On minimum problems for families of functionals

Sommario Per una famiglia { | λ ∈ ⁁} di funzionali reali definiti in uno spazio metricoX e dipendenti da un parametro λ ∈ ⁁, dove ⁁ è uno spazio topologico, si pone il problema di come si comporta, al variare di λ, l'insieme dei punti di minimo di I_λ. Lo studio di tale problema è l'oggetto del presente lavoro e il risultato principale è dato dal Teorema1.

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Entrata in Redazione il 3 marzo 1970.     

Su alcune soluzioni parametriche delle equazioni del moto intorno a un punto fisso di un solido pesante asimmetrico

Sunto. In questa nota si considerano le equazioni del moto intorno a un punto fisso di un corpo rigido pesante, nel caso in cui il baricentro appartenga a uno dei piani principali dell'ellissoide d'inerzia relativo al punto fisso (piano xy). Si ravvisa la possibilità di una particolare soluzione parametrica per mezzo di un parametro u tale che du=rdt, essendo r la componente della velocità angolare secondo l'asse z, e nell'ipotesi che il coseno direttore γ₃ secondo l'asse z della verticale discendente, sia della forma: γ₃=α₀(Ax₀p+By₀q)r, con α₀ costante, mentre gli altri simboli hanno il solito significato. Si dimostra che sono possibili soltanto due casi: Il 1^o é quello in cui il baricentro appartiene a uno degli assi x, y (y₀=o, oppure x₀=0), e questo corrisponde a un caso di integrabilità segnalato da Stekloff; il 2^o è quello in cui l'asse z è asse intermedio dell'ellissoide d'inerzia e la retta baricentrale coincide con l'intercezione del piano xy con uno dei due piani ciclici dell'ellissoide d'inerzia passanti per l'asse z. In questo secondo caso il moto si riduce a una rotazione uniforme del solido intorno a tale retta baricentrale disposta verticalmente, retta che appartiene al cono di Staude. Entrata in Redazione il 15 maggio 1975.     

Approximation of set valued functions and fixed point theorems

Sommario Il risultato fondamentale della Nota è il seguente: siaΓ una multiapplicazione semicontinua superiormente da uno spazio metrico compatto S ad uno spazio normato Y, tale cheΓ(x) è convesso. Allora per ogniɛ>0 esiste una applicazione continua f: :S → Y tale che d*(F, G)<ɛ, ove F e G sono i grafici di f eΓ e d*(F, G)=sup {d(y, G), y ∈ F}. Come corollari di questo teorema vengono dimostrati il teorema di punto fisso di Kakutani in uno spazio di Banach ed una sua generalizzazione, che non richiede la compattezza diΓ(x). Viene poi presentato un teorema di punto fisso con condizioni di convessità più deboli di quello di Kakutani.

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Entrata in Redazione il 14 gennaio 1969.

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This work was performed while the author held the position of Faculty Research Assistant at the University of Maryland and was partially supported by the National Science Foundation under Grant GP-7846.     

Frontiere minimali con ostacoli

Riassunto Recentemente diversi autori (v. [15], [16], [17], [18], [19], [20]) si sono interessati di problemi di esistenza e di regolarità di soluzioni di problemi variazionali verificanti diseguaglianze. In questo articolo considereremo il caso delle ipersuperfici minimali (di area minima), più precisamente delle frontiere minimali nel senso diDe Giorgi (v. [2] o [3]). Il risultato di regolarità, che è quello che ci pare più interessante, è grosso modo il seguente:frontiere minimali rispetto ad un ostacolo di classe C ¹ sono di classe C¹ in un intorno dell'ostacolo stesso. Il Teorema 2 del § 3 contiene l'enunciato preciso di tale risultato. Nel § 2 si fanno alcune considerazioni sulla validità del teorema di Bernstein per le frontiere minimali, in esso si prova (v. il Teorema 1) che un insieme avente frontiera non vuota minimale inR ⁿ e contenente un semispazio è esso stesso un semispazio. Tale risultato serve per la dimostrazione del teorema 2. Nel § 1 sono contenuti alcuni complementi alla teoria delle frontiere minimali.

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Résumé On considère le problème des hypersurfaces minimales en présence d'obstacles. On prouve le résultat de regularité suivant: ?les hypersurfaces minimales en présence d'obstacles de classeC ¹ sont de classeC ¹ dans un environ de l'obstacle?.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei gruppi di ricerca del C.N.R. nell'anno 1970.     

