Stress,body force,and momentum balance in mixture theory

Summary A general momentum balance for a mixture constituent is motivated from corpuscular considerations. The interpretations of stress and internal body force in the separate cases of ionic and non-ionic species are indicated. The Gurtin-Oliver-Williams paradox concerning the interpretation of partial stress is resolved, and relations between total and inner stress shown to be more complex than usually assumed. Comparison is made with kinetic theory.

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Sommario Una relazione generale di bilancio della quantità di moto per un costituente di una mistura è ricavata sulla base di considerazioni particellari. Interpretazioni di stress e forza interna di volume sono fornite per costituenti sia carichi sia neutri. In tal modo il paradosso di Gurtin, Oliver e Williams sull'interpretazione degli stress parziali viene risolto e, inoltre, le relazioni tra stress totali e parziali risultano in generale più complesse di quanto si assuma solitamente. Infine si effettua un confronto con la teoria cinetica.

     

Boundary conditions at a liquid-vapor interface

Summary The principles of conservation of mass, momentum, and energy require that certain relationships between the flow fields be satisfied at a liquid-vapor interface. These relationships are derived in a unified way from a generalization of Kotchine's theorem which includes explicitly surface sources for momentum and energy. The case of a multi-component mixture is also considered. Finally, other boundary conditions required to obtain the full solution to a liquid-vapour flow problem are outlined and discussed. Our results are applicable to other fluid-fluid interfaces as well.

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Sommario I principi di conservazione della massa, della quantità di moto e dell'energia richiedono che esistano relazioni ben definite fra i campi di densità, velocità, pressione e temperatura alla superficie di separazione fra un liquido e il suo vapore. In questo studio tali relazioni vengono derivate a partire da una generalizzazione del teorema di Kotchine in cui si tiene conto esplicitamente delle sorgenti superficiali per la quantità di moto e l'energia. Viene anche discusso il caso in cui sia presente più di una specie chimica. Infine, si considerano e si discutono le altre condizioni al contorno necessarie per ottenere la soluzione completa di un problema coinvolgente simultaneamenta la fase liquida e quella di vapore.

     

Some properties of the set of fourth-order tensors,with application to elasticity

In this paper the algebraic structure of the set of fourth-order tensors is examined. Special emphasis is given to the two different tensor products which can be defined over this set, when it is regarded as a vector space and as the set of all linear transformations over a vector space, respectively.The new formalism introduced here makes it possible to write in a simple form the restrictions imposed on the elasticity tensors, in finite elasticity, by balance of angular momentum and by the principle of material frame-indifference.A reassessment of the various elasticity tensors used in the literature is presented, and some classical results are re-stated in a simple and natural way.

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Riassunto Questo articolo tratta della struttura algebrica dell' insieme dei tensori del quarto ordine. Particolare rilievo è dato alla definizione di prodotto tensoriale tra tensori del secondo ordine, che è diversa a seconda che essi siano considerati transformazioni lineari su di uno spazio vettoriale, oppure essi stessi elementi di uno spazio vettoriale.Il nuovo formalismo introdotto rende semplice la determinazione delle restrizioni imposte ai tensori elastici, in Elasticità finita, dal bilancio della quantità di moto e dal principio di indifferenza materiale.Diventa anche possibile un riordinamento dei tensori elastici piò frequentemente usati nella letteratura. Ciò permette di ritrovare, in modo semplice e naturale, alcuni risultati classici.

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Dedicated to Guido Stampacchia,in mortem     

On the equations of balance for mixtures constructed by means of classical statistical mechanics

Summary We use the techniques of an earlier paper to construct gross quantities and equations of balance for each constituent of a mixture as well as for the whole mixture. The equations of balance for mass, linear momentum and energy for the constituents are similar to those proposed by TRUESDELL, but here growth terms are absent and the peculiar stress tensor and heat flux vector have different interpretations than TRUESDELL's. We also show that the gross fields for the mixture, and the equations they satisfy, can be obtained by suitably adding their analogues for the constituents. In spite of the fact that the internal forces on the ^th constituent are described by means of a peculiar stress tensor T, we show that this theory does not give rise to the paradox considered and resolved by GURTIN, OLIVER & WILLIAMS.

