Transformation conforme de la courbure scalaire sur une variété riemannienne compacte

If P′ is a C^∞ positive function on a compact riemannian manifold of dimension n ⩾ 3 and metric g, we define a conformal invariant v(R′) and we prove that if v(R′) is small enough, R′ is the scalar curvature of the manifold endowed with a metric conformal to g. Then we are interested in the case of the sphere S_n and finally in Yamabe's problem.     

Problème de la courbure scalaire prescrite sur les variétés riemanniennes complètes

On a complete Riemannian manifold of dimension n⩾3, we study the prescribed scalar curvature problem, especially in the null case. Under some hypotheses, we show, when the scalar curvature is zero, the existence of ε>0 such that any f∈C^∞ satisfying |f|<εinf[1,r^−(2+λ)], is the scalar curvature of a complete conformal metric; here λ>0 and r denotes the distance to a fixed point.     

Une infinité de structures de contact tendues sur une infinité de variétés

V de dimension trois, tout champ de plans tangents est homotope à une structure de contact, c'est-à-dire – dans le cas d'un champ orientable – au noyau ξ d'une 1-forme α dont le produit extérieur avec dα ne s'annule pas. Plus tard, les travaux de D.Bennequin [Be] puis de Y. Eliashberg [El1] ont conduit à ne retenir comme géométriquement intéressantes que les structures de contact dites tendues, c'est-à-dire telles qu'aucun disque plongé dans V ne soit tangent àξ en tous les points de son bord. En outre, Y. Eliashberg [El2, El3] a prouvé qu'un certain nombre de variétés –à savoir D ³, R ³, S ³, S ²×S ¹ et S ²×R– portent une seule structure de contact tendue, ce qui l'a amenéà conjecturer qu'une variété close orientable ne pouvait admettre qu'un nombre fini de structures tendues à isotopie près [El2, Conjecture 8.6.1]. Cependant, cette conjecture s'est vite révélée fausse sur le tore T ³ [Gi2, Gi3, Ka, Th] et le but du présent article est de montrer que toutes les variétés orientables fibrées en tores au-dessus du cercle (donc une infinité de variétés de dimension trois) portent une infinité de structures de contact tendues deux à deux non conjuguées. Oblatum 14-V-1998 & 11-lX-1998 / Published online: 28 January 1999     

Torseurs sous une variété abélienne sur R((t))

Let V be an henselian discrete valuation ring with real closed residue field and let k be its quotient ring; we denote by k ⁺ and k ⁻ the two real closures of k. Consider a k-abelian variety A. We compute the Galois-cohomology group H ¹(k,A) in terms of the reduction of the dual variety of A and of the semi-algebraic topology of A(k ⁺) and A(k ⁻). The tools we need are Ogg's results concerning valuation rings with algebraically closed residue field, Hochschild–Serre spectral sequence and Scheiderer's local-global principles. At the end we study more precisely the case of an elliptic curve. Received: 23 October 2000     

Dimension minimale des orbites d'une action de ℝn sur une variété de contact

By differentiability we means C ^∞ differentiability. Recall that the span of a manifold M is the maximum number of linearly independent vector fields in every point. The aim of this paper is to relate the span of M with the minimal dimension of the orbits of a differentiable action ϕ:ℝ ⁿ ×M→M that keeps a contact structure.

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Received: 19 July 2000 / Revised version: 20 April 2001     

Déformations de fibrés vectoriels sur les variétés de dimension 3

In the first part, we give some necessary conditions for a torsion free sheaf on a smooth threefold to be a reduced limit of vector bundles.In a second part of the article, we illustrate these results by reinterpreting a condition described by G. Ellingsrud and S.A. Strømme as a condition obtained in the first part. This enables us to identify, in a well known too big familly, the torsion free sheaves that are limit of vector bundles.     

Sur l'existence du nombre de Lelong d'un courant positif fermé défini sur une variété presque complexe

Let (M,J) be an almost complex manifold. By using local coordinate system adapted to the structure J, we prove that every closed positive current on M possesses a Lelong number at any point. In case the manifold is equipped with an integrable complex structure, this Lelong number coincides with the usual Lelong number of a closed positive current.     

