北京市一九九0年高一数学竞赛复试试题及解答

一、(满分30分)填空题 1.若(3二一l)7=a7:, aoz凡 a拼‘ a.:‘十。,x, aZ:2 a:: 。:。求a。 a: a; a。”? 2.已知f(二)=x, (lga 2) :十18乙且f(一l)二一2,又了(二))2:又寸一节:任R都成立。求。十乙一? 3.二平行平面a与声问的距离为8。线段汉’二a,线段仪’二刀.若A刀~8,CD一10.1劝一戎’一6.求异面直线月刀与cD之间的距离。 4.设1990一2‘. 2。: …十2。、,其中a.,a,,…,a.为彼此两两不等的非负整数,求a,十a,一十… a一? 5.已知(:· 。)·与(二· t)(酝· I)恒等。(其中1;‘、,。均为正整数)求}。十乙 日二? 二、(满分15分)设平面a与刀相…     

第三届北京市大学生(非数学专业)数学竞赛试题

(参赛者注意:甲组答1一10题,乙组只答l一8题,每题满分10分.)设l(二)一l*m鱿黑二琢出函数j(:)的解析表达式,并画出它的图形. n,.咨一十i2设函数“=城:,妇由方程扩十犷+扩二x梦j(:,)所确定,其中了为可微分函数,试计算:冀十;霏·并化成最简形式·试求抛物线扩二4犷l:的动点尸‘x,妇与y轴土的定点口(o,b)间的最短距离.设{“二},{cn}为正实数列,试证明:“’若对所“的正整”·满足:‘一‘,1一成“,“弓沙”,则习“。也发散;奋。,’二1 ‘2,若对所有的正整数”满足:“、价几一知,‘常数“>0,,且馨文收熟则2。。也收敛.设函数,‘二)。:「“,‘〕一:…     

构造单调奇函数解一类竞赛题

1性质 设函数f(x)为单调的奇函数,若f(二、)十 f(二:)一0.则二!+二:一0. 证明:f(二,)十f(二:)一0冷了(x,)一 一f(二2)一f(一二:)”根据单调性,、、一一x:,二, +xZ~0. 2应用 下面利用这一性质速解一类竞赛题. 例l已知实数x、y满足(3二+y)5十扩+ 4二十y一o,求cos(4二+刃的值. 解由(3二+刃”十护+4x+y~o得(3x十 y)5+分十(3工+y)+x一0. 构造函数F(二)一扩+二,易证F(x)为尺 上的单调递增奇函数. 已知条件即为F(3x+妇十F(x)~。,故 (3了+y)+x~O,cos(4x十y)一1. 例2(1997年全国高中数学联赛题)设,、y 的单调递增奇函数, 由已知得F(二一l)十F(y一…     

一类椭圆型Euler方程非平凡解的存在性

设G是。维欧氏空间E”中的有界区域,沙G记G的边界.设p>l,冲二(G)是通常的Co、o月eB空IbJ,附石(G)中的函数在eo、o二eB意义下满足边界条件 “l沙。二0.在命石(G)中的范数取为 1 1 u 11,;‘。。一(f‘}?ul·、x)令.设F(x,u,g)是在GxE’xE”上定义的函数,满足Carath己odory条件,即u,g固定时,F是x的可测函数,x固定时,F是“,g的连续函数。设 I(u)二了‘F(x,u(x),口u(x))dx(l)对“〔沁打伪有定义,又设u,g)=“,户“_丁丁丁F(x,“,户和口亏“沙F(x,u,g) XX 了、、‘ 口口FF!、......气满足Carath6odory条件.如所周知, 口u泛函I(u)的极小…     

关于Macintyre猜测

声t.去, 71日设间隙幂级数f(劝二习。.扩·为一整函数,这里a.(n=1,2…)为复数,{入,}为一递增的非负整数序列.P6行a川得到:如果f(劝具有有穷级且不为常数,满足间隙条件:丛,co(n二向,则f闭无渐近路径.当f(z)的级为无穷时,该结论不再成立. ,二1一__._二,事实上,当{从}满足乙京=OO时,Maci“tyre【“,构造了整函数f(力二乙‘砂’以正实、为渐近路径·但是M二‘。t:二〔“,猜测,当‘(Z,满足‘Fej“r’!句隙条件:艺六n(109”)2十’(1)(。为某乙正数)之下…     

利用函数的奇偶性证反三角不等式

肠目设}x}<1,求证 eos(aresinx)(aresin(eosx). 分析易知不等式两边的函数都是偶函数,原命题的条件等价于x(〔O,1].设(a证一: COS=COSare、inx=a,则、ina二x,于是aresinx)一aresin(eosa口一arCSin 了汀、〕s,n、一了一x产“当x〔[0上式二eosa,13时, ,汀、一人不犷,一x’=eosa十sina兀_护育几厂‘一V乙sln(平十。)一冬‘万一斗0=了l一厂,故有…     