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Sommario Mediante tecniche presentate in un precedente lavoro costruisco campi macroscopici ed equazioni di bilancio per ogni componente di una miscela cosi come per la miscela nel suo complesso. Le equazioni di bilancio per la massa, la quantità di moto e l'energia per i costituenti sono simili a quelle proposte da TRUESDELL, ma qui mancano i termini di sorgente, inoltre il tensore degli sforzi e il vettore flusso termico hanno interpretazioni diverse da quelle di TRUESDELL. Mostro che i campi macroscopici, e le equazioni che essi soddisfano, si ottengono sommando opportunamente gli analoghi costruiti per i componenti. Malgrado le forze interne su un componente vengano rappresentate mediante un tensore degli sforzi, mostro che questa teoria non da luogo al paradosso analizzato e risolto da GURTIN, OLIVER & WILLIAMS.

     

Simultaneous collisions of particles: Generalization of a theorem by Sundman

Summary According to Sundman, a simultaneous collision of all the particles of a system of gravitating masspoints is possible only if the total angular momentum of the system vanishes. It is shown that this proposition isnot characteristic for gravitation, but rather holds for a wide class of central forces.

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Sommario Secondo Sundman una collisione simultanea di tutte le particelle di un sistema di masse puntiformi gravitazionali è possibile solo se il momento della quantità di moto totale si annulla. Si dimostra che questo enunciatonon è caratteristico della gravitazione, ma vale piuttosto per un'ampia classe di forze centrali.

     

The KS-transformation revisited

We show that the Kustaanheimo-Stiefel (KS) regularizing transformation for the perturbed Kepler motion is so deeply rooted to the Keplerian orbital elements as to yield the position vector of a particle on the osculating orbit as the effect of a peculiar roto-dilatation in the physical Euclidean space. Adopting the conventional vector formulation, quaternions and spinors are also involved. A key role is played by (i): a simple hodographical approach to the integrals of the Kepler motion (angular momentum vector, Runge-Lenz vector); (ii) a polarized outlook on the attitude frame of the Kepler orbit; (iii) a simple kinematical expression for the orbital elements. The mechanical energy, the bilinear relation, the gauge transformation — fundamental in the KS-theory — are naturally arrived at, acquiring interesting kinematical interpretations.

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Sommario Si mostra come la trasformazione di Kustaanheimo e Stiefel (KS) per regolarizzare il moto kepleriano perturbato sia cosí legata agli elementi orbitali da condurre, tramite una particolare roto-omotetia nello spazio fisico euclideo, al vettore posizione di una particella sull'orbita osculatrice. Avvalendosi del consueto calcolo vettoriale, si introducono solo all'occorrenza quaternioni e spinori. Fondamentali risultano (i): l'introduzione per via odografica degli integrali primi caratteristici del moto kepleriano (momento della quantità di moto, vettore di Runge-Lenz); (ii) l'interpretazione polarizzata della terna di assi che dà la posizione dell'orbita nello spazio; (iii) le semplici espressioni cinematiche degli elementi orbitali. L'energia meccanica e la relazione bilineare, basilari nella teoria KS, acquistano interessanti interpretazioni cinematiche.

     

One-dimensional unsteady flows of solid-liquid suspensions

Summary The partial differential equations governing the unsteady one-dimensional motion of a solid-liquid mixture in an elastic tube are derived and applied to the problem of pressure surge generation resulting from rapid flow shutdown. The momentum exchange between the phases is then assumed to be simply proportional to the relative velocity of the phases, as correct in the case of slow relative motion. This assumption permits a closed form solution of the problem by a Laplace transform technique. The physically meaningful boundary condition is assumed to be that of vanishing velocity for the fluid phase at the valve. This leads to an initial overshoot of the pressure if the density of the liquid is larger than that of the solid, at variance with previous results of Wood and Kao. Another result is that the presence of a transient in the time evolution of the pressure, discovered by the latter authors, does not play an important role in applications dealing with long tubes. This is proved by both asymptotic estimates and numerical results.

