几个基本不等式的证明

几个基本不等式的证明肖常纪（武汉交通科技大学）本文利用凸函数性质结出］Ｌ＋ｇｎ不等式的简易证明。文中记号Ａｌ及１１分别表示对ｉ＝ｌ，２，…，ｎ的ｎ项的累加和及连乘积。１．若。Ｅ（ａ，ｂ）时尸（。）恒负（恒正），则在（ａ，ｂ）上Ｉ（。）是上（下凸）函数...     

一个不等式的修正

一个不等式的修正３０００７３天津师范大学王光明文［１］以反例否定了不等式，通过增加必要的限制条件，本文对此“不等式”予以修正．（这是因为ｘ≥［ｘ］，所以ｎ·（ｘ－［ｘ］）不可能为负值）．此时若令ｎ（ｘ－［ｘ］）＝ｋ＋ｂ，ｋ为整数，ｂ∈［０，１］，此时...     

分式不等式的一种证法

分式不等式的一种证法李康海（浙江永康一中３２１３００）本文介绍一种证法．它不仅适用本刊文［１］、［２］类型的分式不等式，也适用于其它一些类型的分式不等式．由ａ２＋（λｂ）２≥２λａｂ得（ｂ＞０）（＊）当且仅当ａ＝λｂ时．等号成立．特别地，当λ＝１时，...     

几个常见不等式的加强

几个常见不等式的加强２１００４４江苏南京市大厂中学汪杰良文［１］、［２］分别对基本不等式给出了如下加强：定理１若ａ、ｂＥＲ，０＜Ａ＜１，则ａ’＋ｂ’＞Ｚａｂ＋Ａ（ａ—ｂ）’．定理２若ａ、ｂ、ｃＥＲ－，０＜入运１（ｉ一１，２，３），则ａ‘＋ｂ‘＋ｃ‘＞...     

关于三角形边长的几个不等式

涉及三角形常见几何元素的不等式,一般都可化为关于边长ａ、ｂ、ｃ的不等式　ｆ（ａ,ｂ,ｃ）≥０．（）关于三角形边长的不等式是三角形不等式中最基本、最常见的．本文将建立仅含三角形边长的若干不等式．以“∑”表示循环和,以ｆ（１,１,１）、ｆ（０,１,１）及ｆ（２,１,１）分别表示正三角形及两种退化三角形．另外文中省略诸不等式等号成立条件的讨论．以下的证明均采用比较法．文［１］中,我们证明了在锐角三角形中有　　∑１（ｂ＋ｃ）（ｂ２＋ｃ２）≤３４ａｂｃ．（１）从文［１］中的证明过程中可看出,三角形中的最…     

关于Schwarz不等式等号成立的充要条件

关于Ｓｃｈｗａｒｚ不等式等号成立的充要条件张国铭（牡丹江师范学院数学系１５７０１２）在众多的积分不等式当中，有一个著名的Ｓｃｈｗａｒｚ不等式．即：若ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积则对于（１）式等号成立的充要条件，文［１］的结论是：“（１）式等号...     

关于凸函数的一个控制不等式

关于凸函数的一个控制不等式续铁权（青岛教育学院数学系２６６０７１）设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上定义，０＜ｔ＜１，若称ｆ（ｘ）是［ａ，ｂ］上的凸函数，若当时严格不等式成立，称ｆ（ｘ）是严格凸函数．若不等式反向，称ｆ（ｘ）是凹函数和严格凹函数．本文研究凸函数...     

一类分式不等式的新证法

一类分式不等式的新证法郭慧清（广东深圳市深圳中学５１８０２５）设ａｉ，ｂｉ∈Ｒ（ｉ＝１，２，…，ｎ），则有（ａ２１＋ａ２２＋…＋ａ２ｎ）（ｂ２１＋ｂ２２＋…＋ｂ２ｎ）（ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋…＋ａｎｂｎ）２这是众所周知的柯西不等式，若令ａｉ＝ｘｉｙｉ...     

关于半格的一个定理

文中给出了如下定理：设（Ｌ，∨，∧，Π，Σ），ＡＬ，则（Ａ，∨，∧，Σ）＝（Ａ，∨，∧，Π，Σ）ｉｆｆ（Ｌ，∧）上的内部算子Ｉ，使得Ａ＝｛ｘ：Ｉ（ｘ）＝ｘ｝＝ｒａｎｇｅ（Ｉ）＆ＢＡ，Ｉ∧ｂ∈Ｂｂ＝∧ｂ∈ＢＩ（ｂ）．另外，还给出［１］中定理１的一个改进证明．     

一个不等式的几何意义

一个不等式的几何意义李长明（贵州教育学院５５０００３）设ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，则有ａ２＋ａｂ＋ｂ２＋ｂ２＋ｂｃ＋ｃ２＋ｃ２＋ｃａ＋ａ２≥３（ａ＋ｂ＋ｃ）．这是文［１］中，用构造三角形法证代数不等式的一例．它与文［２］的思路一样．但文［２］只用了“三角形内...     

