笛沙格定理的几种证法及其应用(续完)

逆定理:两个三角形的对应边的交点共线,则它们的对应顶点的连线共点. 设两个三角形ABC,A′B′C′中,BC∩B′C′=P,CA∩C′A′=Q,AB∩A′B′=R,且P∪Q∪R,则AA′∩BB′∩CC′(=O). 换言之,即两个三角形如成轴透视,便成中心透视.以符号表示之,即△ABC l     

相似三角形及其应用(上)

<正>定义:如图1,△ABC与△A′B′C′中,如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且(AB)/(A′B′)=(BC)/(B′C′)=(CA)/(C′A′),则称△ABC与△A′B′C′相似,简记作△ABC∽△A′B′C′.一、相似三角形的判定1.两角对应相等的两三角形相似;2.两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;3.三边对应成比例,两三角形相似;4.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.二、相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等,对应边成比例;     

例谈三角形“相似分割”问题

<正>一、问题背景苏科版八年级数学(下册)第123页有这样一道探索研究问题:"如图1,有两个分别涂有黄色和蓝色的△ABC和△A′B′C′,其中∠C=∠C′=90°,且两个三角形不相似.问:能否分别用一条直线分割这两个三角形,使△ABC所分割成的两个黄色三角形与△A′B′C′所分割成的两个蓝色三角形分别对应相似?如果能,请设计出分割方案;如果不能,请说明理由."图1学生初次接触这种相似分割问题时无从下手,笔者立足此题设计有层次的四个问题,帮助学生初步掌握三角形相似分割的一些基本方法,学会有目的、有条理地分析问题.     

五点面积定理及其应用

一、一组面积定理本文使用的记号“△PQR”表示三角形PQR,也表示它的面积.定理1(五点面积定理)设A、B和C、D是平面上任意两组点,另外有第五点O与A、B共线于l,则△OAC·△OBD=△OAD·△OBC①注:上式构成特征是:对于满足O、A、B共线而C、D为任意的这样五点,让OA、OB分别与C、D组合,成为①左端两个三角形顶     

两个猜想的证明——关于正则点的继续研究

本刊文 [1 ]发现了三角形的新特殊点 ,并作了初步探讨 ,文末留下了三个猜想 .本文将完成其中猜想 1和猜想 2的证明 ,从而解决任意三角形正则点个数的确定问题 .定理　除文 [1 ]所言的一个正则点 Z外 ,非等边三角形必有而且只有另一个正则点Z′.Z′在△ ABC的外部 ,且Z′A =bcλ′,　 Z′B =acλ′,　 Z′C =abλ′(λ′=a2 b2 - 2 abcos(C - 60°)等三式 )图 1证明　设△ ABC为非等边三角形 ,并设 A为其最大内角 ,B为最小内角 ,则 A >60°,B <60°.情形 　若 A - 60°>60°- B,按以下方法构图 ,使∠ B′O′C′ =A -60°,∠ C′…     

费马点、拿破仑点、重心、垂心与相似形

你了解费马点吗 ?它是这样定义的 :在一个锐角三角形中 ,与三个顶点的距离之和最小的点 ,叫费马点 .分别以△ABC的三边为底边 ,向形外作等边三角形 ,如图 ,连结AC′、BA′、CB′,你会发现神奇的现象 ,这三线交于一点 .这一点就是费马点 .如果A′、B′、C′是等边三角形的中心 ,连结AC′、BA′、CB′,这三线仍然交于一点 .这个点人们称为拿破仑点 .连结A′、B′、C′,△A′B′C′竟然是等边三角形 ,这个等边三角形叫做拿破仑三角形 .10 0多年前 ,德国数学家基佩特 (Ludwigkiepert,1846-193 4) ,发现了一个更有趣的现象 ,费马点、拿…     

商榷一道流行较广的立体几何题

有这样一道题目:在平面N内有一正三角形A′BC,直线DE∥BC,且分别交A′B、A′C于D、E。沿DE将△A′DE折起来,使△A′DE所在的平面与平直N垂直,这时点A′的位置在A,连结AB,问直线DE取在何(?)时AB最短。这是一道流传较广的立体几何题(下称[原题]),它见于北京市82年高考复习资料239面,     

也谈重心向量形式的应用

文 [1]利用O是△ABC重心的充要条件是OA+OB +OC =0推出了如下有趣结论 .即文 [1]例 1.在△ABC中任取一点O ,用SA,SB,SC 分别表示△BOC ,△COA ,△AOB的面积 ,则SA·OA +SB·OB +SC·OC =0本文将对该问题作进一步分析 ,并推广到四面体 .为此 ,必须修正文 [1]给出的“定理 2” .即O是△ABC的重心的充要条件是S△AOB=S△BOC=S△COA.文 [1]把上述结论看成是显然成立而未给出证明 .事实上 ,其充分性不成立 .图 1　三角形如图 1,过△ABC各顶点分别作对边的平行线形成△A′B′C′ ,显然有S△AA′B=S△AA′C=S△BA′C…     

匹窦不等式的一些初等证法

匹窦(D.Pedoe)是一位著名的几何学家,早在本世纪四十年代初期,他就提出并证明了一个涉及两个三角形的边长和面积的不等式,这个不等式,称为匹窦不等式,即设△ABC和△A′B′C′的边长分别是α,β,γ和α′,β′,γ′,它们的面积分别记为△和△′,那么将有不等式     

