对新课标选修教材中两个易错问题的辨析

问题1 平面内到定点F的距离比到定直线l的距离大(小)d的轨迹一定是以定点F为焦点的抛物线吗? 　　北师大版新课标教材<数学(选修2-1)>(以下简称新教材)第73页练习2第4题: 　　平面上动点M到点F(3,0)的距离比M到y轴的距离大3,求动点M满足的方程.……     

2010年高考数学四川卷理科(20)题解法探究

2010年高考数学四川卷理科(20)题:已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x=(1)/(2),不在x轴上的动点P与点F的距离是它到定直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B,C两点,直线AB,AC分别交l于点M,N.     

新题征展(41)

A 题组新编 1.(1)到定点A(4,0)、定直线L:x=-4距离之差为6的点M的轨迹为__ . (2)到定直线L:x=-4、定点A(4,0)距离之差为6的点M的轨迹为__. (3)到定点A(4,0)、定直线L:x=-4距离之和为10的点M的轨迹为__.     

2010年四川卷理20题的课本探源、简解与拓广

考题(2010年四川卷理科20题)已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x=1/2,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到定直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B,C两点,直线AB,AC分别交l于点M,N. (Ⅰ)求E的方程; (Ⅱ)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.     

用《几何画板》求解-类极值问题

《几何画板》以点、线、圆为基本元素,通过对它们的变换、构造、测算、动画、跟踪轨迹等, 能显示或构造较为复杂的图形,把较为抽象的数学对象形象生动化,让人在动态中认识数学对象的不变关系.同时,我们可以利用它的测算功能求一类结果精确到千分位以内的极值问题. 例1 P(x,y)是l1:x-3y 5=0、l2:x 2y=0和l3:3x y-5=0围成的含边界的三角形区域内的点,则x2 y2 2x-y的最大值等于多少? (第11届希望杯培训题) 解参见图 1,打开GSP并建立直角坐标系,分别取l1、l2、l3上的点:(-5,0)、(1,2),(0,0)、(2,-1),(0,5)、(1,2),作出三直线交     

离心率为2的双曲线的性质

1.问题的提出在2007年高三复习中笔者选用了温州市高三适应性测试数学试卷,其中解答题17题是这样的:如图(图略),设A(-2,0),B(2,0),直线l:x=1,点C在直线l上,动点P在直线BC上,且满足AP·AC=0.(Ⅰ)若点C的纵坐标为1,求P的坐标;(Ⅱ)求点P的轨迹方程.没花多少时间笔者就顺利地求得结果:(Ⅰ)P的坐标为(-4,6);(Ⅱ)点P的轨迹方程为x42-1y22=1.在解题后的反思中笔者发现了一个“问题”:题中条件A(-2,0),B(2,0)恰是P的轨迹的左、右顶点,而直线l:x=1是P的轨迹的右准线,并且P的轨迹的离心率为2,这是巧合还是必然?于是笔者经过研究得到了离心率为…     

一道高考题推广的简证与拓展

2010年高考四川卷文科21题:已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x=1/2,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到定直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直线AB、AC分别交l于点M、     

在创新思想指导下编制的一道解析几何开放题

椭圆、双曲线第一定义 :平面上到两个定点F1,F2 距离之和等于常数 ( >|F1F2 | )的动点的轨迹叫椭圆 ,两距离之差的绝对值等于常数 ( <|F1F2 | )的动点的轨迹叫双曲线 .圆锥曲线第二定义 :平面上到定点的距离与到定直线的距离的比等于常数e的动点的轨迹叫… ,换言之 :平面上到定点F的距离与定直线l的距离的e倍相等的点的轨迹叫… .在创新思想指导下 ,将第一、第二定义剪辑后再嫁接 ,提出开放的新问题 :若动点M到定点F的距离与M到定直线l的距离的e倍的和 (或差的绝对值 )等于常数 ,动点M的轨迹是什么呢 ?以定直线l为x轴 ,过定点F且与l垂…     

一道高考题的拓广

2007年全国高考福建省理科卷第20题:如图1,已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且QP·QF=FP·FQ.(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线l于点M,已知MA=1λAF,MB=2λBF,求1λ 2λ的值.图1本题(Ⅰ)中,由条件可求得动点P的轨迹C的方程是y2=4x,显然F(1,0)是抛物线y2=4x的焦点,直线l:x=-1是抛物线y2=4x的准线.在(Ⅱ)中,由条件可求得1λ 2λ=0.(Ⅱ)中的这个结论对一般的圆锥曲线是否成立呢?延伸一下可得圆锥曲线的一个有趣性质:性质1过点F(m,0)(m>0)的直线交抛物线y2=2…     

一道高考题的推广

本文将对2007年高考试题北京卷第20题第3问的结论进行研究和推广.2007年北京文科卷第20题:已知函数y=kx与y=x2 2(x≥0)的图象相交于A(x1,y1),B(x2,y2),l1,l2分别是y=x2 2(x≥0)的图象在A,B两点的切线,M,N分别是l1,l2与x轴的交点.1)求k的取值范围;2)设t为点M的横坐标,当x1相似文献   

一类轨迹问题的探讨

本文对《平面解析几何》(甲种本)有关的轨迹的一道题作些探究,旨在揭示问题的内蕴妙处。1 问题及其解法问题:一条线段AB(AB=2α)的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,求线段AB的中点M的轨迹方程     

