线段和、差、倍、分的几种证明方式

线段的和、差、倍、分在几何证明中比较灵活 ,在解决问题中常用到的方法有 :截长法、补短法、加倍法、折半法等等 .1 .所谓截长法是指在较长的线段上截取一段等于其它两条线段中的一段 ,然后再证明截后所余线段等于两线段中的另一段 .所谓补短法即延长两线段中较短的一条 ,使其等于较短线段中的另一条 ,然后证明延长后所得的线段等于较长的线段 .以上两种方法常常用来解决两条线段的和、差等于另一条线段的问题 .例 1　如图 ,已知△ABC中 ,∠A =2∠B ,CD平分∠ACB .求证 :BC =AC +AD .证明 :(截长法 )在CB上截取CE =CA .∵CD平分…     

利用定义巧添辅助线解几何题

为了证明的需要 ,在原来的图形上添画的线叫做辅助线 ,添辅助线是解决几何问题不可缺少的重要手段 .而利用定义巧添辅助线就是当几何问题中的条件或结论中出现直接和某一基本概念有关的性质 (如线段或角的和差倍分问题等 )时 ,就可以根据这些要领的定义添加辅助线 下面举例说明 1 要证明一条线段等于两条线段的和 ,可根据线段和的定义将这两条线段接起来 ,然后证明所得的线段和长的线段相等 ;也可以在长的线段上截取一条线段和短的两条线段中的一条相等 ,证明留下来的部分和另一条线段相等 (角的和差问题类似 ) 例 1　如图 1 .已知P是…     

向量与有向线段

作者在对中学教师进行培训的过程中 ,有几位教师提出这样的问题 :向量在人教版高中数学第一册是这样定义的 ,“我们把既有大小又有方向的量叫做向量” ,该教材同时还提到“向量常用一条有向线段来表示 ,有向线段的长度表示向量的大小 ,箭头所指的方向表示向量的方向 .”他们的问题是 ,既然向量是用有向线段来表示 ,为什么还要引入向量概念呢 ?要搞清楚这个问题 ,实质上是要弄清楚向量与有向线段间的关系 .为了彻底弄清楚 ,需要用到一点代数学的知识 .我们知道 ,如果一条线段确定了起点和终点 ,即有方向的话 ,我们就称其是一条有向线段 ,也就…     

优美的黄金图形

古希腊学者欧多克斯最早提出黄金分割问题:把一条线段AB分成两条线段,使其中较长的线段AC是原线段AB与较短线段BC的比例中项,这叫把这条线段黄金分割,点C常说成是线段AB的一个黄金分割点.     

垂线段最短是本,转化为魂——例谈三角形周长最小值的求法

在求三角形周长最小值问题中,往往需要把结论逐步转化,把三条线段的和转化为两条线段的和(或一条线段),再利用垂线段最短求出最小值.     

关于线段和、差、倍、分关系的证明

线段的和、差、倍、分在几何证明中比较灵活 ,在解决问题中常用到的方法有 :截长法、补短法、加倍法、折半法等等 .1.利用截长法或补短法证明有关线段和、差问题所谓截长法是指在较长的线段上截取一段等于其它两条线段中的一段 ,然后再证明截后所余线段等于两线段中的另一段 .所谓补短法即延长两线段中较短的一条 ,使等于较短线段中的另一条 ,然后证明延长后所得的线段等于较长的线段 .以上两种方法常常用来解决两条线段的和、差等于另一条线段的问题 .例 1　已知 :如图 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,ＡＣ =ＢＣ ,ＢＤ是∠Ｂ的平分线 .求证 :ＡＢ =ＢＣ ＣＤ .分析 :要证明ＡＢ =ＢＣ ＣＤ ,根据截长法和补短法的思想 ,我们可想到两条思路 :( 1)可延长ＢＣ到Ｅ ,使得ＢＥ =ＡＢ ,如能证ＥＣ =ＣＤ即可 ;( 2 )在ＡＢ取点Ｆ ,使得ＢＦ =ＢＣ ,如能证ＡＦ =ＣＤ即可 .根据这两条思路 ,再结合题目的条件 ,由等腰直角三角形 ,我们不难发现证ＡＦ =ＣＤ更好 ,因为可证ＡＦ=ＤＦ =ＣＤ .证明 :在ＡＢ上取ＢＦ =ＢＣ ,连结ＤＦ .∵∠ＣＢＤ =∠ＤＢＡ ,　ＢＤ =ＢＤ ,∴△ＢＣＤ≌ △ＢＦＤ .　...     

