第三届北京市大学生(非数学专业)数学竞赛试题

(参赛者注意:甲组答1一10题,乙组只答l一8题,每题满分10分.)设l(二)一l*m鱿黑二琢出函数j(:)的解析表达式,并画出它的图形. n,.咨一十i2设函数“=城:,妇由方程扩十犷+扩二x梦j(:,)所确定,其中了为可微分函数,试计算:冀十;霏·并化成最简形式·试求抛物线扩二4犷l:的动点尸‘x,妇与y轴土的定点口(o,b)间的最短距离.设{“二},{cn}为正实数列,试证明:“’若对所“的正整”·满足:‘一‘,1一成“,“弓沙”,则习“。也发散;奋。,’二1 ‘2,若对所有的正整数”满足:“、价几一知,‘常数“>0,,且馨文收熟则2。。也收敛.设函数,‘二)。:「“,‘〕一:…     

非线性抛物型方程的一类边值问题

本文讨论了下述问题提法的正确性:在曲线边界区域豆笼I。(t)《x(l,(t);o《t(T圣上非线性抛物型方程边值问题器一、(x,‘,一器)器 二(X,‘,。,器)(l) u(x,0)=甲(x) u(几(t),t)二冲。(t),的解是存在且唯一的幻 为证明问题(l)(2)解的存在性,·:(,、(才),才)一、:(,,。(,1(,),,))}(2)首先考虑常微分方程的如下边值问题dZu_1 du\硕呀r=从x,“,丽厂) “(0)二冲。,u,(l)二冲,(u(l)) 利用C.H.EopHlllTe八H先验估计方法与Leray一Schauder 定理1若问题(3)(4)满足 (l)对0(x(l上的一切u值有F二(x,u,。,))a>o,取等号),心,(0)=0(a为常数)。 (3) (4)…     

不定常燃烧放热反应问题解的全局渐近性态

号1.引言本文考虑不定常燃烧放热反应问题:介妙一+了“+、exp厂二一典,、1.“‘\‘,“u‘}竺’‘一0,..\u1卜.=甲气劣).二o,x〔口,t〔(o,OO),(1 .1)这里“是无里纲温度,口是R“(,=1,2,3)中的一个有界区域.a口是口的边界,才是Lap-lacian算子,又>o是反应速率参数,召>o是与能量有关的参数,甲(x))0是初始温度分布. 当甲(x)满足一定的条件时,(1.1)的正解“(x,t)的存在性及渐近性lim。(、,t)二石(x)在肛得到证明,这里斌x)是(1.1)的定常解,即它满足应.用数学与计算数学学报2卷(一岸丽)一”,/〔“(1 .2)、‘}‘{介“货’p受到阁中计算结果启示,我…     

拟线性波动方程耦合组Cauchy问题的整体解存在定理

对于相对场相互作用系统〔‘l口切=F(切,吵,刀p,D必口砂=G(切,劝,刀甲,D妇t二0:(甲,叻)“(蜜:,舀2),(沪‘,功.)二(叮:,斤2)声..t‘苦.t 、产 ︸l 了、其中场变量伽,初为(t,x)任R+xR”的未知函数,F、G、古:、条、粉:、刀:为已知函数,口=a‘一△,D=(J.,a二:,…,a二。),有 定理若存在常数v。>o,使当1入】(v。时,)F{二o(囚’‘,),【Gl=o(囚.”),入==(入。,入:,…,入。,#。,拼,,…,拼,),F、G〔C’(R,,+舍),且八>2(a+1)la,a》z,对于任何正整数50>。/2(a+i)+i及s》〔an/(a+1)〕+s。+1,存在d>o,E>o,使当君:、么〔H,+’(R”)门研.+’,,“+”…     

S·N·Bernstein型插值算子的收敛阶

设二*一。o,丝,、一石万,为第二类Chebyshev多项式(l一x’)认(x)的零点,以《x*}为插值结点的B。习stein型插值算子为)1一41一4114X一一二=只(f,肠(x)俨,(x)俨*(x)=艺f(x*)俨*(x) k~O(2 1.,(x) l,(x))(21。(x) 21,(x) l:(x))(l*、(x) 21*(x) l*、(x)),k=2,n一2毋一‘x’一寺〔‘·、‘x’ “l一‘x’ “‘·‘x”,·‘x’一寺“一(x’ 2‘·‘x,,乙(x)-l*(x)=犷。(x)(x)=(一1)”衬Zn(x一l) V. 厂。(x)Zn(工十1(一1)k衬(x)k=l,n一ln(x一x*) ‘....,,、.....、‘......老...t中中其其犷,(x)二(l一尸)u。(x),l、(x)称为Lagmllge插值基函数. …     

临界增长拟线性椭圆方程的正则性

近年来,非线性临界增长椭圆方程得到了广泛的研究.对于半线性方程,许多正则性结果已经得到.本文我们考虑拟线性方程-sum from i=sum from i=1 to N (?)/((?)_x_i)(α_i(x,u,▽u))=α(x,u,▽u),x∈(?)(?)R~N (1)的 W~((?),p)(?)弱解的正则性.假定α_i(x,z,q),α(x,z,q)是(?)×R×R~N 上的 Carathéodory 函数,且满足如     

