关于积分∫f(x,{Nx})dx带准确余项的渐近展开式的一种新证明

本文对于积分from n=0 to 1 f(x,{Nx})dx带准确余项的渐近展开式from n=0 to 1 f(x,{Nx})dx=from n=0 to 1 from n=0 to 1f(x,y)dxdy+sum from k=1 to r 1/(k!) (1/N)~k from n=0 to 1[f~((k-1,0))(1,y)(?)_k(y-N)-f~((k-1,0))(O,y)B_k(y)]dy-1/(r|)(1/N)~r from n=0 to 1 from n=0 to 1 f~((r,O))(x,y)(?)_r(y-Nx)dxdy给出了一种简捷的推导,这种推导只需普通的分析知识,无需用到Euler-Maclaurin求和公式及Bernoulli多项式的Raabe乘积定理。     

Hammerstein型非线性积分方程的固有值与固有函数

<正> 本文是作者工作[1]—[3]的继续.利用 Leray-Schauder 拓扑度理论研究下面形式的Hammerstein 型非线性积分方程(?)(x)=integral G k(x,y)f[(?)(y)]dy=A(?)(x) (1)的固有值与固有函数,这里 G 表 N 维欧氏空间 R~N 中某有界闭域,函数 f(u) 在0≤u≤δ(δ>0)上连续且 f(0)=0.以下,恒用 f′+(0)表 f(u)在点 u=0的右导数.定理1 假定:(i)非负连续核 k(x,y) 满足k(x,x)(?)0 (x∈G);     

二重 Fourier 级数及其共轭级数的 M 型(H,q)求和

<正> §1.引言设 Q={(x,y)|-π相似文献   

如何探讨抽象函数的性质

在近几年的高考试卷中出现过不少有关抽象函数的题目,要求研究抽象函数的定义域和值域、反函数、奇偶性、单调性、周期性等,下面逐一加以例析.一、定义域这类问题一般是给出y=f(x)和g(x)的定义域,求解复合函数y=f(g(x))的定义域.解决的关键是将g(x)看成一个整体,来替代y=f(x)中的x,从而转化为求解不等式.例1函数y=f(x)的定义域为[-12,21],求函数y=f(cosx)的定义域.分析与简解:因为函数y=f[g(x)]中的g(x)相当于f(x)中的自变量x.所以?21≤cosx≤12,解三角不等式得kπ 3π≤x≤kπ 2π3(k∈Z).解题的关键是始终要明白定义域是自变量的取值范围…     

一个三角函数的最小上界

文[1]提出如下问题,设x,y,z∈R,m∈N,m≥3,求u=sinmxcosy sinmycosz sinmzcosx的最小上界.这里最小上界显然为函数的最大值.本文用微分法给出m=3,4时u的最大值,当m=5,6时给出一个初步结果.因sinmxcosy sinmycosz sinmzcosx≤|sinx|m|cosy| |siny|m|cosz| |sinz|m|cosx|,所以只须在0≤x,y,z≤π2上讨论(1)的最大值,这完全等同于讨论函数f(x,y,z)=(1-x2)2my (1-y2)2mz (1-z2)2mx(0≤x,y,z≤1)(1)的最大值.设(1)的最大值为Am,一元函数g(x)=f(x,1,0)=(1-x2)2m x(0≤x≤1)的最大值为Bm,显然有Am≥Bm.引理1函数f(x)=(1-x2)2m x(0≤x≤1,m≥3,m…     

Bernoulli方程解法的启迪

众所周知 ,Bernoulli方程dydx=P( x) y +Q( x) yn( n≠ 0 ,1 ) ( 1 )是可用初等积分法求解的一类非线性方程 ,其解法是用函数变换 z=y1- n,则方程 ( 1 )就化为关于未知函数 z的一阶性方程dzdx=( 1 -n) P( x) z +( 1 -n) Q( x)上述解法启迪我们提出一般的问题 :非线性微分方程dydx=P( x) f ( y) +Q( x) g( y) ( 2 )经函数变换化的一阶线性微分方程的充要条件是什么 ?又方程 ( 2 )经函数变换化为 Bernoulli方程的充要条件是什么 ?其中 P( x) ,Q( x)和 f( y) ,g( y)都分别是 x和 y的连续函数 ,且它们都不为零。定理 1　方程 ( 2 )经未知函…     