Sur l'extension dans le domaine complémentaire d'une variété

Résumé étant donnés une variétéM, un ensemble compactN enM, des entiersr, n avec 1≤r≤n, un espace euclidienE àn dimensions, uner-variétéA enE et une transformation continuef: N→E−A, alors c'est un problème bien connu s'il existe une extensionf′ def satisfaisantf′(M)∈E−A. Ce problème est discuté.

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Riassunto SianoM una varietà,N un insieme compatto inM, 1≤r≤n degli interi,E uno spazio euclideo adn dimensioni,A unar-varietà inE edf:N→E−A una trasformazione continua. Allora è trattato il problema ben noto dell'esistenza di una estensionef′ dif conf′ (M)∈E−A.

     

Sistemi di circuiti tracciati su una superficie omeomorfa al toro e loro modelli algebrici

Sunto Si studiano i sistemi di circuiti tracciati su una superficie omeomorfa al toro, di fronte all'omologia unidimensionale. Si ravvisa che ad una classe d'omologia compete un solo invariante topologico, che è un intero d ≥ 0 qui denominato ?grado? della classe. Esso fornisce altresì il minimo numero di circuiti non intrecciati e disgiunti che intervengono in un ciclo della classe; inoltre, trascurando il valore d = 0 che risponde alla classe dei cicli omologhi a zero, si trova che d −1 è il minimo numero di punti doppi posseduti da un circuito il quale, orientato, sia un ciclo di una classe di grado d. Anche si costruiscono modelli di cicli, appartenenti a classi diverse, col minimo numero di mutue intersezioni. Infine si costruiscono in ogni classe modelli algebrici (cioè realizzati con le parti reali di curve algebriche reali) soddisfacenti a requisiti di minimo. Lavoro eseguito nell'Istituto di Geometria dell'Università di Pavia, nell'ambito del Gruppo di ricerca N. 32 (?Questioni di realità che offrono gli enti algebrici?) del Consiglio Nazionale delle Ricerche (Comitato per la Matematica).     

Questioni di algebra universale in una categoria astratta

Riassunto SiaK una categoria con prodotti finiti e siaA un oggetto diA. Un'operazione n-adica suA è un morfismoA ⁿ→A; unastruttura algebrica suA è una famiglia di operazioni suA edA con una tale struttura si dirà un'algebra in K. Con queste definizioni, è possibile studiare alcuni problemi di algebra universale riferiti alle algebre inK.

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Summary LetK be a category with finite products and a null object and letAεOb K Ann-ary operation on A is any morphismA ⁿ→A and analgebra in K is an object together with a family of operations on it. We study some problems concerning algebras inK.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei Gruppi di Ricerca Matematici del C.N.R., nell'anno 1969.

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Nota diMario Servi a Parma—V.le La Grola, 29.—43100 Parma.     

Proprietà globali degli spazi analitici reali

Sunto In questo lavoro si prova che ogni spazio analitico reale coerente X, (con eventuali elementi nilpotenti), ammette un complessificato ed inoltre X ha in un sistema fondamentale di intorni che sono spazi di Stein. Da questo risultato segue la validità dei teoremi A e B per gli spazi analitici reali coerenti. Sia V^m una varietà complessa di dimensione m, σ : V^m → V^m un’antiinvoluzione, il il luogo dei punti fissi di σ è vuoto, oppure è una sottovarietà analitica reale di dimensione m. Da questo fatto e dal primo risultato si deducono dei teoremi di immersione degli spazi analitici reali in Rⁿ. Si prova infine che per ogni spazio analitico reale coerente (senza elementi nilpotenti) esiste una decomposizione in componenti irriducibili globali ed una normalizzazione. Lavoro eseguito nel Gruppo di ricerca n. 35 del Comitato Nazionale per la Matematica del Consiglio Nazionale delle Ricerche per l’anno 1965–66.     

Teoria di morse sul complementare d'una sottovarietà

Riassunto Si introduce la nozione di funzioni di Morse per una coppia di varietà differenziabili (X, Y) oveY è una sottovarietà chiusa inX. Si mostra che tale nozione è generica e coincide con quella di funzione stabile; inoltre si associa ad una tale funzione una equivalenza omotopica con unCW complesso. Si danno inoltre delle applicazioni.

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Resumé On introduit la notion de fonction de Morse pour un couple de varietés differentielles (X, Y), oùY est une sous varieté fermée dansX. On démontre, comme pour le cas classique, que c'est une notion générique et que c'est la même que celle de fonction stable; en plus on associe à une telle fonction une equivalence d'homotopie deX−Y avec unCW-complexe. On donne aussi des applications.

