关于G－Matlis自反模的几点注记

本文证明，如果Ｒ是一个Ｎｏｅｔｈｅｒ完备半局部环，则Ｒ－模Ｍ是Ｎｏｅｔｈｅｒ（Ａｒｔｉｎ）模当且仅当对任意ＡｒｔｉｎＲ－模Ｎ，Hom _R(M, N)是Ａｒｔｉｎ（Ｎｏｅｔｈｅｒ）模．     

主左理想由若干个幂等元生成的环

环Ｒ称为左ＰＩ－环，是指Ｒ的每个主左理想由有限个幂等元生成．本文的主要目的是研究左ＰＩ－环的ｖｏｎ Ｎｅｕｍａｎｎ正则性，证明了如下主要结果：（１）环Ｒ是Ａｒｔｉｎ半单的当且仅当Ｒ是正交有限的左ＰＩ－环；（２）环Ｒ是强正则的当且仅当Ｒ是左ＰＩ－环，且对于Ｒ的每个素理想Ｐ，Ｒ／Ｐ是除环；（３）环Ｒ是正则的且Ｒ的每个左本原商环是Ａｒｔｉｎ的当且仅当Ｒ是左ＰＩ－环且Ｒ的每个左本原商环是Ａｒｔｉｎ的；（４）环Ｒ是左自内射正则环且Ｓｏｃ（_ＲＲ）≠０当且仅当Ｒ是左ＰＩ－环且它包含内射极大左理想；（５）环Ｒ是ＭＥＬＴ正则环当且仅当Ｒ是ＭＥＬＴ左ＰＩ－环．     

特征模对环的刻划

设Ｒ是一个环，Ｍ是一个左Ｒ摸，Ｍ＊＝ＨｏｍＺ（Ｍ，Ｑ／Ｚ）为Ｍ的特征模．Ｒ．Ｒ．Ｃｏｌｂｙ和Ｔ．Ｊ．Ｃｈｏａｔｈａｎ等人利用特征模对ＩＦ环、凝聚环、Ｎｏｅｔｈｅｒ环、Ａｒｔｉｎ环作出了一些非常好的刻划．本文利用特征模对更为广泛的一些环作出了较有意义的刻划．     

Artin模的自同态环

本文讨论Ａｒｔｉｎ模的自同态环何时为半完全环的问题．对于Ａｒｔｉｎ模ＭＲ，本文证明了：（１）若Ｍ是非单的直和不可分解模，则ｓｏｃＭ为见的小子模；（２）对任意Ａｒｔｉｎ模Ｍ及任意Ａｒｔｉｎ半单模Ｌ，ＥｎｄＲ（ＭＬ）为半完全环的充要条件为ＥｎｄＲ（Ｍ）是半完全环．本文还证明了（直和不可分解的）拟投射Ａｒｔｉｎ模的自同态环为（局部环）半准素环．而对于非零的Ａｒｔｉｎ投射模Ｐ，“Ｐ直和不可分解”等价于“Ｐ和不可分解”．     

半局部环的一个特征

给出了可换半局部环的一个外部特征，证明了Ｒ为半局部环当且仅当存在可逆Ｒ－模，其Ｔｏｐ为Ａｒｔｉｎ模．     

关于完全环与Noether环

（ｉ）环Ｒ是左完全环，当且仅当存在一个基数ｃ，使得任意平坦左Ｒ－模是一个拟投射模和一个ｃ－限制的ＥＳ－模的直和。（ｉｉ）Ｒ是左Ｎｏｅｔｈｅｒ环，当且仅当存在一个基数ｃ，使得任意内射左Ｒ－模的直和是一个（拟）连续模和一个ｃ－限制的ＥＳ－模的直和。     

Artin半单环的特征

本文证明了如下结果：环Ｒ是Ａｒｔｉｎ半单的当且仅当存在一个基数ｃ，使得任意左Ｒ－模是一个连续模和一个ｃ－限制的ＥＳ－模的直和，也当且仅当存在一个基数ｃ，使得任意左界Ｒ－模是一个拟投射模和一个ｃ－限制的ＥＳ－模的直和。     

关于局部Noether模

本文证明了如下结果：左 Ｒ－模 Ｍ是局部 Ｎｏｅｔｈｅｒ模当且仅当σ［Ｍ］中的任意Ｍ－内射左Ｒ－模的直和是一个有限余生成左Ｒ－模和一个拟连续（或连续,直内射）左Ｒ－模的直和．     

关于环的极大Order的一个注记

本文的目的是讨论环Ｒ何时成为一个半单Ａｒｉｉｎ环的极大Ｏｒｄｅｒ问题，得到了主要结果是：若Ｒ是左和右Ｎｏｅｔｈｅｒ半索环，Ｐ是Ｒ的包含在Ｊａｃｏｂｓｏｎ根中的可逆理想，使得Ｒ／Ｐ是一个半单Ａｒｔｉｎ环的极大Ｏｒｄｅｒ，则Ｒ是一个半单Ａｒｔｉｎ环的极大Ｏｒｄｅｒ。     

关于SF－环的几点注记

本文中，我们证明了如下主要结果：Ⅰ　对于环Ｒ，下面条件是等价的：（１）Ｒ是Ａｒｔｉｎ半单环；（２）Ｒ是左ＳＦ－环，且Ｒ满足特殊右零化于降链条件；（３）Ｒ是左ＳＦ－环和Ｉ－环，且Ｒ￣Ｒ具有有限Ｇｏｌｄｉｅ维数。Ⅱ对于环Ｒ，下面条件是等价的：（１）Ｒ是ＶｏｎＮｅｕｍａｎｎ正则环；（２）Ｒ是左ＳＦ－环，且每个苛异循环左Ｒ－模的极大子模是平坦的。     