优美奇异的黄金分割

一、黄金分割 把一条线段分成两段，使其中较大的一段是原线段与较小一段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割．在线段AB上取一点P，使得AP：AB—PB：AP（即AP^2=AB×PB），则点P叫做线段AB的黄金分割点．由对称性知，一条线段的黄金分割点有两个P1、P2．     

谈谈线段和的证明

证明一条线段是另外两条线段的和是初中几何中经常会遇到的一类题目,解(证)题的方法也多种多样。努力把基本方法掌握好,就可以达到功到渠成、举一反三的目的,大大提高我们分析和解决问题的能力。下面通过几个例题加以说明。     

用“归一法”证这两类题好

在平面几何中常遇到①证线段比的和(差)等于1;②证两条线段的倒数的和等于另一条线段的倒数,这两种类型的题。对这两类题,学生常感到困难,以至束手无策。我们用所谓“归一法”来进行证明学生较易掌握。所谓“归一法”就是通过“中间比”,将欲证式中的线段归结到一条直线上,便于找它们之间的关系。题型:证n/m±n′/m′=1.(m、n、m′、n′表示线段)。方法;在n/m±n′/m′=1中,如果n/m(n′/m′也同样)的分子、分母(即n、m)已在同一线段上,可不动,而n′/m′(或n/m)用与n/m同分母的线段比p/m代替,并使p和m也在同一线段上。如果m、n、m′、n′都在同一条线段上,可通过“中间比”,把四条线段都介绍到同一线段上,使问题得到解决。     

用“截长补短法”证明线段的和差关系

<正>在初中几何计算或证明过程中常遇到,已知或求证中涉及的线段a,b,c,d有如下情况:(1)a>b;(2)a±b=c;(3)a±b=c±d中的一种时,一般采用"截长补短法".1.截长法:在较长的线段上截取一条线段等于较短线段,再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段,称为"截长法".2.补短法:延长短线段中的一条,使延长出来的线段等于另外的较短线段,然后证明两     

"线段染色模型"的有趣应用

在排列组合的习题中,常常遇到关于区域染色问题.笔者发现,它们均可以用“线段染色模型”来处理.所谓“线段染色模型”,是指一条线段上有n个点,用m种不同的颜色来染色,相邻的顶点所染的颜色不同.对于“线段染色模型”,我们有,命题1一条线段上有n个点,用m种不同的颜色来染色,相邻     

线段中点是个宝

在平面几何中我们学过这样一个性质:如果一条直线经过一条线段的中点,那么这条线段的两个端点到这条直线的距离相等(如图1 所示)．现在我们把这条性质拓展延伸到立体几何中,则有:如果一个平面经过一条线段的中     

“黄金分割”漫谈

一、什么是黄金分割? 把一条线段(如AB)分成两条线段,使其中较大的线段(AC)是全线段和较小线段(CB)的比例中项(即AC~2=AB·CB),叫做把这条线段黄金分割(如图)。分点C称为黄金分割点,AC/AB或CB/CA叫做黄金分割比,比值为(5~(1/2)-1)/2≈0.618。     

线段、角目标检测(一)

一、判断题(每小题2分,共24分) 1.如图:a/b,直线a大于直线b. ( ) 2.经过一点只能作一条直线.( ) 3.两点确定一条线段. ( ) 4.线段OA和线段AO是同一条线段. ( )     

解立体几何计算题的一般方法

解立体几何计算题的一般方法晨旭一、几何计算题的结构是根据已知的苦于几何量或位置关系推求另一些几何量．而已知的位置关系通常也要转化为几何量．最基本的几何量有两个：线段和角．其它几何量或者用线段和角来定义，或者可表示成线段和角．例如，两点间的距离，点到平...     

截长补短证“和差”

<正>平面几何的证明问题中,有一类题目是关于线段的和差问题即证明两条线段的和(差)等于另一条线段.在证明过程中,一般需要添加辅助线,而最常见的添加方法为延长法(补短)或截取法(截长).若要证的线段和差形如线段a=b+c.延长法(补短):根据图形,适当作出线段d=b+c,然后证:d=a;截取法(截长):根据图形,适当作出线段e=a-b,然后证:e=c.     

“以直代曲”解不等式问题

直线段的长度可以由给定的某一单位线段比较而得之,而曲线由于各点曲率不同,其长度不像直线那样通过与单位长度的比较得到,是一个较复杂的问题．一般来说,首先要考虑两个问题：其一是曲线长如何定义;其二是如何去度量或计算．实际上作为萌芽状态的变量极限思想方法——“以直代曲”思想方法可以解决如上问题．延伸开来,以直代曲法有时也可以通过某点处的切线来代替曲线,当然这种代替是近似的,不等的．笔者运用这种方法可以解决一类不等式的问题,并且此方法思路清晰,便于操作．     

几何赛题最值探讨

<正>几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积等)的最大值或最小值;求几何最值常用的几何性质有:(1)斜边大于直角边;(2)两点之间线段最短;(3)垂线段最短;(4)三角形任两边之和大于第三边.     

三等分线段的方法及其推广

初中已经学过用平行线方法三等分线段.现在向大家介绍另一种尺规法来三等分线段.这种方法由“垂线法三等分线段”和“尺规作线段垂线”组合而成.一、垂线法三等分线段如图,AD=DE=EC,FE、HD都垂直AC,又AC⊥AB,PF⊥FE,QH⊥DH.不难得出P、Q是AB的三等分点.(平行线等分线段定理)     

向量运算的两种基本方法

向量的表示有几何形式(用有向线段表示)和代数形式(坐标表示),相应地向量的运算也有两种基本方法:(一)几何法;(二)坐标法.下面举例来说明这两种方法的应用. 例1 如图1,AD,BE,CF是△ABC的三条高,求证:AD,BE,CF相交于一点. 证明(法一)设BE,CF相交于H,并设AB=b,AC=c, ,则