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Lavoro eseguito nell'ambito del GNSAGA del C.N.R.     

Sur le plongement de certaines variétés riemaniennes à deux dimensions dans l'espace euclidien à quatre dimensions

Sunto Poggiando su una rappresentazione delle trasformazioni puntuali del piano euclideo E² mediante superficie dello spazio euclideo a4 dimensioni E ₄ , il cui principio è stato esposto nella memoria[1] di questiAnnali, si studia un modo particolare d'immersione di alcune varietà riemmaniane a due dimensioni nellE ₄ . Il caso delle realizzazioni reali concrete di tali varietà, sia nell'E ₄ o nella ipersfera unitaria dell'E ₄ (nello spazio ellitico a tre dimensioni) è specialmente esaminato.

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Entrata in Redazione il 17 dicembre 1977.

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Deceduto a Marseille il 9 agosto 1978. Bozze rivedute dal Comitato di Redazione.     

Zur topologie multivalenter selbstabbildungen von mannigfaltigkeiten

Riassunto SianoV, W due varietà topologiche edf un'applicazione continua tale che per ogni puntop diV, l'insiemef(p)⊂V sia l'immagine continua diW. Quali sono le condizioni affinchè esistano puntip inV conp∈f(p)? Di questa questione si occupa il nostro articolo.

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Résumé SoientV, W deux variétés topologiques etf une application continue telle que, pour tout pointp deV, l'ensemblef(p)⊂V soit image continue deW. Quelles sont les conditions pour qu'il existe des pointsp enV avecp∈f(p)? C'est cette question qui est traitée par notre article.

     

The Dold-Lashof-Fuchs construction revisited

Sia dato uno spazio topologicoE con azione di un monoide topologicoH e siaE→B una funzione continue che, su ogni apertoU di una partizione dell'unità diB, sia, a meno di omotopia, la proiezioneU×H→U (ovvero una fibrazione numerabile). Un classico risultato di A. Dold e R. Lashof (1959) permette di costruire, a partire daE→B, una funzione continuaE _∞→B_∞, conE _∞ debolmente contraibile e munito di azione diH: laH-fibrazione universale associata daH. Tale funzione, in generale, non è purtroppo numerabile e quindi non si presta alla classificazione delleH-fibrazioni numerabili. Successivamente (1971), M. Fuchs ha trovato un modo di modificare la costruzione di Dold-Lashof per recuperare la numerabilità. La costruzione di Dold-Lashof-Fuchs è, da allora, uno dei principali strumenti nella teoria degli spazi classificanti di monoidi topologici, anche se vi è un uso di topologie alquanto complesse e quindi poco maneggevoli. In questo lavoro ci proponiamo di mostrare come, lavorando nella categoria conveniente deik-spazi, sia possibile descrivere la costruzione di Dold-Lashof-Fuchs in modo estremamente semplificato ed adattarla anche alla classificazione delleF-fibrazioni numerabili.

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Conferenza tenuta da R. Piccinini il 15 maggio 1995     

On the boundedness of solutions of nonlinear differential equations in Hilbert spaces

LetH be a complex Hilbert space and letB be the space of all bounded linear operators fromH intoH with the strong operator topology. We will give a boundedness result for the solutions of the differential equationx′=A(t)x+f(t,x) whereA: I=[t ₀, ∞)→B is continuous,f: I×H→H is also continuous and for every bounded setS⊂I×H there exists a constantM(S)>0 such that |f(t,x)−f(t,y)|≤M(S)|x−y|,(t,x), (t,y)∈S.

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Sunto SiaH uno spazio di Hilbert complesso e siaB lo spazio degli operatori lineari limitati daH inH, con la topologia forte. In questo lavoro si prova un risultato di limitatezza per le soluzioni dell'equazione differenzialex′=A(t)x+f(t,x), doveA: I=[t ₀, ∞)→B è continua,f: I×H→H è continua e per ogni insieme limitatoS⊂I×H esiste una costanteM(S)>0 tale che |f(t,x)−f(t,y)|≤M(S)|x−y| per ogni(t,x), (t,y)∈S.

     

Algébrisation des modifications analytiques

Riassunto Si enuncia una forma relativa del teorema di algebricità degli spazi di Moišezon; se ne deduce che ogni modificazione analiticaX→Y è relativamente algebrica (localmente suY). Le dimostrazioni complete appariranno in un lavoro di prossima pubblicazione.

