一个猜想不等式的推广

文[1]给出了如下代数不等式:设x,y,z∈R 且x y z=1,则(1/x-x)(1/y-y)(1/z-z)≥(8/3)3(1)并在文末提出了如下猜想不等式:     

对一个代数不等式的另证、加强与推广

问题1:已知x,y,z是正数且x+y+z=1,求证:(1/x-x)(1/y-y)(1/z-z)≥(8/3)3.文[1]利用均值不等式给出问题1一个简单初等证明,为便于学生的理解与掌握,文[2]给出该不等式的一个加强形式:     

一类“数学问题”的统一证法

文[1]给出了不等式:已知x,y,z∈R+,m∈N+.求证:x/mx+y+z+y/x+my+z+z/x+y+mz≤3/m+2. 文[2]给出了不等式:已知xi＞0(i=1,2,…n),k＜1,求证: n∑i=1 xi/x1+x2+…+xi-1+kxi+xi+1+…+xn≥n/n+k-1. 文[3]给出了不等式:设ai＞0(i=1,2,3,…,n),p∈R,q＞0,且n∑i=1ai=A,Si=pai+q(A一ai)＞0(i=1,2,…,n),求证:     

一个不等式的简单初等证明

文[1]给出了如下不等式：已知x,y,z∈R^＋,且z＋y＋z=1,则（1/x-x）（1/y-y）（1/z-z）≥（8/3）^3 ① 原文用高等方法证明了不等式①,但过程较为复杂,下面笔者给出该不等式的一个简单的初等证明．     

关于一个双参数三元不等式的研究

文[1]给出如下结论:设x,yz∈R+,则x/2x+y+z+y/2y+x+z+z/2z+x+y≤3/4.文[2]将这一结论进行指数推广,得到 　　定理A 设x,y,z ∈R+,0相似文献   

一个最值问题的研讨

文[1]及文[2]另证并推广了《数学通报》2010年第7期第1863问题,题目如下:设x,y∈R+,x+2y=3,求1/x3+2/y3的最小值.经过研究,笔者从赫尔德不等式入手,给出另一解法,并进行推广.引理(赫尔德不等式)设ai,bi∈R+,p>1且     

一个分式不等式的再推广

1993年,冯跃峰老师在《上海中学数学》第2期上提出一个不等式问题:已知x,y,z∈R ,x y z=1,求证:x4y(1-y) z(1y-4z) x(1z-4x)≥16.(1)次年,尹文华老师将其推广,得到如下结果[1]:若x,y,z∈R ,且x y z=1,求证:x4y(1-y2) z(1y-4z2) x(1z-4x2)≥81.(2)2004年,李铁烽老师将上述两个不等式统一推广为[2]:若x,y,z∈R ,且x y z=1,n是正整数,求证:x4y(1-yn) z(1y-4zn) x(1z-4xn)≥3n 32n-9.(3)本短文旨在推广不等式(3),笔者提出并证明下述定理若x,y,z,n∈R ,m≥2,且x y z=1,则xmy(1-yn) z(1y-mzn) x(1z-mxn)≥33nn--m 12.(4)证明由幂平均不等式,可得…     

智慧窗

一、巧证不等式若a>b>c>d,则二、巧求最小值设x,y,z∈R+,且x+2y+3x=6, 求f(x,y,z)=1/x+2/y+3/z的最小值．     

读“一个分式不等式的再推广”后的思考

宋庆在文[1]中对文[2,3,4]的一个不等式作再推广如下: 如x,y,z,n∈R ,m≥2,x y z=1,则 xm/y(1-yn), ym/z(1-zn) zm/x(1-xn).≥y(1-yn), y/z(1-zn) zm/x(1-xn).≥3n-m 2/3n-1 (1)     

一类条件最值问题的再研讨

1　问题的提出文 [1]在解决问题 (1) :“已知 x,y∈ R+ ,且 x+y= 1,求 1x+4y的最小值 .”时 ,采用了“用 1代换”的方法 ,在将该方法移植到解决问题 (2 ) :“已知 x ,y∈R+ ,且 x+y=1,求 1x2 +8y2 的最小值 .”时 ,思路受阻后 ,提出了在 (1x2 +8y2 )· (　 )中 ,括号中应配上什么式子才能解决问题的疑问 .由此利用柯西(Cauchy)不等式和待定系数法探求出了一个定理 :“已知 x,y∈ R+ ,且 x+y=1,若 λ>0 ,则当且仅当y:x=λ1n+ 1时 ,1xn+λyn (n>0 )取得最小值 ,最小值为(1+λ1n+ 1) n+ 1”.文 [1]的探索是有意义的 ,上述定理是正确的 ,读后…     

用数表法证明一个不等式引出的两个猜想

不等式:已知x,y∈R+,且x+y=1,求证:2＜(x-1/x)(y-1/y)≤9/4 (1)是由当年身为高三学生的胡湘萍(指导教师:宋庆)在数学通讯2001年第20期中发表的《几个有趣的双边不等式》一文中提出的.     