关于∫f(x,{Nx})dx的渐近展开及其应用

本文在最广条件下找到了大参数积分integral from n=0 to 1 f(x,{Nx})dx的一对渐近展开公式,其中{Nx}表示非负实数Nx的分数部分。这些公式对振荡函数的积分计算及线积分逼近重积分方法都有应用。 [2]曾就大参数N为正整数的情形,得出了所论积分的渐近展开式。但就N为非整数的情形,原来的论证方法不再适用。考虑到在实际问题中,例如当f(x,y)对变元y具有     

二重积分计算的一点注记

<正> 众所周知,在有界闭区域D 上连续的函数f(x,y)的二重积分integral integral from D f(x,y)dxdy 存在,而且它可以化为二次积分来计算,例如:如果积分区域D 为X—型区域,即D 可用不等式Φ_1(x)≤y≤Φ_2(x),a≤x≤b 表示,其中函数Φ_1(x)、Φ_2(x)在[a,b]上连续.则有公式:     

函数记号和简单函数方程

在数学竞赛中我们经常碰到一些有关函数的试题,这是因为函数概念是数学中一个重要概念。深刻理解函数概念和灵活地利用函数的性质,对于发展创造性思维能力有着十分重要的作用。在这一讲里,我们准备加深对函数记号的理解,并介绍一些简单函数方程的解法。一、函数记号“y是x的函数”这一数学语言,我们通常用记号y=f(x)表示,这里f表示的是x与y之间的一种对     

对反函数中的两个易混易误问题的剖析

1.混淆复合函数的反函数与反函数的复合函数例1已知f(x)=x2(x≤0),求f-1(x 1).误解∵f(x)=x2(x≤0),∴f(x 1)=(x 1)2(x≤-1),令y=f(x 1),即y=(x 1)2,解得x=-1±y,∵x≤-1,∴x=-1-y,∴f-1(x 1)=-1-x(x≥0).剖析误认为f-1(x 1)是f(x 1)的反函数,而事实上f-1(x 1)是反函数的复合函     

抽象函数与解题模型

我们这里所说的“抽象函数”是指那些没有给出函数的具体解析式,只给出一些特殊条件或特征的函数(如函数递推式,函数的定义域、函数性质及特征、部分图象等)尽管这类函数问题高度抽象,但往往有它所对应的具体函数模型.例如:f(x y)=f(x)·f(y)对应的是指数函数ax y=ax·ay,f(xy)=f(x) f(y),对应的是对数函数loga(xy)=logax logay,f(x y)=f(x) f(y)对应的是正比例函数k(x y)=kx ky,f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y)正弦型的三角函数.f(x±y)=f(x)f(y)g(x)g(y)余弦型的三角函数等等.除此之外面对抽象函数数学题,我们的解题思路常常有:(1)合理赋值,化…     

三阶线性非齐次微分方程的Hyers-Ulam稳定性

讨论了三阶线性非齐次微分方程y′′′+p(x)y″+q(x)y′+r(x)y+f(x)=0的Hyers-Ulam稳定性,即若函数f是它的一个近似解,则该方程一定存在与f是任意接近的精确解,并给出了简单实例.     

利用函数的单调性解竞赛题

函数的单调性在竞赛中应用十分广泛 ,它对于研究图像的特征、确定函数的值域 ,有着重要作用 .同时 ,因为单调函数y =f(x)中x与y是一一对应的 ,所以就可把复杂的高次方程 f(x) =f(a)化为简单的方程x =a ,高次不等式 f(x)≥f(a)化为简单的不等式x≥a或x≤a ,从而使问题驭繁为简 .本文就此特性 ,举例加以说明 .例 1　求不等式 12 x+5 x≤ 13 x 的解集 .(第 13届“希望杯”竞赛试题 )分析　若将不等式 12 x+5 x≤ 13 x 变形为( 1213 ) x+( 513 ) x≤ 1,则可引进函数f(x) =( 1213 ) x+( 513 ) x,利用函数 y =f(x)的单调性帮助解决问题 .解　原不…     