西安工业学院·高等数学

一、解下列各题：（每题6分，共6O分）：1．求极限2．求极限3．设4．设7．计算积分8．计算积分9．计算积分IO设八r）二「。，l、］”二、设人。）在x一。可导，且人a）一肝求极限hd“’“n’5．（IO分）三、证明当。mpl时，。“＜丁二】·（l分）四、求由曲线y‘一上二一和它的渐近线所围成的面积。（1分）f（）在卜a，a］上的凹凸性。（1分）西安工业学院·高等数学     

关于2×2一阶线性微分方程组的积分解法

我们考虑2x2的一阶线性微分方程组 今‘二A(劣)犷+F(x) 另一个与,线性无关的解州_一r砂:‘当:、l,\叻2(x)/‘中;一(柔) ““’一(A(2)a】,(x)aZ:(劣)其中功:(对,劝2(劝由下列积分公式给出.、、.夕了、、产、.矛」ZZ了、Z、 血‘2 1,目aaf,(x)f:(x)叻,(劣)(2)功:(x)f忿。‘at:(引,aZ:。。,)‘, dtJ号‘,‘a::‘,,+。22《。,,d。/夕.、、、、、、万/ 一一刁(二),尸(z)在给定的区间上连续,其相应的齐次线性微分方程组为 犷‘二A(z)犷.(3)那么,由方程(3)的一个非零特解夕二必(x)便可得到非齐次方程组(l)的通解.本文将给出这一结果. 定理,.若…     

问题与解答

一本期问题 1若x、万满足椭圆方程x“/1984十g活=1985,求证.x一卜岁.‘1985. 2求证‘鉴’4*,能被1 05。,整除,商为1 985汤。 3设x、夕)0,且x+,=1 986,求别‘’‘’的最大值。 南昌华东交大附中叶柯提供 4设无为正整数,且一元二次万程(无一1)x生一Px十k二o有两个正整数根,试求k“P(pp+无“)+l的值。 5第四世纪,有个希腊数学家在他所著的算术书中,有一道这样的问题: x‘一60为一个完全平方数,求x,你能不能解答? 6已知x、,、:为三个正实数,且x一卜y十z=3,1/x+1/,+r/z=3,求x“,忿+:,的值 皖祈门芦溪木材收购知长进球提供 7如果二、n、P是方程x…     

问题征解

一本期问题征解1证明2主,“3一1与21,。‘+l互质。2设a:=a:=l,aJ二1 983。。、:二理廷二绘攀止土只竺旦二二‘,口n~求证aj(饭二1,2,3,二)都是整数 3设p,。(。+1)(n+2)(n+3)(n+4) (。+5), l)求证P不是某整数的立方, 2)求〔,丫声苟(〔x〕表示不超过二的最大整数) 麻城一中甘超一提供 4已知直角三角形的周长为1984,求三边长的所有整数解。 江苏教育学院王继源提供 5解方程20002‘一(2000‘“+19s4r6)2000二一8 .1 9841一8+19842里=0 6设n是自然数求证(1十1/1“)(1一卜一/2’)(l+l/3恋) …(1+l/n“)了s 7设三角形的三内角分别是a、刀、下弧度,x…     

清华大学硕士生入学考试试题

高等数学(甲类)试题内容: 一、〔10分」计算Iim(2一x)‘g、“12)X。二、〔‘0分〕计算J于会‘·‘·>‘,。三、:1。〕设有曲面、:一子一十,2十导·1平面万:Zx十29 2 5二01.试在曲面S上求平行于平面军的切平面方程。2.试求曲面S与平面兀之间的最短距离。四、〔15分〕设A为主对角元为零的四阶实对称可逆矩阵 、少 八U > n︸ > K 矛‘、1|J||||J:为四阶单位矩一〔OO五、 1.试计算E AB;并指出A中元素满足什么条件时,E AB为可逆矩阵。 2.当E AB可逆时,试证明(E AB)一’A为对称矩阵。〔10分〕求微分方程y’’十Zx(犷)“=o满足初始条件…     

问题与解答

一,本期问题 1.设a+夕=3;/4,tga=x.tg夕=万,且x、y为正格数,试求x、刀。:二(工一刀)(x一之)(Zx+夕+之)。解法二令,二xcoso,:二xsi,‘0x“一封3一之3=x3(1一co:忍0一:i,、50)20一:i,:。8) ,;个2.试证11…(,卜1)个一一、x“(cos 20一‘05 30+51x名〔co:20(1一‘o‘0)卜万21‘55…56为一完全平方=x“〔(l一51‘,O)(z一coso) (1一5 ino)〕20(1一sf:0)〕+(1一cos:0)则==求方程:inx“=:inx的最小正解设:为自然数,求和=x3(1一51:0)(1一eoso)(1+51,‘0+1+ co‘0)全+‘呈+…十心)+(c{十‘兰十…十‘孟)十一 34(c 。一一数sn+(‘盈:圣十c盆一生)+:盆.…     

平均值法的应用

如采用平均位决,就不存在这个问题了!如何取千均仙、?从条件a十Zb+加二招素成。十乙+b一{一。十。十““丁2,12/6=20显燕丹 实际上可均泣应取‘解、狡口二x+2,乙二夕十e,c=:+2,则(x十幻十以犷十助+以之十幻=12, :.x十2刀十3万=O。故砂十2乙艺」一乳之=(x+幻“一卜2(y魂一幻2十十3(:+幻“二相似文献   