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Sommario Si ricavano le equazioni a derivate parziali che reggono il moto unidimensionale non stazionario di una miscela solido-liquido in un tubo elastico e le si applicano al problema dell'aumento di pressione prodotto da una brusca interruzione di corrente. Lo scambio di quantità di moto fra le fasi viene ritenuto semplicemente proporzionale alla loro velocità relativa, come è accurato nel caso di piccoli valori di quest'ultima. Questa ipotesi permette di ottenere una soluzione analitica del problema per mezzo della trasformata di Laplace. Si fa anche l'ipotesi che la condizione al contorno fisicamente significativa sulla valvola di chiusura sia quella di annullamento della velocità della fase fluida. Questo porta a un massimo iniziale di pressione nel caso in cui la densità del liquido sia maggiore di quella del solido, a differenza da quanto ottenuto da Wood e Kao. Un altro risultato è che la presenza di un transiente nell'evoluzione temporale della pressione, scoperto da questi autori, non gioca un ruolo importante nelle applicazioni relative a tubi sufficientemente lunghi. Questo risultato viene dimostrato sia per mezzo di stime asintotiche sia per mezzo di calcoli numerici.

     

Energy and frames of reference in general relativity

Summary When relativistic theory amalgamates space and time into event, other magnitudes of classical mechanics merge or superimpose. In special relativity it is still easy to find them again by referring to the inertial frame of reference, but general relativity presents them to us as already identified in the curvatures of the Riemannian universe, which admits of no inertial frames, except local ones. It is a search for particular magnitudes and relations (such as momentum and conservation laws), physically interpretablein the classical sense, which specifies a privileged frame. Starting from this frame of reference, the present Note sets out to define the energy-momentum density and super-potentials that give rise, in the same frame, to the known integral results due to the Einstein and Freud psendotensors. Thus the snags arising out of the transformation laws of these pseudotensors are eliminated at the same time.

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Sommario Quando, nelle teorie relativistiche, si sostituisce alle grandezze spazio e tempo la loro fusione nell'evento, altre grandezze della meccanica classica si fondono e sovrappongono. Nella relatività ristretta è ancora agevole ritrovarle, riferendosi all'osservatore inerziale; ma la Relatività generale ce le presenta già fuse nelle curvature dell'Universo riemanniano, che non ammette osservatori inerziali, se non locali. E' la ricerca di particolari grandezze e relazioni, (come la quantità di moto e le leggi di conservazione), fisicamente interpretabili nel senso classico, che precisa un riferimento privilegiato. Valendosi di questo riferimento, vengono definiti, nella presente Nota, densità di energia-quantità di moto e superpotenziali che danno luogo, nello stesso riferimento, ai noti risultati integrali dovuti agli pseudo-tensori di Einstein e Freud. Risultano così eliminati, nello stesso tempo, gli inconvenienti dovuti alle leggi di trasformazione di questi pseudo-tensori.

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Study conducted under the auspices of the mathematical teams of the Consiglio Nazionale delle Ricerche.     

On the relativistic thermodynamics of a continuous system in electromagnetic fields

Summary Whithout adopting a particular interaction between matter and fields, we deduce the relativistic equations of balance -for charged differential materials which move in electromagnetic fields. Successively, restriction for the relativistic constitutive equations are deduced by adopting a relativistic reduced dissipation inequality obtained from the 2nd principle of thermodynamics by P. M. Quan.

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Sommario Si determinano le equazioni relativistiche del bilancio per materiali differenziali carichi, con distribuzione continua di momento angolare interno, in moto in campi elettromagnetici senza ricorrere ad alcuna interazione particolare tra materia e campi. Successivamente si deducono delle restrizioni per le equazioni costitutive derivanti dall'imporre che esse rendano soddisfatta una diseguaglianza di dissipazione ridotta relativistica ottenuta dal2 ^o principio della termodinamica di P. M. Quan.

     

Numerical solution of a pulsatile flow problem

Summary A numerical method, developed and used in previous work, is used to solve the Navier-Stokes equations for a two-dimensional incompressible flow in variable motion. A pulsatile flow through a pipe cross is studied to simulate blood flow in vascular aorto-renal junctions.

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Sommario In questo studio si è utilizzato uno schema numerico, già studiato e utilizzato in precedenti lavori, per risolvere le equazioni bidimensionali di Navier-Stokes per un fluido viscoso incomprimibile in un problema di moto vario. Nelle ipotesi di poter descrivere il moto fasico del sangue con il moto di un fluido viscoso newtoniano di opportuna viscosità, si è studiato il moto pulsante di questo fluido in due condotti raccordati per simulare il moto del sangue nel raccordo aorta-renale durante un ciclo temporale completo.