一个不等式的初等证明

本刊文 [1]利用微分法证明如下不等式 :已知x ,y ,z∈R+,且x +y +z =1,则　　 (1x -x) (1y - y) (1z-z)≥ (83) 3 (1)该文刊出后 ,收到福州二十四中学杨学枝 ,武汉市第六中学刘大岱 ,江西广丰中学朱水龙 ,长沙电力学院数学与计算机系梅宏 ,湖北监利新沟中学杨美璋 ,重庆市武隆县中学李来敏、杨小林等人的初等证明 ,限于篇幅 ,下面选登一种初等证法     

一个数学问题的简证及推广

文[1]提出了数学问题1863: 设x,y∈R+,x+2y=3,求1/x3+2/y3的最小值. 文[2]给出了一个需要较高技巧的证明.笔者将利用平均值不等式,给出一种十分简洁的证法. 证明:猜想x=y=1时,1/x3+2/y3取最小值3.     

一个数学问题的源与流

文[1]提出并解答了问题:设0相似文献   

一个分式不等式的解题功效

本刊刊出了《构造不等式,巧解最值题》[1],该文介绍了分式不等式: 定理设x1,x2∈R,r1,r2,∈R+, 则x12/y1+x22/y2≥(x1+x2)2/(y1+y2) (当且仅当x1:y1=x2:y2时,等号成立) 本文将进一步介绍定理的解题功效.     

一个猜想的证明

文 [1 ]提出了一个对称不等式 :已知x ,y ,z∈R+,且x+y+z=1 ,则( 1x -x) ( 1y -y) ( 1z -z) ≥ ( 83) 3 ( 1 )并在文末提出一个猜想 :设xi>0 ,i=1 ,2…n ,且 ni=1 xi=1 ,n≥ 3,则Πni=1 ( 1xi-xi) ≥ (n- 1n) n ( 3)本文将利用文 [2 ]中的结论 ,即下述引理 (审者注 :此引理由 [1 ]中定理 3,定理 4结合得出 )去证明这个猜想 .引理　设a 相似文献   

对"条件x+y=1下1/xn+λ/yn(n≥2)的最小值"再探究

文[1]把解决问题(1):“已知z,Y∈R+且z+.y一1,求去+4j,的最小值’’的“]一z+y”的代换方法移植到问题(2):巳知z,Y∈R+且z+y一1,求壶+歹8的最小值’’时思此时z—i歹舞,y—i歹斋.路受阻后,提出在(≯1+多)( )中,括号内 。=应配上什么式子才能解出的疑问,由此利用文[1]中的(*)式和待定系数法探讨出了一般性的结论:“已知z,y E R+且z+y一1,若^>o,则当且仅当导一^南时,击+号("≥2)取得最小值为(1+A南)一十一. 笔者读后颇受启发,但在(去+io)( )中,括号内到底应配上什么式子呢?文[1]的一般性结论能否再推广?为此,本文再作些探究.1 大胆尝试,印…     

直线与椭圆位置关系的一个判定定理的简证

文[1]证得下面: 定理若直线ι:Ax By C=0,(A2十B2≠0)与椭圆c:(x-x0)2/a2 (y-y0)2=1有公共点,则有:(Aa)2 (Bb)2≥(Ax0 By0 C)0. 本文给出上述定理的一个简单证明. 证明设x-x0/a=X,y-y0/y=Y,即x=x0 aX,y=y0 bY.则直线ι与椭圆c有公共点(?)方程组     

也谈一个三元三次不等式的等价形式及应用

1 等价形式 文[1]指出文[2]、[3]中的不等式: 设x、y、z∈Rt,则 (x 32)/(y z) (y 3x)/(z x) (z 3y)/(x y)≥6(1)     

一类二元函数最值的求法

文[1]利用不等式:设x1,x2∈R,y1,y2∈R ,则x21y1 x22y2≥(x1 x2)2y1 y2(1)(当且仅当x1y1=x2y2时等号成立)给出了一类二元函数最值问题的一种解题策略.受此启发,本文给出另一类二元函数最值的求法.定理设x,y∈R,a,b∈R ,则(1)当a>b时,有x2a-y2b≤(x-y)2a-b(2)(2)当a相似文献