一道高考试题所引起的思考

2008年高考浙江卷理科第20题:已知曲线C是到点P(-1/2,3/8)和到直线y=-5/8詈距离相等的点的轨迹.l是过点Q(-1,0)的直线,M是C上(不在l上)的动点;A,B在z上,MA⊥l,MB⊥x轴(如图1).……     

《几何画板》教学一得

1　引言与问题《几何画板》应用于中学数学教学 ,有很多优点 ,但也有不足 ,如 :不能作曲线与轨迹的交点 (除圆外 ) .因此对求解如 :题 1、长度为定值的线段在曲线 (如抛物线 )上运动 ,求线段中点轨迹 .题 2、二次函数图像对称轴 .等问题有一定的困难 .其中题 1在文 [1 ]中已给出解法 .下面就问题 2本文给出具体作法 .问题 :画出ｙ=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ的图像 .当移动表示ａ的点时 ,改变抛物开口的方向与大小 (同时影响对称轴位置 ) .当移动表示ｂ的点时 ,改变抛物线对称轴位置 (同时影响抛物线的形状和位置 ) .当移动表示ｃ的点时 ,改变抛物线顶…     

一道高考题的推广

1 问题的提出 2009年湖北省高考理科第20题是这样一道题:过抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向直线l:x=-a作垂线,垂足分别为M1、N1.     

综合题新编选登

题 1 2 7　过点 (0 ,1)的直线l与曲线C :y =x+1x (x >0 )交于相异两点 ,设曲线C在这两点处的切线分别为l1与l2 ,求l1与l2 交点的轨迹 .解　设直线l与曲线C交于点M (x1,y1) ,N(x2 ,y2 ) ,l1与l2 交于点P(x ,y) ,直线l的斜率为k ,方程为 y =kx +1.对 y =x +1x求导 ,得 :y′ =1- 1x2 .则 y′|x =x1=1- 1x21,y′|x =x2 =1- 1x21.故直线l1的方程为y - (x1+1x1) =(1- 1x12 ) (x -x1) ,即 y =(1- 1x12 )x +2x1(1)同理 ,可求得l2 的方程为y =(1- 1x22 )x +2x2(2 )(1) - (2 )得 (1x22 - 1x12 )x +2x1- 2x2=0 .由于x1≠x2 ,解得x =2x1x2x1+x2(3)由 …     

一个有趣的结论

1　问题的提出 :1 995年文科第 2 6题如下 :已知椭圆x22 4+y21 6=1 ,直线l:x =1 2 ,P是l上一点 ,射线OP交椭圆于点R ,又点Q在OP上且满足｜OQ｜·｜OP｜=｜OR｜2 .当点在l上移动时 ,求点Q的轨迹方程 ,并说明轨迹是什么曲线 .其答案是 :Q的轨迹方程为(x -1 ) 2 +y223=1 (其中x ,y不同时为 0 ) .从上面答案我们也许看不出什么有趣的东西 ,但将上面答案展开得 :x22 4+y21 6=x1 2 ,并对比已知条件中两条曲线的方程就不能不引起一个对数学问题感兴趣的人的思考了 .无独有偶的是 1 995年高考理科第 2 6题 :已知椭圆x22 4+y21 6=1 ,直线l:x1 …     

一道课标习题的复习课设计及思考

1 教学设计 1.1 原题的设计 人民教育出版社课标A版<必修>②习题4.1B组第3题:已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为1/2,求点M的轨迹方程.     

利用坐标转移法求轨迹

我们先看下面一道习题: 例1 从一个定点M1(α,b)到圆x2 y2=r2上任意一点Q作线段,M点内分M1Q成2:1,求点M的轨迹方程.(《解析几何》P112复习参考题二,5) 分析这里有两个动点Q和M,并且点M随点Q的运动而运动.因为点Q的运动规律(即轨迹方程x2 y2=r2)已经知道,所以我们只要找出点M与点Q的某种关系,便可由点Q即知点M的运动轨迹. 解设点Q的坐标为(x0,y0),点M的坐标为(x,y),由已知条件得     

对高考数学浙江卷理17题(文19题)的探析

由传统题改编而成的数学高考试题,在历年的高考试题中屡见不鲜.今年高考浙江卷中的理17题(文19题)的第2小题就是这一类型的试题,下面我们对此题作一些探讨,以期对大家有所帮助.浙江卷中的理17题(文19题)的第2小题如下:图1题1图题1如图1,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F1F2在x轴上,长轴A1A2的长为4,左准线l与x轴的交点为M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若直线l1∶x=m(|m|>1),P为l1上的动点,使∠F1PF2最大的点P记为Q,求点Q的坐标(用m表示).1题源探析1986年全国高等学校统一招生考试理工类数学第五题如下:图2题2图题2在y轴…     

试题研讨(7)

题 1　 ( 2 0 0 1年 6月份湖北省黄冈市高三模拟试题 )已知抛物线 C1∶ y2 =4 x的焦点为F,准线为 l;动椭圆 C2 的左焦点为 F,左准线为 l,右焦点也在 x轴上 ,短轴的上顶点为 B,P是线段 BF的中点 .求 P点的轨迹方程 .命题溯源　此题是 1 998年北京市西城区高三数学试卷的最后一道题 ,此后被略加装饰就陆续出现在 1 999年天津市、2 0 0 0年湖图 1北省荆州市、2 0 0 1年石家庄市的高三试卷 .中原解思路　易求F( 1 ,0 )、准线 l的方程是x =- 1 .设 P( x,y) ,则B( 2 x - 1 ,2 y) ,C2 的半焦距 c=x B- x F=( 2 x - 1 )- 1 =2 ( x - 1 ) ,长半…