关于积分∫f(x,{Nx})dx带准确余项的渐近展开式的一种新证明

本文对于积分from n=0 to 1 f(x,{Nx})dx带准确余项的渐近展开式from n=0 to 1 f(x,{Nx})dx=from n=0 to 1 from n=0 to 1f(x,y)dxdy+sum from k=1 to r 1/(k!) (1/N)~k from n=0 to 1[f~((k-1,0))(1,y)(?)_k(y-N)-f~((k-1,0))(O,y)B_k(y)]dy-1/(r|)(1/N)~r from n=0 to 1 from n=0 to 1 f~((r,O))(x,y)(?)_r(y-Nx)dxdy给出了一种简捷的推导,这种推导只需普通的分析知识,无需用到Euler-Maclaurin求和公式及Bernoulli多项式的Raabe乘积定理。     

关于积分∫f(x,{Nx})dx带准确余项的渐近展开公式

设f(x,y)是单位正方形0≤x≤1,0≤y≤1上的连续函数,关于x有直至r阶的连续偏导数,这里r是一个正整数,对实的大参数N,f(x,{Nx})是一个激烈振荡函数,本文建立了下列展开公式这里{N}表示N的小数部分,B_v(y)表示v次Bernoulli多项式,(?)_v(y)=B_v({y})是Bernoulli函数,而     

N维多重非齐次调和方程及其边界积分方程

对n维多重非齐次调和方程△~((k))u=f(x),x∈R~n,给出了基本解的递推公式以及多重调和函数的积分关系式.在非齐次项f(x)为m次调和的情形下将域上的积分转化为沿边界的积分,进而应用直接法给出了基本边界积分方程.对f(x)为一般光滑函数的情形,给出了用泰勒多项式逼近时相应的误差估计并证明了含误差项的积分是收敛的.     

关于振荡函数积分的渐近展开问题

的渐近展开问题,其中{x}=x-[x],[x]为不超过x的最大整数,f(x,y)∈C在徐利治和周蕴时[3]中,他们又把[1]的展开式拓广成N不是正整数的一般情形,获得这样的定理:设C中函数f(x,y)关于x有m阶连续偏导数,那么对于充分大的N有渐     

含积分算子拟线性系统边值问题的奇摄动

研究奇摄动积分微分方程组边值问题εy"＝f(x,y,Ty,ε)y′++g(x,y,Ty,ε);y(0,ε)＝A(ε),y(1,ε)=B(ε)其中y、g、A和B均为n维向量函数,f是n×n矩阵函数,(Ty)(x)=∫xK(x,s,y(sε),ε)ds在一定假设条件下,利用对角化技巧和逐步逼近法证明解的存在,并给出解的直到0(εN+1)的渐近展开式.     

平稳过程条件密度的双重核估计

本文在样本序列为平稳、φ-混合情形下研究了赵林城和刘志军提出的条件密度f(y|x)的双重核估计fn(y|x)的逐点强相合性和渐近正态性。我们对混合系数φ的限制是很弱的。     

Euler-Maclaurin 公式与渐近估计

若 f(x)是连续可微函数,那么我们可以用 f(x)及其导函数 f′(x)的有关积分表示有限和 sum from k=n+1 to m f(k),这就是重要的 Euler-Maclaurin 公式.令 m 趋于无穷,我们就可以用广义积分表示出相应的无穷级数.更一般地,当级数是函数项级数 sum from k=1 to ∞ f(k,t)时,这个级数可用含参数 t 的广义积分表示出来.这对于研究级数的和函数的渐近性质常常是很有用的.本文先介绍 Euler-Maclaurin 公式,然后给出它在渐近估计方面的几个例子.     

用积分法求解二阶常系数微分方程

给出二阶常系数线性非齐次微分方程y〃+py′+qy=f(x)特解的积分形式公式,并借助实例加以说明.     

变量分离型积分因子存在定理及应用

给出了变量分离型积分因子μ(x,y)=p(x)q(y)的定义,得到了微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0存在变量分离型积分因子μ(x,y)=p(x)q(y)的充要条件和计算积分因子的公式.     

论由I_ρ(f;x)向对应Ⅰ(f;x;ρ)的逼近性质的传递

本文采用乘子法研究对应奇异积分I_ρ(f;x)与I(f;x;ρ)逼近性质的相互关系,着重讨论I_ρ(f;x)的逼近性质向I(f;x;ρ)的传递问题。 文中证明了对应奇异积分能够有同阶的正逼近定理。在一定条件下,分别就0<α<1,0<α<2,α=2三种情形,证明了对应核的α阶绝对矩之间的精致关系。给出了非周期奇异积分关于Lip函数类的逼近度量的渐近性质。文中建立了对应核型不等式的等价过渡,指出对应奇异积分能够有类同的逆逼近定理。从而若干常用奇异积分的结构与正、逆逼近定理是本文结果的特例。此外,还给出与Ghermanesco非周期奇异积分的正、逆逼近定理和渐近展式。     