求原函数的几个典型例题

原函数是一个重要概念,下面举几个与之有关的典型计算例子,以加深理解.例 1 设 f(x)的一个原函数 F(x)=(1+sinx)Inx 求 integral (xf′(x)dx)     

高等数学试题(二份)

1．西安电子科技大学（1996～1997学年第二学期）一、填空题（每小题5分，共30分）1．方程组在空间的几何图形是2微分方程的通解为。3．函数人在点处的全微分4.已知，则5．积分区域D为x2＋y2≤1，则6.设函数u（x，y）具有二阶连续偏导数，则当u（x，y）满足条件时，沿任意简单闭曲线L积分二、（1分）求微分方程xlnxdy＋（y－Inx）dx一0满足条件yi。～一1的特解。三、（1分）计算曲线积分nd＝ax＋z【x＋yin（x＋／ds－－－－）」力，其中L是一’””‘”——”””””J／52－－－－．－－“““”““”””’～由点A（。，0）沿曲线v一…     

用线性正算子逼近函数的逼近度

1.引!设{叭(,)}户是在集E~{;}上定义的函数序列,r。是E的一极限点.假设级数叭(,)在E上绝对收敛,且名*=1u,(t)~艺,,(,)eos左,)o(,。:,I,I提,).处=1 +l︼2设了(幻是以2,为周期的周期函数,它在实轴上是连续的(以下简记了(幻〔仇,).置f(一+二)ur(t)浮r.P .F 丫,(f;二)~生MaMe及oB【”指出:如果五m甲:(,)- r.,fo1,则lim穿,4f0r(f:x)~且此时必有 lim甲,(r)二1 护呻ro设了(二)〔CZ二,我们把所有满足条件 }f(x+t)+f(x(友f(二),l,2,‘’‘一:)一Zf(二)}(2 It}“的函数全体记为Z。.MaMe如alz,研究了用正线性算子(l)逼近Z:类中的函数了(幻近度…     

Bers空间中的Hardy-Littlewood型定理

号0引论如果函数f(z)在单位圆{Z}、l内解析,而且对于参数p、q满足条件 /,协11一lz}’)“一’{f(Z){’内·<十oo当o一p一 ①,l相似文献   

(2n—1)次插值样条的误差分析

县1.函数在两点的插值多项式及其导数的余项满足条件P盆乏己,:(a‘)二F(”,)(a‘),i二o,1;j二o,1,2,…,n一1}一均多月!人(1 .1)其中h=al一a。,v二一1(x)二艺〔F(“,)(a。)f:,+1(v)+F(“’)(a,)夕:,一卜1(v)]hZ’, 7二0兰二粤,xc〔a。,。1],称为尸(二)在两点a。及a,的(2。一‘) h’一’~‘一“’一二J”‘’/J‘、一z‘一’“、、一“人“一火卜“、一”次插值多项式.这里f:,*:(。)及夕:,十,(v)是Zj+1次多项式,它们的定义及系数的算法见〔2〕及〔3〕. 定理1设F(x)任CZ“〔a。,al〕,则存在雪〔(a。,al),使得F(二)=艺[F(2’)(a。)f:,十1(…     

含有三角函数的一个积分公式

定理:设f(x)在La,a十ZT〕上可积(T>0)甲(x)在〔a,a十T〕上可积,且满足条件:了(Za+一{f(t)己‘+2,一)一,(二)+,(二),贝。有{f(二)‘:- O}T{叫‘)dr{:‘T,“’“’证明:J了(·)‘一{:‘’,(·)‘·十{口+2个f(x)‘:.在右端第二个积分中,令‘=2a+ZT一‘,‘任〔a,a+TJ一则当:二a+T时,t=a+T;二二a+2少时,t=a;又由条件:f(2。+ZT一t)=一f(t)+p(t),因此{:‘’r了(·)‘一{:‘r,‘·,‘二 实用中验证函数满足条件f(Za+ZT一劝二一f(x)+中(x)井不困难,因为我们总可取p(x)二f(Za+ZT一:)+f仁).问题在于甲(:)是否容易积分.而当甲(:)为零,常数或…     

(F)—代数上的幂级数

设R是一(F卜代数,郎复数休上的完备可距局部凸拓扑代数1).之elazko汉指出,每一(F卜代数上的拓扑都可用满足下列条件的半范系来确定: !!x!}‘镇1}x!}‘+:,}{xyl!‘《}lx}}‘+:11y}!;+:(i一l,2,…).当R中存在等价半范系满足 }}x,}!‘(}}x{{‘}},!};(*一1,2,…)时,R就称为可乘凸的或者m一凸的.如果R是具单位的,一凸(F卜代数,,(幻一名。。砂是复变量R上连续. 定理.‘的整函数,那末显然对每一:〔R,甲(幻~艺‘,在R中收敛,且,(劝在反之,Mitiagin等[’]证明了如果在具单位的可换(F卜代数R中对每一复变量二的整函数,(幻一艺。,:,以及任意二‘R,…