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Summary We state a relative form of the theorem of algebraisation of Moišezon spaces; we deduce that every analytic modificationX→Y is relatively algebraic (locally onY). The complete proofs will appear in a forthcoming paper.

     

The internal sphere condition and the capillary problem

Sunto In un importante lavoro [1], M. Emmer ha dimostrato l’esistenza di superfici di equilibrio capillari, definite in domini con frontiera Lipschitziana, quando la costante di Lipschitz L e l’angolo di contatto γ soddisfano la relazione L<|tg γ|. Questa condizione, che è noto essere necessaria in generale, può essere troppo restrittiva in alcuni casi particolari. In questo lavoro la condizione di Emmer è sostituita da una ? condizione di sfera interna ?, che conduce ad una larga classe di domini che non rientrano nel risultato di Emmer. L’esiestenza di una soluzione è dimostrata anche nel caso γ=0, che non può essere trattato con il metodo di Emmer.

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Entrata in Redazione il 26 agosto 1975.

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This work was initiated while the former author was at Universit?t Bonn and at Università di Genova, and the latter author at Université de Paris VI as a Fellow of the Deutsche Forschungsgemeinschaft.     

On a duality of modules over valuation rings

Sunto. Rispondendo ad una questione posta da A. Orsatti in[8], si dà esempio di dualità, non soddisfacente alle proprietà di estensione di caratteri, sopra un anello di valutazione discreto completo e si ottiene una caratterizzazione dei domini noetheriani per cui una tale dualità esiste.

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Entrata in Redazione il 17 maggio 1977.

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This paper has been written while the author was visiting professor in Dept. of Mathematics of Università di Padova.     

Una formula asintotica per le differenze modificatee k (n) dell’ algoritmoQD

Sunto Si dà una formula asintotica per valutare le differenze modificatee _k ⁽ⁿ⁾ delYalgoritmo QD quandon tende all’infinito. Tale formula suggerisce un facil criterio per il controllo della perdita di precisione dovuta agli errori di arroton damento cui tale algoritmo è soggetto.

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Résumé On donne une formule asymptotique pour évaluer les différences modifiéese _k ⁽ⁿ⁾ de l'algorithme QD lorsquen tend vers l'infini. Cette formule suggère une méthode simple pour effectuer un contr?le de la perte de précision due aux erreurs d'arrondi, à laquelle cet algerithme est sujet.

     

Alcune osservazioni sul prodotto din forme lineari reali non omogenee

Sunto Se d(Λ)μ(ρ) è il minimo non omogeneo, rispetto al punto ρ, del prodotto di n forme reali omogenee, si studia la successione {μ(hρ)} al variare di h intero.

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Summary Let d(Λ)μ(ρ) the inhomogeneous minimum, in the point ρ, of the product of n homogeneous linear real forms. Some results on μ(hρ), for h an integer, are given.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività del gruppo di ricerca n^o 40 del Comitato per la Matematica del C. N. R. (1961–62).     

Sul problema di Goursat per le equazioni del tipo iperbolico non lineari

Sunto Si considera l'equazione alle derivate parziali del secondo ordinedi tipo iperbolico non lineare: (1) F(x, y; z; p, q; r, s, t)=0 (F _s ²−4F _r F _t >0). Per tale equazione si risolvecon un nuovo metodo il problema di Goursat, cioè si dimostra cheesiste uno e un solo integrale della (1), che assume valori assegnati su due archi di curve passanti per uno stesso punto. Si considerano separatamente il caso in cui le due curve si incrociano nel punto commune e quello in cui hanno un estremo in comune, e si studia il campo d'esistenza dell'integrale.     

Una proprietà dei simboli non-omogenei,e degli operatori pseudo-differenziali associati

Riassunto In questo lavoro si considera la classe di simboli da noi introdotti nel lavoro [2] e si dimostra che tale classe è invariante rispetto a una certa trasformazione di variabili nello spazioR _ξ ⁿ ; in seguito, una certa maggiorazione per operatori pseudo-differenzialiA(x, D) associati a simboli ellittici, viene ottenuta.

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Résumé Dans ce travail on considère la classe de symboles introduite par nous dans le travail [2] et on démontre que cette classe est invariante par rapport à une certaine transformation de variables dans l'espaceR _ξ ⁿ ; ensuite une certaine majoration pour opérateurs pseudo-différentiels associés aux symboles elliptiques est obtenue.

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Questo lavoro è stato effettuato mentre l'autore godeva di una sovvenzione del Centro Nazionale delle Ricerche del Canadà. ≠ 6445, attraverso l'Università di Montréal.