用线性正算子逼近函数的逼近度

1.引!设{叭(,)}户是在集E~{;}上定义的函数序列,r。是E的一极限点.假设级数叭(,)在E上绝对收敛,且名*=1u,(t)~艺,,(,)eos左,)o(,。:,I,I提,).处=1 +l︼2设了(幻是以2,为周期的周期函数,它在实轴上是连续的(以下简记了(幻〔仇,).置f(一+二)ur(t)浮r.P .F 丫,(f;二)~生MaMe及oB【”指出:如果五m甲:(,)- r.,fo1,则lim穿,4f0r(f:x)~且此时必有 lim甲,(r)二1 护呻ro设了(二)〔CZ二,我们把所有满足条件 }f(x+t)+f(x(友f(二),l,2,‘’‘一:)一Zf(二)}(2 It}“的函数全体记为Z。.MaMe如alz,研究了用正线性算子(l)逼近Z:类中的函数了(幻近度…     

“Dirichlet引理的推广”一文的改进

文〔1〕对于著名的Diriehlet引理:lim{t(x)黑丝“一,(+“)尸+._!_~}兰竺兰而二J 09g(+“,晋(其中抓约是【0,-们(无>0)上的单调增加函数)给出了一个有趣的推广: 命题l设 1。函数g(x)在〔o,h〕(h>0)上单调增加,落2。五弩“及黑粤“存在, 「几_,_、‘f(P幻,___,,。、r+“l(约二粼划。“、‘·,-万一“一“、下”zJ。下于.“并由此进一步得到了命题2一5. 二*。Il~*山二。,、、二。。二。、.f(x)**”、,曰*。*,、二,、‘由、山*。_:二, 伪伍“1,‘’日山’,目不丁‘列‘l丫“甲二攀兀厂甘忆日”队用u举’曰’“l’恺‘”价从几’仍机正沉’川以…     

一阶拟线性双曲型方程组的柯西问题

51.引言 在力学的静多部阴中,常提出带两个自变量的一阶拟枝性双曲型方程粗的各种定解朋题.这种方程粗的一般形式为石,、山、.右自““、‘’‘,“,百一自 (i= /_、口“,_,、口ij\‘,x,“2.百,一ci、,,x,uz, ‘尹X(1 .1)1,…,n)于此系数aii,bii,c,是其变量‘,x,“一(。:,…,“.)在所考察的区域上的已知函数;:,二是独立变量,“~(“:,…,“户是未知函数.假殷此方程粗为双曲型的,郎要求其系数满足下面的一些条件: 1“在所考察的区域上 det}a;,}铸。;(1 .2) 2o特征方程 det la;s又一去;i】=o(1.3)对所考察的区域上的任何(t,x,u)值有,个实根又,(…     

吉林大学一九八四年硕士研究生入学试题

J目.J.J不‘孟‘‘斌.,,邵汤气r日了梦孙、叮弓七』:卜.J今JJ‘2〔一’考虑边值问题 g:,,,口“子_‘。八口“u、口f,,.八口u、._,__、__,,__、 龟去‘二贡t乞气叭万)介方一j一兰一lb〔x)芒井}+c‘二):=厂(x),0蕊x(l, 1口x‘\口x‘,口x\口x/ 才‘,_日U_。、,,,_八1 了“二卫二一“O。当x=0 .1。 又口x‘一‘这里a(x)任C“(〔0,l」),西(x)任C‘(〔0,l]),C(x扩(x)任C“(巨0,l〕),a(x))a。>0,。。几级一‘数,b(x),c(x))0.试给出并证明和它相应的极小位能原理.(20分)二、试确定求积公式 J{。,‘X)dX澎‘{·,(一,卜。,(。卜·,(、)}中的系数…     

地热计算中耦合偏微分方程的差分格式的极值原理

县1.引言在多井开采地热储的研究中,需要计算下列的祸合偏微一罗(x,·,‘,一误(。(·)一岔切(x,z,0)二侧二,z),二(x,o,t)一“(x,t),(二,z,,)),分方程组的‘匕解问题川: Ll>x>。, 几>冷。,t>0,(I)(l)切(二,LZ,t)二T:(二,t),/d“d‘u{一丽一“而、一}“(x,“)一砂(x)-{“(“,‘)一T!(‘),{u(Ll,t)=T。(t),口u .a切、-一十、OX 02 均>x>o,t>。,(1 .1)(1 .2)(1 .3)(1 .4)(1 .5)(1 .6)(1 .7)(1 .8)/!、.les‘、本文人.a‘年7月23日收到.2期地热计算中藕合偏微分方程的差分格式的极值原理/专其中万》口(:)》…百>0声》0. 有时,除了用第一边值…     