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Research carried out at Istituto di Idraulica del Politecnico di Milano, Milan, Italy.     

Instability of struts subject to radiant heat

Summary Two model struts subject to an axial force and to radiant heat parallel to the axis are studied dynamically. The elastic and thermal deformations of the strut are lumped in one or two cells; the heat absorbed by each cell and the consequential thermal deformation depend on its rotation. Thermal inertia is neglected, while a viscous damping is introduced.The possible exchange of energy between the strut and the surrounding world leads to a non-conservative mechanical problem. The stability of equilibrium of the original strut position is investigated by the kinetic method, and the zones of stability (bounded perturbed motion), static instability (divergent motion) and dynamic instability (flutter) are found and plotted in some cases, in function of axial load and radiant heat intensity.

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Sommario Si studiano due modelli di asta soggetti a una forza assiale ed a calore radiante parallelamente all'asse. Le deformazioni termiche ed elastiche dell'asta sono concentrate in uno o dueconci di lunghezza trascurabile rispetto a quella dei tratti rigidi costituenti l'asta stessa. La quantità di calore assorbita da ciascun concio deformabile e la sua conseguente deformazione termica dipende dalla sua rotazione. Si trascura l'inerzia termica, mentre si introduce uno smorzamento viscoso.La possibilità di scambio di calore tra l'asta ed il mondo circostante conduce a un problema meccanico non-conservativo. Pertanto, la stabilità dell'equilibrio dell'asta nella sua posizione iniziale è investigata con il metododinamico (ocinematico), cioè studiando le caratteristiche del moto susseguente ad unaperturbazione dell'equilibrio stesso. Si individuano così le zone di stabilità (moto limitato), instabilità statica (moto monotonicamente crescente o motodivergente) e instabilità dinamica (moto oscillatorio di ampiezza crescente, oflutter), riportandole in diagramma per alcuni casi numerici, in funzione del carico e dell'intensità della sorgente di calore.

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Paper presented at the 12th International Congress of Applied Mechanics; Stanford, California; 26–31 August 1968.

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(presently, on leave at the Division of Engineering, Brown University, Providence, R. I.).     

A Method for Obtaining Approximate Analytic Periods for a Class of Nonlinear Oscillators

This paper deals with nonlinear oscillations of conservative single-degree-of-freedom systems with odd nonlinearity. By combining the linearization of the governing equation with the method of harmonic balance, we establish two approximate analytic formulas for the period. These two formulas are valid for small as well as large amplitudes of oscillation. Three examples are used to illustrate that the proposed formulas can give very satisfactory approximate results. Sommario. Questo lavoro tratta il problema delle oscillazioni nonlineari di sistemi conservativi ad un grado di libertà con nonlinearità simmetriche. Combinando opportunamente la tecnica di linearizzazione dellequazione del moto con il metodo del bilancio armonico si perviene a due formule analitiche approssimate per il periodo. Le formule ottenute sono valide sia per piccole che per grandi ampiezze di oscillazione. Si utilizzano tre esempi classici di oscillatori nonlineari per illustrate lefficacia del metodo nel produrre risultati approssimati soddisfacenti.     

The Virk's criterion on the onset of dilute polymer solution phenomena

Summary The Virk's criterion on the onset of the Toms phenomenon in dilute polymer solution is shortly considered; a correlation parameter based on the time hypothesis is indicated, which is modified with respect to the usual similar parameter in that dependence of the intrinsic viscosity on the shear rate is taken into account. It is shown an energetic interpretation of such a parameter.

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Sommario Si considera brevemente il criterio di Virk relativo all'inizio del prodursi del fenomeno di Toms in soluzioni diluite di polimeri in moto turbolento, e si indica un parametro di correlazione dei dati sperimentali basato sul rapporto dei tempi di rilassamento del polimero e caratteristico delle fluttuazioni del moto turbolento, parametro modificato rispetto a quello già considerato da altri autori, in quanto si tiene conto delle variazioni della viscosità intrinseca colla velocità di scorrimento. Si dà di questo parametro una interpretazione energetica.