考点9 函数的应用

1.(广东卷,9)在同一平面直角坐标系第1题图中,函数y=f(x)和y=g(x)的图像关于直线y=x对称.现将y=g(x)的图像沿x轴向左平移2个单位,再沿y轴向上平移1个单位,所得的图像是由两条线段组成的折线(如图所示),则函数f(x)的表达式为().(A)f(x)=2x+2,-1≤x≤0x2+2,00(B)b>0且c<0(C)b<0且c=0(D)b≥0且c=03.(…     

趣说函数

函数是一种特殊的映射,当A,B是非空的数的集合时,映射f:A→B就叫做从A到B的函数,记作y=f(x),其中x∈A,y∈B.解析式y=f(x)表示,对于集合A中的任意一个x,在对应法则f的作用下,即可得到y,因此,f是使“对应”得以实现的方式和途径,是联系x与y的纽带,从而是函数的核心.f可用一个或多个解析式来表示,也可以用数表或图象等其他方式表示.原象集合A叫函数f(x)的定义域,象集合C叫函数f(x)的值域,很明显C B.“函数”概念是初中和高中阶段的重点和难点,有不少的同学直到高三也不能深刻理解这一概念.原因在于这一概念的抽象性,如果把“函数”与我们…     

周期函数的最小正周期

设N是一个实数等。定义在N上的函数f(x);若对某一数r(?)0,具有性貭:(1) 对于任一点x∈N,x±r∈N;(2) f(x+r)=f(x)在N上恆成立;那末就称f(x)为集N上的周期函数,r叫做函数f(x)的周期。根据这一定义显然可見: (一) 若r(?)0是f(x)的周期,則-r也是f(x)的周期,事实上,在所給条件下,有f(x-r)=f(x-r++r)=f(x)在N上恆成立。 (二) 若r(?)0是f(x)的周期,则nr(n:任意的自然数)也是f(x)的周期,这是因为在所給条件下,有f(x++nr)=f(x+n=1r+r)=f(x=n-1r)=…==f(x+r)=f(x)在N上恆成立。总括(一),(二)可見,周期函数的一切周期組成了一个关于原点成对称的无穷集合;因此,对周期函数的周期进行研究时,但研究其正的周期就够了。但即使对于定义在整个数軸上的周期函数的所有正周期而言;并不是都有最小的,例如定义在整个数軸上处处不連續的狄里克萊函数     

非线性时滞控制系统多步Runge-Kutta方法的IS稳定性

<正>1引言考虑非线性时滞控制系统初值问题y'(t)=f(y(t),y(t-T),u(t)),t≥0‘,y(t)=φ(t),-t≤t≤o,(1)这里T0为实常数,f:CdxCdxCq→Cd连续可微且满足f(0,0,0)=0,y(t)∈Cd表示状态函数,u(t)∈Cq表示控制函数,且当t≤0时,u(t)=0表示没有控制,     

一道考研试题的注记

20 0 3年全国硕士研究生入学考试数学试卷 (一 )的第八题为 :设函数 f ( x)连续且恒大于零 ,F( t) = Ω( t)f ( x2 + y2 + z2 ) dv D( t)f ( x2 + y2 ) dσ,　 G( t) = D( t)f ( x2 + y2 ) dσ∫t- tf ( x2 ) dx,其中Ω ( t) ={( x,y,z) | x2 + y2 + z2 ≤ t2 },D( t) ={( x,y) | x2 + y2 ≤ t2 }.( 1 )讨论 F( t)在区间 ( 0 ,+∞ )内的单调性 ;( 2 )证明当 t>0时 ,F( t) >2πG( t) .本文在这里将给出这一问题的一个一般性命题 ,即如下的 :命题　设函数 f ( x)连续且恒大于零 ,F( t) =∫…∫Vl( t)f ( x21+… + x2l) dx1… dxl∫…∫Vp…     

一个基本不等式及相应的奇异方向

本文证明了一个用N(r,1/f)和N(r,1/(F-1))去限制亚纯函数f的特征函数T(r,f)的基本不等式,其中F=f~(k) a_nf~n … a_1f,这里的n和k满足1≤n相似文献   

单级零点较少的亚纯函数的一个界囿不等式

本文证明了:若.f(z)为复平面上的非线性亚纯函数,满足N1(r,1/f)=S(r,f),则对任何非零复数c,成立T(r,f)<11N(r,f)+11N(r,1/f'-c)+S(r,f).这里N1(r,1/f)表示f(z)的单级零点的计数函数.