也谈圆外切四边形判定定理的证明

正如《中学数学》86年第10期上《圆外切四边形判定定理的证明》一文中所说:这定理的证明常采用反证法。笔者在教学中发现还可以有如下直接证明的方法,过程并不繁复,现介绍如下。已知四边形ABCD中,AD+BC=AB+CD,求证四边形ABCD存在内切圆。证明如四边形ABCD是菱形,则结论显然成立,若ABCD不是菱形,不失一般性,设AB>AD,则必有BC>CD(图下)。     

四边形的中位线定理

三角形有中位线定理,梯形有中位线定理,那么一般的四边形有无中位线定理呢? 首先,我们给四边形定义中位线:一组对边中点的连线,称四边形的中位线。而且有以下的四边形的中位线定理。命题 a,b为四边形的一组对边的长,其延长线的夹角为a(平行视为0°),则另一组对边中点的连线长为     

初中平面几何基础培优讲座之十一 平行四边形的判定与性质(上)

<正>众所周知,两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形有一系列的性质定理与判定定理,掌握这些定理,是研究平行四边形的基础.性质定理在平行四边形中(1)对角分别相等;(2)对边分别相等;(3)对角线互相平分;(4)对角线的平方和等于四条边的平方之和.其中(1)⁽³⁾是教材内容,可以利用三角形全等的知识证明.(4)可以利用勾股定理证     

对角线互相垂直的四边形的特性

<正>本文首先给出对角线互相垂直的凸四边形的判定及性质,然后举例说明其应用.判定:对边平方和相等的四边形对角线互相垂直.已知:如图1,在四边形ABCD中,有AB2+CD2=AD2+BC2.求证:AC⊥BD.证明连接AC、     

线面平行判定定理的证明小议

线面平行判定定理的证明小议２３８３００安徽省无为县职业中学吴小宝，张和顺现行《立几》教材中关于线面平行的判定定理的证明采用反证法．众所周知：所谓反证法就是改证它的逆否命题．即由否定的结论推出否定的题设（与已知相矛盾），但课本所采用的反证法证明却没有严...     

一道数学竞赛题别证

<正>(2019年地中海地区数学竞赛第1题)已知△ABC中,∠A=60°,∠A的平分线与边BC 交于点 D.记△ABD,△ADC,△ABC 的内切圆半径分别为r_B,r_C,r,AC=b,AB=c.证明:1/r_B+1/r_C=2(1/r+1/b+1/c).这道题主要考查三角形内切圆相关知识.参考答案主要借助三角形内角平分线定理,解三角形的余弦定理,及三角形面积公式(含海伦-秦九韶公式)转化为三角形边的关系进行证明.     

凸四边形内切圆心轨迹圆弧的探究证明与推广应用

<正>两组对边长度之和相等的凸四边形存在内切圆这个结论是熟知的.笔者研究了2022年北大强基测试中凸四边形内切圆问题,发现了凸四边形的边长与内切圆圆心轨迹的关系,并推广到一般情形;进而得到一个圆外切四边形面积的简洁公式,为2021年中国数学奥林匹克(CMO)试题中凸四边形内切圆问题提供一种证明方法.     

梯形的判定与中位线定理(上)

<正>一个四边形中如果有一组对边平行,这个四边形叫做(广义)梯形.显然,广义梯形包含平行四边形.一个四边形中如果一组对边平行,另一组对边不平行,这个四边形叫做(狭义)梯形.显然,狭义梯形不包含平行四边形.梯形中位线定理梯形两腰中点的连线(中位线)平行于底边且等于两底和的一半.     

关于双曲线 椭圆的一个性质

1　引子笔者在研究圆锥曲线时 ,发现图 1中的凸四边形AF1BF2 有内切圆 .事实上 ,由双曲线定义 :｜AF1｜- ｜AF2 ｜=｜BF1｜ - ｜BF2 ｜即 ｜AF1｜+ ｜BF2 ｜ =图 2｜AF2 ｜ + ｜BF1｜表明 ,四边形AF1BF2的两组对边之和相等 .由平几知识 ,知 :AF1BF2 有内切圆 .进一步 ,若AF1BF2 为凹四边形时 ,会有什么情况 .经过探求 ,得到以下结论 .图 32　性质性质 1　A ,B分别是双曲线同支上两点 ,连AF1,AF2 ,BF1,BF2 .( 1 )若四边形AF1BF2为凸四边形时 ,AF1BF2 有内切圆 (图 1 ) .　　 ( 2 )若四边形AF1BF2 为凹四边形时 ,则四边…     

这些图形也都是平行四边形吗

平行四边形的主要内容是平行四边形的性质和判定,而判定平行四边形常有三种思路:从对边考虑有:两组对边分别平行的四边形是平行四边形,两组对边分别相等的四边形是平行四边形,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;从对角考虑有:两组对角分别相等的四边形是平行四边形;从对角线考虑有:对角线互相平分的四边形是平行四边形;如果把这些条     