Sur l'extension des fonctions CR dans une variété de stein

Sumé Etant donné un domaine D relativement compact d'une variété de Stein M de dimension n, n 2, on montre que toute fonction continue, CR, définie sur un ouvert connexe de D ayant un complémentaire K dont l'enveloppe holomorphiquement convexe dans M ne rencontre pas ¯ DK, se prolonge en une fonction holomorphe sur D.

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Summary Let there be given a relatively compact domain D in a Stein manifold M of dimension n, n 2, we prove the holomorphic extendibility of the continuous CR functions defined on an open connected subset of D, provided theO(M)-hull of its complementary K does not meet ¯ DK.

     

Fonctions plurisousharmoniques et courants positifs de type (1,1) sur une variété presque complexe

If (X, J) is an almost complex manifold, then a function u is said to be plurisubharmonic on X if it is upper semi-continuous and its restriction to every local pseudo-holomorphic curve is subharmonic. As in the complex case, it is conjectured that plurisubharmonicity is equivalent to the positivity of the (1,1)-current , (the (1,1)-current need not be closed here!). The conjecture is trivial if u is of class The result is elementary in the complex integrable case because the operator can be written as an operator with constant coefficients in complex coordinates. Hence the positivity of the current is preserved by regularising with usual convolution kernels. This is not possible in the almost complex non integrable case and the proof of the result requires a much more intrinsic study. In this chapter we prove the necessity of the positivity of the (1,1)-current . We prove also the sufficiency of the positivity in the particular case of an upper semi-continuous function f which is continuous in the complement of the singular locus f⁻¹(−∞).

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Résume Une fonction semi-continue supérieurement u sur une variété presque complexe (X, J) est dite plurisousharmonique si la restriction à toute courbe pseudo-holomorphe locale est sous-harmonique. Comme dans le cas analytique complexe, nous conjecturons que la notion de plurisousharmonicité pour une fonction u est équivalente à la positivité du (1,1)-courant , (lequel n'est pas forcément fermé dans le cas non intégrable). La conjecture est triviale dans le cas d'une fonction u de classe Le résultat en question est élémentaire dans le cas complexe intégrable car l'opérateur s'écrit comme un opérateur à coefficients constants dans des coordonnées complexes. On peut donc facilement conserver la positivité du courant en régularisant avec des noyaux usuels. Dans le cas presque complexe non intégrable ceci ce n'est pas possible et la preuve du résultat exige un étude beaucoup plus intrinsèque. Nous montrons la nécessité de la positivité du (1,1)-courant en utilisant la théorie locale des courbes J-holomorphes. Nous montrons aussi la suffisance de la positivité dans le cas particulier d'une fonction f semi-continue supérieurement et continue en dehors du lieu singulier f⁻¹(−∞).

     

L'anneau de cohomologie d'une variété de Seifert

All manifolds M considered in this Note are orientable Seifert 3-manifolds with base surface S² and infinite fundamental group π₁ (M). Our goal is to compute the cohomology ring H^* (M; Z/2Z). The ring structure will enable us to determine whether M admits a degree 1 map into RP³ or not. We describe the equivariant chain complex for the universal cover M of M, and give a diagonal approximation. The cohomology ring H^* (M; Z/2Z) is computed.     

Variété de Picard d'une variété complète

Résumé On construit la variété dePicard d'une variété complète arbitraire U, c'est-à-dire, qu'on donne une structure canonique de variété de groupe au groupe des classes des diviseurs (localment principaux) de U algébriquement équivalents à zéro. à M. Enrico Bompiani pour son Jubilé scientifique.     

Structures de contact sur les variétés toriques

Sans résumé

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Re?u le 13 juillet 1998     

Différentes estimations de supu×infu pour l'équation de la courbure scalaire prescrite en dimension n⩾3

On a Riemannian manifolds (M,g) of dimension n, we prove on compact set K⊂M, that the positive solutions of the equation of prescribed scalar curvature (and the equation of subcritical case) are uniformely bounded.In positive case, when the manifold is compact, we prove that sup_Mu×inf_Mu⩾c>0 if n⩾3 (respectively sup_Mu+inf_Mu⩾c is n=2).