一类分式不等式的证法——柯西均值法

一类分式不等式的证法—柯西均值法陶兴模（重庆市铜梁中学６３２５６０）众所周知，柯西不等式（ａ１２＋ａ２２＋…＋ａｎ２）（ｂ１２＋ｂ２２＋…＋ｂｎ２）（ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋…＋ａｎｂｎ）２（ａｉ∈Ｒ，ｂｉ∈Ｒ，ａｉ＝ｋｂｉ时取等号，ｉ＝１，２，３，…...     

构造函数证不等式

构造函数证不等式贵州省普定县教育局教研室廖炳江等式成立）．从上二例可以看出，一些不等式的证明题，我们若能根据它的条件和结论，结合判别式的构造特点，灵巧地设出二次函数ｆ（ｘ）＝（ａ１ｘ－ｂ１）＋（ａ１ｘ—ｂ２）２＋…＋（ａｎｘ—ｂｎ）２中的ａ１，ａ２，...     

Neuberg─pedoe不等式的四面体推广

Ｎｅｕｂｅｒｇ－ｐｅｄｏｅ不等式的四面体推广宁波大学数学系陈计中国科学院武汉数理所王振设△Ａ１Ａ２Ａ３与△Ｂ１Ｂ２Ｂ３的边长分别是ａ１，ａ２，ａ３和ｂ１，ｂ２，ｂ３，面积分别为△１和△２则有这是著名的Ｎｅｕｂｅｒｇ－Ｐｅｄｏｅ不等式（参见［１］）．１...     

关于《一道课本不等式的加强及推广》的补充

现行教材高中《代数》下册Ｐ３２第５题是已知ａ，ｂ，ｃ＞０，求证：２（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）ａ２（ｂ＋ｃ）＋ｂ２（ａ＋ｃ）＋ｃ２（ａ＋ｂ）《数学通报》１９９７年第１２期刊登了魏华先生对此不等式的加强及指数推广（即文［１］），受其启发，本文再介绍此不等式的...     

一个猜想的否定

１９６７年，Ｖ．Ｏ．Ｃｏｒｄｏｎ建立了三角形的边长与高之间的不等式∑ａ２ｈ２ｂ＋ｈ２ｃ≥２．［１］文［２］把上述不等式加强为∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≥２（ｔａ、ｔｂ、ｔｃ为△的内角平分线长，ａ、ｂ、ｃ为△ＡＢＣ的边长，∑表示对ａ、ｂ、ｃ循环求和），并提出猜想∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≥Ｒｒ（Ｒ、ｒ分别为△ＡＢＣ的外接圆半径、内切圆半径）．本文否定这一猜想，并由此得不等式链：２≤∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≤Ｒｒ（当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时等号成立）．证明　由角平分线长公式，有ｔ２ａ＝ｂｃ（ｂ＋ｃ）２·（ａ＋ｂ＋…     

一道不等式习题的推广的简捷证明

一道不等式习题的推广的简捷证明戴志祥（浙江省绍兴县马山中学３１２０８５）文［１］对高中代数第二册中的一道习题：求证：ａ＋ｂ２２ａ２＋ｂ２２（１）进行了推广，证明大多采用数学归纳法，过程比较繁琐．这里笔者借助于基本不等式，去发挥题中变量所处地位及和谐...     

对两个几何不等式的再探讨

对两个几何不等式的再探讨２１３１５１江苏武进县湟里中学狄继东１９９２年，杨学技先生在文［ｌ］中首先证明了下列不等式：设ｒ１、ｒ２、ｒ３分别为西ＡＢＣ内任意一点尸到三边ａ、ｂ、ｃ的距离，则９３年初，文［２」在否定（２）式的同时，提出并证明了文［３」进一...     

Whc134的解决

文［１］中提出的第１３４个问题是：当ｋ取某个大于１的值时,是否存在某类三角形,使　ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥４３△＋ｋ［（ａ－ｂ）２＋（ｂ－ｃ）２＋（ｃ－ａ）２］（１）仍成立？ｋ取任何正值都有相应的三角形使不等式成立吗？事实上,当ｋ≥３时,由ａ２＋ｂ２＋ｃ２≤４３△＋３［（ａ－ｂ）２＋（ｂ－ｃ）２＋（ｃ－ａ）２］知除正三角形外,不存在任何别的三角形使（１）式成立;图１当１＜ｋ＜３时,除正三角形外,还存在等腰三角形和不等边三角形使（１）式成立．下面我们证明这个结论．证明　对任意△ＡＢＣ,以它的一条中线ＡＤ…     

积分学中一类公式的证明

积分学中一类公式的证明朱匀华（中山大学数学系５１０２７５）本文利用定积分的一个性质，将数学分析中一类积分计算公式的冗繁推导化为简单证明．１一个引理定积分有一个不为人注意的性质：引理设函数ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上黎曼可积，则有其中年人Ｅ卜．ｌ，...     

也谈一类分式不等式的新证法

也谈一类分式不等式的新证法杨晋（安徽芜湖师专９３级数学（２）班）安振平老师在本刊１９９４年第８期给出一类分式不等式的新证法．笔者读后，深受启发．下面再给出其一种证法．为此，我们先给出如下命题．命题如果ａ、ｂ，则（ｌ）显然．不等式（１）是由不等式ａ２十...