对一道数学题的商榷

《中学数学综合练习题》(吉林人民出版社出版)第74页的第620题: 已知三角形的三边成等比数列,又内切圆半径与三条高的和的比等于1:9,试判定这三角形的形状。原书的解答如下: 设三边为a、aq、aq~2,这三边上的高分别为h_1、h_2、h_3。三角形面积S=(1/2)ah_1=(1/2)aqh_2=(1/2)aq~2h_3=(1/2)(a+aq+aq~2)r,其中r是三角形的内切圆半径。∴h_j=(1+q+q~2)r h_2=(1+q+q~2)r/q、     

巧用托勒密定理解代数题

托勒密定理:圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积,由于这个定理所揭示的是圆内接四边形的边与对角线的特定关系,因而在证明与圆有关的线段关系的几何命题中有着独特的作用,若     

再探“SSA”及其在平行四边形中的应用

<正>平行四边形的判定是初中几何的重要内容,教材给出了平行四边形的四个主要判定定理.事实上,还可以从边、角、对角线等中选择两个条件,研究其是否可以作为平行四边形的判定条件.下面来探究一下,已知四边形中一组对边与一组对角分别相等,这个四边形是平行四边形吗?     

托勒密定理及其应用

新编初中数学《几何》第二册复习题五第20题。求证:在圆内接四边形ABCD中,AB·CD+BC·AD=AC·BD. 这是著名的托勒密(Ptolemy,公元二世纪古希腊数学家、星学家兼地里学家)定理。本文就定理的证明和在解题中的应用,举数例供参考。     

中点四边形的判定与性质

<正>中点四边形是依附于原四边形产生的一类特殊的四边形,不同的原四边形其中点四边形形状不同.人教版八年级数学下P_(68)第9题给出了其定义:"我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形".研究中点四边形,一般是通过连接对角线把四边形中的问题转化为三角形问题,运用三角形中位线定理解决.现将中点四边形的判定与性质作如下归纳:一、中点四边形的判定     

一类三角形几何不等式的统一证法

我们知道 ,任何三角形都有一个内切圆 ,切点把三边分成两段 .根据切线长定理 ,可将三边分拆换元 ,即在△ABC中 ,a ,b ,c分别为其三边长 ,可设a =y +z ,b =x +z ,c =x + y (其中 ,x ,y ,z∈R+ )( 1)如此便可简捷地证明一些三角形不等式 .下面我们举例说明 :1　分拆换元后 ,运用算术—几何平均值不等式一些结构较复杂 ,直接运用均值不等式有困难的三角形几何不等式 ,依据 ( 1)式分拆换元后 ,却能容易利用算术—几何平均值不等式 .例 1　在△ABC中 ,a ,b,c分别为其边长 ,求证 :① (《数学通讯》 2 0 0 1.12 .数学问题 132 4 )a +bb +c -a+ b…     

关于四边形的一个不等式

受文[1]的启发,笔者得到一个关于四边形的优美不等式,现整理出来供读者参考.定理在四边形ABCD中,AC,BD为对角线,则有AC2+ BD2≤1/2[( AB+ CD)2+(AD+ BC)2]①当且仅当四边形ABCD是平行四边形时不等式①取到等号.为证明定理,首先引用文[1]的一个定理,即双十定理凸四边形两条对角线的平方和等于两组对边中位线平方和的2倍.     

椭圆内接四边形的一个性质及其推广

本文给出椭圆内接四边形的一个定值性质 ,并将性质推广到椭圆内接n边形 .一、定理及其推论定理 1 :自椭圆上任意一点到其内接四边形两双对边距离之积的比为定值 .图 1证明 :如图 1设Ai(acosai,bsinai) (i=1 ,2 ,3 ,4)为椭圆内接四边形的四个顶点 ,P(acosθ,bsinθ)为椭圆上任意一点 ,不妨设上述五点中任意两点的连线均与x轴不垂直 ,则 :KA1 A2 =bsina1 -bsina2acosa1 -acosa2=-bcosa1 +a22asina1 +a22所以 ,直线A1 A2 方程为 :y -bsina1 =-bcosa1 +a22asina1 +a22(x-acosa1 )因此 :xbcos a1 +a22 +yasin a1 +a22-abcosa1 -a22 =0又设P到…     

关于四边形的两个定理

三角形中我们有余弦定理表示边与角的关系,在四边形中也有类似的定理. (1)中线定理 如图凸四边形ABCD中,E、F、G、H是各边中点,EF、GH是两条中线,则2(EF2-GH2)=AD2+BC2-AB2-CD2     

利用三角形三边关系定理证明线段不等

三角形任意两边的和大于第三边是三角形三边关系定理,也是三角形的一条重要性质,在证明线段不等中起着关键作用.例1如图1,已知AC,BD分别是四边形ABCD的对角线,求证:AB+BC+CD+DA>AC+BD.分析:要证结论,可以根据三角形三边关系定理,证出几个适当的线段不等的式子,然后将它们相加,整理得出所要的不等式.证明:由三角形三边关系定理,得AB+BC>AC,①AD+DC>AC,②AB+AD>BD,③BC+CD>BD,④①+②+③+④得2(AB+BC+CD+DA)>2(AC+BD).即AB+BC+CD+DA>AC+BD.例2已知:如图2,D,E是△ABC内的两点,求证:AB+AC>BD+DE+EC.分析:因为…