对三重积分f(x,y,z)dxdy方法的一些看法

关于三重积分的计算在[1]中给出了以下公式［2」中作者对此作了探讨。究竟在什么条件下，使用公式（1）能简化三重积分的计算，本人就此问题提出一些自己的看法。笔者认为用公式（1）所简化三重积分的计算应满足以下二个条件：（1）人x，y，z）中至少缺二个变量，即人x，y，z）一人x）或人工，y，z）。人y）或f（，y，）一八）；（2）若缺的变量为x，y，则对于积分区域D的Z截面风的面积应该很容易计算（实际上应是初等数学的结果）；对于缺变量Z，Z或。，Z的情形，相应的截面A，民的面积应很容易计算。例1计算三重积分Illxdxdydz，其中D…     

二重积分计算的一点注记

<正> 众所周知,在有界闭区域D 上连续的函数f(x,y)的二重积分integral integral from D f(x,y)dxdy 存在,而且它可以化为二次积分来计算,例如:如果积分区域D 为X—型区域,即D 可用不等式Φ_1(x)≤y≤Φ_2(x),a≤x≤b 表示,其中函数Φ_1(x)、Φ_2(x)在[a,b]上连续.则有公式:     

定积分应用中一个值得注意的问题

一些通用教材在介绍由参数方程表示的封闭曲线围成的区域面积计算时，依据的公式往往是只适用于广义曲边梯形，并且y=f(x)是x的单值函数的情形，从而容易出现错误，在用极坐标方程计算旋转体体积时也有类似的情形。     

利用二重积分证明积分不等式

有时将一元函数的积分问题转化为二元函数的二重积分问题 ,会给解题带来方便 .本文通过几个范例说明利用二重积分证明积分不等式的方法 .例 1　设函数 f (x)与 g(x)在 [a,b]上连续 ,证明 Cauchy-Schwarz积分不等式(∫baf (x) g(x) dx) 2≤∫baf 2 (x) dx∫bag2 (x) dx　　证明　记积分区域 D =[a,b]× [a,b],利用定积分与积分变量符号无关的性质等 ,有(∫baf (x) g(x) dx) 2 =∫baf (x) g(x) dx∫baf (y) g(y) dy = Df (x) g(x) f (y) g(y) dxdy≤ D12 [f2 (x) g2 (y) f2 (y) g2 (x) ]dxdy=12 ∫baf 2 (x) dx∫bag2 (y) dy 12 ∫baf …     

对线性分式函数n次迭代的一个补充

线性分式函数的迭代有着较为广泛的应用.现有的求函数的n次迭代式的方法有:定义法、数学归纳法、不动点法和桥函数相似法等.文[1]利用矩阵的特征多项式理论,得到了线性分式函数的n次迭代式的一般计算公式,此公式只能解决特征根互异的情形.本文就特征根相等的情形作了一些讨论,得到了特征根相等时的线性分式函数的n次迭代式的一般计算公式,并举例说明了它的应用.定义设函数y=f(x),记f0(x)=x,fn(x)=f(f…f(x)…)(n∈N ),则称fn(x)为函数f(x)的n次迭代,显然,fn(x)=f(fn-1(x))(n≥1).定理设f(x)=caxx db,a,b,c,d∈R,ad-bc≠0,若方程λ2-(a b)…     

相依样本下条件密度的双重核估计

本文在样本序列为平稳φ-混合的情形下,研究了条件密度f(y|x)的通常的和递推形式的双重核估计的强相合性,并给出了它们的强收敛速度以及渐近分布.     

上取整函数和小数部分函数的积分公式

基于上取整函数y=〈x〉的定义与图象,给出当a>b时,积分∫ba〈x〉f′〈x〉dx∫,baf(〈x〉)dx的计算公式,当f(x)在[b,a]为单调函数时,积分∫ba〈f(x)〉dx的计算公式以及伴随小数部分函数{x}=〈x〉-x的两个积分公式∫0a{x}dx和∫ba{x}dx,并举例说明其应用.     

Hammerstein型非线性积分方程的固有值与固有函数

<正> 本文是作者工作[1]—[3]的继续.利用 Leray-Schauder 拓扑度理论研究下面形式的Hammerstein 型非线性积分方程(?)(x)=integral G k(x,y)f[(?)(y)]dy=A(?)(x) (1)的固有值与固有函数,这里 G 表 N 维欧氏空间 R~N 中某有界闭域,函数 f(u) 在0≤u≤δ(δ>0)上连续且 f(0)=0.以下,恒用 f′+(0)表 f(u)在点 u=0的右导数.定理1 假定:(i)非负连续核 k(x,y) 满足k(x,x)(?)0 (x∈G);     

关于函数S(x)及S*(x)的渐近性质

对于任意实数x∈(1,∞),定义S(x)=min{m∈Nx≤m!};x∈[1,∞),S*(x)=max{m∈Nm!≤x}.主要目的是研究这两个函数的渐近性质,并给出了它们的渐近公式.     

介绍幂旋转体求积的简单公式

求曲线y=f(x)绕坐标轴旋转所成旋转体的体积,当然需要用定积分。不过,当y=f(x)是幂曲线(y=x~n,n>0)时,所成旋转体的体积则又可化为一简明公式来求解。与其外接圆柱体有关。