     

Correction of two errors in the kinetic theory of gases which have been used to cast unfounded doubt upon the principle of material frame-indifference

Summary Certain results of formal processes of approximation in the kinetic theory are similar in form to constitutive relations of continuum mechanics. It is wrong to regard them as such. Continuum mechanics takes the variables entering constitutive functions as being independent. Thus it is possible to ask whether or not those functions be frame-indifferent. In the kinetic theory, on the contrary, all solutions automatically satisfy the principle of linear momentum. In order even to ask whether gross relations satisfied by solutions be frame-indifferent, it would be necessary to show first that those relations pertain to a class of solutions that correspond to velocity fields which differ from one another by arbitrary time-dependent orthogonal transformations of the motion. It is not presently known whether any such classes of solutions exist in the kinetic theory. Indeed, as the constraint imposed by the principle of linear momentum is frame-dependent, the existence of any such class is implausible. Be that as it may, to claim that the kinetic theory can bear in any way whatever upon the principle of material frame-indifference is presently ridiculous.

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Sommario Alcuni risultati di procedimenti formali di approssimazione nella teoria cinetica dei gas sono formalmente simili a relazioni costitutive della meccanica dei continui. È peraltro errato considerarli come tali. La meccanica dei continui considera le variabili che entrano nelle funzioni costitutive come indipendenti. È così possibile domandarsi se queste funzioni siano, o no, indipendenti dal sistema di riferimento. Nella teoria cinetica dei gas, invece, tutte le soluzioni soddisfano automaticamente il principio delle quantità di moto. Al fine di poter domandarsi se relazioni globali soddisfatte da soluzioni siano indipendenti dal riferimento, sarebbe necessario dimostrare anzitutto che queste relazioni appartengono a classi di soluzioni che corrispondono a campi di velocità differenti l'uno dall'altro per trasformazioni arbitrarie ortogonali dipendenti dal tempo. Non è al presente noto se tali classi di soluzioni esistono nella teoria cinetica. Anzi, poichè il vincolo imposto dal principio della quantità di moto è dipendente dal riferimento, la esistenza di una classe siffatta non è plausibile. Ad ogni modo, l'asserire che la teoria cinetica possa aver riferimento in un qualche modo con il principio della indipendenza dal riferimento è al presente assurdo.

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Investigation supported by a grant of the U.S. National Science Foundation. I am indebted to Messrs. Müller, Wang, Ericksen, and Muncaster for discussion over the past several years and to Messrs. Ericksen and Wang for criticism of the first draught of this note.     

Accurate solutions and stability criterion for periodic oscillations in hysteretic systems

Summary The study of the periodic response of hysteretic oscillators is reduced to that of nonlinear elastic oscillators by assuming an incremental formulation for the constitutive relationship. The harmonic balance method with many components allows for accurate periodic solution computation. The Floquet theory can be used to check stability. Developed equations are applied to the study of frequency response curves of a hysteretic oscillator that, although simple, shows both degrading and non degrading behaviour. The results reported clearly show the shortcomings of traditional methods; the influence of higher harmonics is far from negligible.

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Sommario Nello studio della risposta periodica degli oscillatori isteretici si incontrano difficoltà dovute alla natura non olonoma del legame costitutivo. Nel presente lavoro queste difficoltà vengono superate in parte adottando una formulazione incrementale che riconduce il caso isteretico a quello elastico non lineare seppure al prezzo di un allargamento dello spazio delle variabili di stato. Le soluzioni periodiche sono determinate seguendo il metodo del bilancio armonico con molte componenti; la stabilità viene analizzata con la teoria di Floquet. Le equazioni sviluppate sono utilizzate per determinare le curve di risposta in frequenza sotto una forzante sinusoidale, di un oscillatore che, benchè semplice, presenta una notevole varietà di comportamento. I risultati ottenuti mostrano chiaramente le lacune dei metodi tradizionali; l'influenza delle armoniche superiori in molti casi è ben lungi dall'essere trascurabile.

     

The differential geometry of bending

Summary The deformation associated with uniform bending has been treated using the techniques of differential geometry. The Burgers circuit as well as various related tensor quantities such as torsion and dislocation density have all been determinated with respect to these various states of deformation.