涉及两个三角形的一个命题

命题若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形.证明由于△A1B1C1的三个内角的余弦值分别为△A2B2C2的三个内角的正弦值,故△A1B1C1的三个内角的余弦值均为正,因此,△A1B1C1是锐角三角形.下面证明△A2B2C2     

數学問題及解答欄

205.一點P与△ABC各頂相連,在連綫PA、PB、PC上各取一點A′、B′、C′,使■过A′、B′、C′依次作PA、PB、PC的垂綫,設分别交BC、CA、AB於X、Y、Z,試証X、Y、Z三點共綫。 206.設△ABC与△A′B′C′關於⊙O共軛(即A、B、C分別为B′C′、C′A′、A′B′的極點),求証△ABC与△A′B′C′互相透視,並且透視心是透視軸的極點。 207.證明多項式 f(x)=(1/7)x~7+(1/5)x~5+(1/3)x~3+(34/105)x当x取任何整數時,總是得整數。 208.有13颗珍珠,其中一顆是假的,已     

三角形的几个边角变换

本文给出从三角形边到角的几个变换,并简要叙述其应用.为方便计,本文下面均设a,b,c,△和a′,b′,c′,Δ′分别为△ABC和△A′B′C′的三边和面积.引理1对△ABC,     

新证勾股定理逆定理

若三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.这便是著名的勾股定理逆定理.北师大版初中义务教育数学教科书第九册第17页介绍对此定理的经典证明:已知:如图1,在△ABC中,AB2 AC2=BC2.求证:△ABC是直角三角形.图1证明:作△A′B′C′使∠A′=90°,A′B′=AB     

关于三角形等力点的几个问题

文献[1]中定义,设S是△ABC平面上一点,满足BC.AS=CA.BS=AB.CS的点,叫做△ABC的等力点.一般三角形都有两个等力点(从力学角度看,称S点为等力点很贴切).文献[2]中指出,三角形的正等角中心与等力点互为等角共轭点.正等角中心F与等力点S的重心坐标分别为{asin-1(A π3),bsin-1(B π3),csin-1(C π3)}、{asin(A π3),bsin(B π3),csin(C π3)}.注:若在△ABC的外边作正三角形△BCA′、△CAB′、△ABC′,则AA′、BB′、CC′三线共点,该点称为正等角中心,当△ABC的最大角不大于120°时,正等角中心就是费马点;当△ABC的最大角大…     

数学问题解答

543。设O是△ABC内一点,点O关于∠A、∠B、∠C的内平分角线的对称点分别为A′、B′、C′,证明:AA′,BB′,CC′相交于一点     

一个几何命题及其应用

命题过定角内一定点的直线与角两边围成的诸三角形中,当定点是该边中点时,此三角形面积最小。证明如下左图,M为定角∠O内一定点;直线AB过点M与∠O两边分别交于A、B,且AM=MB;任一直线A′B′过点M与角两边分别交于A′、B′。过B作BC//OA(若B在OB′延长线上,则A     

从三角形一边中点引一条直线截三角形与原三角形相似的问题探究

在学习了相似三角形之后,学生碰到了这样一道问题. 在△ABC中,AB＞AC＞BC,D是BC的中点,过D作直线l,使截得的三角形与原三角形相似,这样的直线l有___________条. 在这道题目中,不论学生作得的△ABC是锐角、直角还是钝角三角形,答案都是4条.理由如下:如图1,△ABC是锐角三角形,AB＞AC＞BC,过BC中点D作DE1∥AC,DE2∥AB,则△E1BD、△E2DC与原三角形相似.此外,若要形成“错A形”相似,需使∠CDE3=∠A,由于AC＞ BC,所以∠B＞∠A,又由于∠B=∠CDE2,故∠CDE2 ＞∠CDE3,即E3在线段CE2上,故一定可在三角形内部作得△DE3C∽△ABC.另由于AB＞BC,所以∠C＞∠A,又由于∠A=∠DE1B,故若要使∠C=∠DE4B,则∠DE4 B＞∠DE1B,即E4在线段BE1上,故一定可在三角形内部作得△DBE4∽△ABC.所以,从任意非特殊锐角三角形最短边中点出发,可作4条直线截三角形与原三角形相似.     

数学问题解答

1989年5月号问题解答(解答由问题提供人给出) 591.设O为△ABC的外心,射线AO、BO、CO分别与△ABC外接圆交手A′,B′、C′.求证:S_(△ABC)=S_(△A′BC) S_(△AB′C) S_(△ABC′)。     

初二几何第一学期期中自测题

A组一、填空题(每小题4分,共40分)1.三角形的三个内角中,最多有个锐角,最少有个锐角,最多有个直角,最多有个钝角.2.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠A=,∠B=,∠C=.3.在△ABC中,∠A=12∠B=14∠C,则三个内角分别是.4.已知三角形两边分别是2厘米和7厘米,第三边的数值是偶数,则这个三角形的周长是.5.已知不等边三角形的最长边为9,最短边为2,且第三边是整数,则第三边长.6.如果在一个三角形中,最大角是最小角的2倍,那么最小角的范围是.7.周长为15,各边长是互不相等的整数的三角形有个.8.在△ABC中,∠B和∠C的平分线交于点O,若∠A=5…     

拓广的Wietzenboeck不等式

在三角形ABC中,三边为a,b,c,面积为S,则有 a~2+b~2+c~2≥4 3~(1/2)S.其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.这就是Weitzenboeck不等式. 对于两个三角形ABC和A′B′C′,其边分别为a,b,c,和a′,b′,c′,面积分别为S和S′,则有