关于SF—环的几点注记

文中，我们证明了如下主要结果：Ⅰ对于环Ｒ，下面条件是等价的：（１）Ｒ是Ａｒｔｉｎ半单环；（２）Ｒ是左ＳＦ－环，且Ｒ满足特殊右零化子降链条件；（３）Ｒ是左ＳＦ－环和Ⅰ－环，且Ｒ＾Ｒ具有有限Ｇｏｌｄｉｅ维数。Ⅱ对于环Ｒ，下面条件是等价：（１）Ｒ是Ｖｏｎ Ｎｅｕｍａｎｎ正则环；（２）Ｒ是左ＳＦ－环，且每个奇异循环左Ｒ－模的极大子模是平坦的。     

关于G-Matlis自反模的换环定理

设Ｒ和Ｔ是Ｎｏｅｔｈｅｒ完备半局部环，Ｒ→Ｔ是环同态．本文证明了，若Ｔ是有限生成或ＡｒｔｉｎＲ－模，Ｍ为Ｇ－Ｍａｔｌｉｓ自反Ｒ－模，则对所有ｎ≥０，Ｅｘｔ^Ｒ_ｎ（Ｔ，Ｍ），Ｅｘｔ^Ｒ_ｎ（Ｍ，Ｔ），Ｔｏｒ^Ｒ_ｎ（Ｔ，Ｍ）以及Ｔｏｒ^Ｒ_ｎ（Ｍ，Ｔ）均是Ｇ－Ｍａｔｌｉｓ自反Ｔ－模．所得结果推广了Ｒ．Ｂｅｌｓｈｏｆ的结果．     

Noether环上加性秩函数的分解

本文利用局部化的方法,由Ａｒｔｉｎ环上加性秩函数的分解形式决定了Ｎｏｅｔｈｅｒ环上所有加性秩函数的形式（与［１］相同）,且在同一模范畴中刻画了原子秩函数的意义,得出一新的结论．     

本原分式 Artin 的 Exchange 环上矩阵环

文章证明了：如果Ｒ或要为本原Ａｒｔｉｎ的Ｅｘｃｈａｎｇｅ环,则Ｍｎ（Ｒ）≌（Ｓ）当且仅当Ｒ≌Ｓ。     

无挠左（右）Artin环是拟Frobenius环

无挠左（右）Ａｒｔｉｎ环是拟Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ环乌成伟（吉林工学院基础部，长春１３００１２）关键词内积，左（右）内零化子，自内射环．分类号ＡＭＳ（１９９１）１６Ｄ５０／ＣＣＬＯ１５３．３设Ｒ为有１的左（右）Ａｒｔｉｎ环，如果对于任一整数洲与ｒ∈Ｒ，ｍ...     

Noether模的Artin根

本文定义了Ｎｏｃｔｈｅｒ模的Ａｒｔｉｎ根，给出了Ｎｏｃｔｈｅｒ半局部环上有限生成模的Ａｒｔｉｎ根的刻划．最后，作为Ａｒｔｉｎ根理论的应用，给出了一个关于Ｃｏｈｅｎ－Ｍａｃａｕｌａｙ环的定理及一个模的用ｄｅｐｔｈ和ｋｒｕｌｌ维数表示的公式。     

GCD整环与自反模

本文证明了凝聚整环是ＧＣＤ整环当且仅当秩为１的自反模是自由模．同时还得到有限弱整体维数的凝聚整环是ＧＣＤ整环当且仅当Ｐｉｃ（Ｒ）＝１．特别地，有限整体维数的Ｎｏｅｔｈｅｒ整环是ＵＦＤ当且仅当Ｐｉｃ（Ｒ）＝１．     

分次Morita对偶，Morita对偶与Smash积

设Ｃ和ｒ都是群，是Ｇ－型分次环，是Γ－型分次环．是双分次模，Ｒ＃Ｇ是Ｒ的Ｓｍａｓｈ积，Ａ＃Γ是Ａ的Ｓｍａｓｈ积。令Ｗ＝（＿ｇＵ＿（σ－１））＿（ｇ，σ）即（ｇ，σ）位置取＿ｇＵ＿（σ－１）的元素的｜Ｇ｜×｜Γ｜矩阵的全体组成的集合，且每个矩阵的每行和每列的非零元只有有限个，按矩阵运算，Ｗ构成（Ｒ＃６，Ａ＃Γ）双模。则＿ＲＵ＿Ａ定义了一个分次Ｍｏｒｉｔａ对偶当且仅当＿（Ｒ＃Ｇ）Ｗ＿（Ａ＃Γ）定义了一个Ｍｏｒｉｔａ对偶。     

无限矩阵环和完备环

无限矩阵环和完备环郭善良（复旦大学）Ｓｈａｎｎｙ在１９７１证明了一个环Ｒ是半单Ａｒｔｉｎ环当且仅当Ｒ上的无限矩阵环是ＶｏｎＮｅｕｍａｎｎ正则环［１］。这也就是说一个环的无限矩阵环在一定程度上唯一确定了Ｒ本身。我们注意到若ＥｎｄＦ，为ＶｏｎＮｅｕｍｍａ...     

一类Artin模的自同态环的K0群

本文确定了一类Ａｒｔｉｎ模的自同态环的Ｋ０群，并给出Ａｒｔｉｎ模的几条有趣的特征性质。