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Sommario La deformazione associata con la flessione uniforme viene trattata usando le tecniche della geometria differenziale. Il circuito di Burgers e altre quantità tensoriali e la densità di dislocazione, vengono determinate nei vari stati di deformazione.

     

Some examples of nonuniqueness of solutions to the equation of linear elastodynamics

Sunto Si mostra, tramite esempi, come l'equazione che governa il moto di un corpo linearmente elastico unidimensionale possa ammettere, nell'ipotesi che il rapporto tra i campi di elasticità e densità diverga in un punto del corpo, infinite soluzioni corrispondenti ad una stessa assegnazione dei dati iniziali ed al contorno e delle forze.     

Considerations on the limits of integration field of de Saint Venant's equation for free surface flows

Summary The limits of integration of the free surface flow equation are investigated. For this purpose some terms, seldom used in ordinary practice, although they have been already deduced by other Authors, are introduced.The complete form of differential equation shows that conditions of elliptical behaviour may occur. These conditions, examined for a two-dimensional case, seem to coincide with known conditions of the existence of roll-waves

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Sommario Allo scopo di ricercare i limiti del campo di integrazione dell'equazione differenziale del moto per le correnti a pelo libero si completa la forma classica tramite l'introduzione di alcuni termini, raramente utilizzati nella pratica, ma parzialmente già introdotti da altri Autori.Analizzando l'equazione differenziale ottenuta si rileva la possibilità di un comportamento ellittico. Il limite di passaggio a tale comportamento, in un moto bidimensionale, sembra coincidere con le condizioni per il realizzarsi del deflusso a roll-waves.

     

Stochastic modeling of the thermally induced atmospheric flow at mesoscale

This paper presents a three-dimensional stochastic linear model of the atmospheric flow induced by the variability of heat flux over land surface. The primitive equations relating perturbation terms of wind field, geopotential and buoyancy are formulated as a system of stochastic partial differential equations and solved analytically. The solution is based on spectral representations of the homogeneous random fields. The flow intensity is found to be proportional to the standard deviation of the heat flux into the atmosphere. The intensity of the vertical motion becomes more sensitive to the differential heating with a larger length scale as altitude goes higher. Stability and synoptic wind inhibit the development of the flow. The proposed theory improves the understanding of the role that heterogeneous land surface plays in atmospheric circulations at the mesoscale.

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Sommario Questo lavoro presenta un modello stocastico lineare del moto atmosferico tridimensionale indotto dalla variabilità del flusso di calore sulla superficie del terreno. Le equazioni primitive che legano i termini perturbativi del campo di vento, del geopotenziale e del parametro di galleggiamento sono formulate come un sistema di equazioni stocastiche alle derivate parziali che vengono risolte analiticamente. Tale soluzione è basata su rappresentazioni spettrali di campi aleatori omogenei. L'intensità del moto risulta essere proporzionale alla deviazione standard del flusso di calore diretto verso l'atmosfera. L'intensità del moto in direzione verticale appare più sensibile al riscaldamento differenziale, con scale spaziali più grandi al crescere dell' altitudine. La stabilità ed il flusso sinottico tendono ad inibire lo sviluppo del moto. La teoria qui proposta migliora la comprensione del ruolo che la superficie eterogenea del terreno gioca nella circolazione atmosferica alla meso-scala.

     

On the Ljapunov stability of a system with known first integrals

Summary The differential equations of the perturbed motion with known independent first integrals are considered, and it is shown that a sufficient condition for the stability of the imperturbed motion of the complete system is given by the total stability of the corresponding solution of a certain reduced system, of lower rank. This theorem finds an interesting application in the study of the stability of the merostatic motions of a holonomic system with ignorable coordinates and acted upon by dissipative forces.

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Sommario Si considerano sistemi di equazioni differenziali del moto perturbato per i quali siano noti alcuni integrali primi indipendenti, e si dimostra che una condizione sufficiente per la stabilità del moto non perturbato del sistema completo è data dalla stabilità totale della corrispondente soluzione di un certo sistema ridotto, di rango inferiore. Questo teorema trova una significativa applicazione nello studio della stabilità dei moti merostatici di un sistema olonomo con coordinate ignorabili e soggetto a sollecitazioni dissipative.

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Research supported by the Gruppo di Ricerca No. 7 of the C. N. R.