以外，还用根轴的知识给出了一个最简证法．2充分性证明的简化在证充分性时，需要先证OO．NOZ是平行四边形原证法是利用面OISN，凸OZ…     

与双曲线仅有一个公共点的直线有几条

与双曲线仅有一个公共点的直线有几条湖南邵阳教育学院王正第研究直线与二次曲线的位置关系是平面解析几何的主要内容之一．其中过已知点与给定二次曲线只有一个公共点的直线有几条？对于圆、椭圆和抛物线来说较为简单．但对双曲线来说稍为复杂，学生对此往往感到困惑．例...     

任意两条抛物线相似

在平面几何中，我们曾经研究过两个图形相似问题，如两三角形相似问题．由两图形相似的概念(见文1)可知任意两圆是相似图形．下面叙述一个事实：任意两抛物线是相似图形．     

任意两条抛物线相似

在平面几何中，我们曾经研究过两个图形的相似问题，如两三角相似问题．由两图形相似的概念（见文[1]）可知任意两圆是相似图形．下面叙述一个事实：任意两抛物线是相似图形．     

夜读设计偶记(之二)

“图形的面积”（刊登于1997年第4期上）这一篇教学设计，充分运用割补法思想，把一大类图形的面积问题，最后归结为五个基本图形的面积．整个设计较为新颖流畅，真是匠心独具呵！但我以为：（1）可“归结为五个基本图形的面积”的整个教学过程，宜从简单的情形开始，探索归纳，自然展开就会更妥当一些．比如：正方形内画一个以边为直径的半圆的情形（略）．正方形内画两个以边为直径的半圆的情形：可画出几种不同的图形（两种）；其中又有几个不同的构成图形（四个B、C、D、E）；分别地怎样求它们的面积；又各有什么不同的求法．这些基本…     

Hadamard乘积与关于共轭点的α－近于凸象函数

本文应用在单位圆内解析函数族上的两个线性算子研究了关于共轭点的α－近于凸象函数及α－星象函数，得到两个卷积定理，从而将已知的几个性质作为特例导出．     

数学问题解答及解答者名单

265．把直径是一寸的钢球放到一尺见方、一寸高的铁盒内，你能放多少进去？为什么？（何思明提）．答案是IO6个．今将其摆法与证明叙述于下：因为铁盒的高是一寸，故盒内只能摆一层球．因此问题变为考虑在一尺见方的正方形内可以摆多少个直径是1寸的圆的问题．首先沿正方形的底边摆IO个圆作为第一行，其次在第一行的每个圆的上面摆下IO个圆作为第二行，然后再在第二行的上面摆下IO个圆作为第三行，显然第三行的IO个圆的每一个圆心至底边的距离是25寸，于是第三行的IO个圆的圆心在～条直线上，这条直线与底边平行，距离是2．5寸．紧靠着…     

巧妙构造 左右逢“圆”——例谈构造圆解题的五个角度

圆是中学数学中一种简单却又重要的曲线，也是高考的热点内容．在数学问题中，若能充分利用已知条件，把符合圆特征的命题通过构造圆来解决，常常可以避繁就简、化难为易，从而收到意想不到的效果．本文结合圆的常见特征，从五个角度分别构造圆，举例说明之．     

拟圆的若干条件

本文给出了拟圆的两个充分条件和一个充要条件，两个充分条件分别是Ｇｅｈｒｉｎｇ，Ｆ．Ｗ．和Ｍａｒｔｉｏ，Ｏ．在文［１］和文［２］中两个必要条件在一定条件下的逆．     

四阶幻方的几个有趣性质简

正方体是一种常见而且典型的几何模型．立体几何中所研究的很多边角关系都可以在正方体中直观的展示出来，比如很多同学对这样一个问题比较困惑：有没有四个面都是直角三角形的四面体？此问题若从常规角度出发，不易举证．如图1，构造正方体，不难发现，三棱锥A—BCD四个丽都是直角三角形．可见，借助正方体研究问题，可以弥补初学者空间想象能力的不足，给解题提供一定的依据．下面请看几个例子．     

49 图形的面积──一节开放式的习题课

两天前的课堂上，教师布置了如下的一道开放性的题目：“正方形的边长为a，在此正方形的内部，以各边为直径，画一个或几个半圆．问在哪些图形情景下，哪些圆交成的图形面积可求？它们的面积各是多少？”要求以小组为单位（每组3—4人），通过讨论合作完成，并由一人写成解题报告上交．兴兴件转上课开始，教师用预先准备好的小黑板，剜览式地展示一下各组讨论到的图景有：T：我们把同学们研究的结果总括了一下：从图形的角度来看，可以画一个、二个、三个、四个半圆，其基本图形只有图形A（图1），B（图2），C（图3），D（图4），E（图5…     

圆与圆的位置关系

一、启发提问图７－７７１．如图７－７７,⊙Ｏ１、⊙Ｏ２沿直线Ｏ１Ｏ２作相向运动,请观察：（１）两圆有无公共点？若有公共点？有几个？（２）在哪几个位置时⊙Ｏ１与⊙Ｏ２有一个公共点？（３）在什么位置时⊙Ｏ１与⊙Ｏ２有两个公共点？２．设⊙Ｏ１的半径为ｒ,⊙Ｏ２的半径为Ｒ,Ｏ１Ｏ２＝ｄ,试用ｄ、Ｒ、ｒ之间的数量关系表示两圆的五种位置关系．３．若两圆相切,则连心线必过．４．连心线是一条直线,相交两圆的连心线公共弧．二、能力训练１．填空图７－７８（１）设⊙Ｏ１、⊙Ｏ２的半径分别为ｒ、Ｒ（Ｒ≥ｒ）．Ｏ１Ｏ２＝…     

单位圆在解题中的应用

构造单位圆来处理数学问题是一种常用解题方法．其关键是在解题中抓住问题的结构特征，认真分析，仔细观察，挖掘问题的隐含条件，以数定形，以图论性，从而得到美妙的数学思维和简捷的解题方法．使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化．例1a、b满足什么条件时，方程对一切m的值总有实数解？由①、②消去x得即问题转化为单位圆与直线至少有一个交点．由故对于一切m，直线③恒过一定点，若在单位圆内或边界上时，直线③和单位圆至少有一个交点．当时．例2求函数y—ZJ3xrt－I－SJ28th的最值．解由已知函数可得函数的定义域为【一2，14」，个…     

让向量法在直线和圆中闪亮登场

众仁知晓，向量集数与形于一身，既有代数的抽象性，又有几何的直观性．因此向量法也是研究直线和圆的一个有力工具．如能让直线的方向向量或法向量在直线和圆中闪亮登场，那么她将活力四射，光彩照人!     

谈圆中的双重教学任务

解析几何以坐标系为桥梁，将点用坐标表示，线用方程表达，进而达到用代数方法研究平面图形性质的目的．因此，解析几何的根本方法是坐标法、核心思想是数形结合与转换．由于圆是平面几何研究的主要对象之一，它的性质为学生所熟知，那么解析几何中再一次研究圆的目的和任务何在呢？笔者认为，一方面是继直线部分的教学再次“显性”渗透研究平面图形性质的基本思想方法；另一方面是通过圆的平面几何知识的合理运用，增强学生的化归与转化能力，达到培养求简意识的目的．本文结合教学实例，试就两方面的协同发展，谈点粗浅认识．一、判定直线…