关于三角级数部分和的度量未定极限

芍1.抬定雨锢在〔一二,司上挑乎虚虑催定的可ffilJ函数F(x)和G(x)业且在是履固上挑乎虑虚有 G(劣)(F(劣).,J一(l一)在是情况下我们知道存在着三角极数名(a。cos”x+b,sin“‘),(1 .2)满足修件lima。=0,limb。=o(1 .3)业且其部分和在〔一二,司上的度量上限和度量下限分别地等淤F(对和G(幻.句 在【l]中已履拾出可$lJ函数叙列的度量上限和度量下限的定羲.篇了擅者方便起兑,我们再把疽些定羲在是裹爵出来. 抬定一侗在某履简【a,b1_L挑乎虚虚榷定的可$lj两数叙列 九(幻,九(x),…,f,(x),…,‘L4)我们靛可测函数F(x)是叙列(1 .4)在【a,妇上的…     

对一道赛题解法的探究

1986年全国数学竞赛第设实数u、b、。满足 l丫一bc一sa+7=()·试第1题第咬3川、题为:那么“的取值范It1是①② !扩+扩+b‘、一6a+6=‘j(A)(一co,+co);(I弓)(一oo,1 JU〔9,+co);(C)(0,7);(I))r 1.9〕.标准解答是,山题给条件得lbc三丫一sa+7l夕十已+bc=6“一6②一①x3得(l,一‘〕’=一3(‘,一)(u一冬,)③ .’一3(a一l)(u一9))(),故l石a石9 答案为(u). 我们认为此种解法不妥。因为.若口)十(劲,得 (b+‘.)二丫一2“十l=(‘:一I)④ bc〔R.而(“一l)J要0二‘一co<‘,<十oo,答案应为(A). 又若将①代人②得 粉+‘“=一丫+14‘,一13二一(‘,一1)…     

对“方程组的同解原理”的修正

本l’lj 1993年第2期“方程组的同解原理”一文中所述原理4o是这样的:,京”,’·“”方程”‘{Fi(x,,)·凡(二,,)=oG(二,万)一0的解集等于两个方程组{Fl(x,,)G(x,,)二0二0{凡(二,,)=0G(x,,)=0的解集的并集.笔行认为这个原理本身是不正确的.例如方程组x一1￡十1x+l劣一1的解集是空集.但如按原xZ一,2=0了.,、..、 与理4。卜述方程组的解集等于x一1x+l劣+1x一l了2一yZ=o=0 的解集的并集,.即1(l,一l),(l,l)全UxZ一,2=o{卜1,一l),(一l,l)},出现矛盾·导致原理4o不正确的原因是忽视了解析式的定义域,修改后的原理4o应为: i货F,(二,军),矛户”(…     

利用函数的奇偶性证反三角不等式

肠目设}x}<1,求证 eos(aresinx)(aresin(eosx). 分析易知不等式两边的函数都是偶函数,原命题的条件等价于x(〔O,1].设(a证一: COS=COSare、inx=a,则、ina二x,于是aresinx)一aresin(eosa口一arCSin 了汀、〕s,n、一了一x产“当x〔[0上式二eosa,13时, ,汀、一人不犷,一x’=eosa十sina兀_护育几厂‘一V乙sln(平十。)一冬‘万一斗0=了l一厂,故有…     

关于三次插值样条的逼近阶

计算数学1983年 设f(二)〔C,。,,:且f(0)~f(l),对[0,l]的分划△,,我们用穿△,(f::)表示f(二)关于分划△,的三次周期样条插值,当△。是,等分分划时,简记为g。(f;二).用了(幻表示广(幻的周期延拓,并令 c志已〕一{f(x)}了(、)〔c乳。, 。)} ~{f(二){f(x)〔C品,1:且f(o)~f(l),f’(o)~f’(l),…,fp(o)~f‘p’(l)},L‘p’‘一{‘(‘)}二;淤l〕}‘(‘ ‘) ‘(一‘)一2‘(·,}一o(“)},Lip,‘l一{f(‘)l、撇I尹(‘ h) 7(x一h)一2了(‘)卜o(“)}·关于穿△,(f;x)对f(幻的逼近阶与f(幻光滑性之间的关系,我们有如下的定理. 定理1.设f(:)〔c鹿.1〕,q>o…     

十一、坐标变换、参数方程、极坐标

A组 一、选择题 1.抛物线3犷一6y+x=0的焦点到准线的距离为()。渗一数方程lx二’g“+c‘ga ‘y=n〔刁表示的图形是(seca十eosa(a毕等.(A)合(。音;(e)会;(o)去(A)直线;9.直线(B)椭圆;)的一部分。(C)双曲线;(D)抛物线.专t一3+t(t是参数)与圆y二 2.在xog坐标系中,曲线S:卢艺尤,妇二o上一点M的坐标为(l,0),经坐标轴平移后,在新坐标系x,o苦’中,M的坐标为(2,3)。则在坐标系x,o苦’中,曲线S的方程为()。 (A)F(x,+l,夕,+3)“o;(B)F(x‘一l,夕’+3)二o; (C)侧x乞1,,七3)二o;(D)F(x’+一,夕乞3)=(). 3.双曲线丫一犷+sx一149一133二0的两条渐近…     

Banach空间中微分包含周期边值问题的唯一解和误差估计

旨在Banach空间中研究微分包含的周期边值问题(PBVP).假设F(t,u)仅满足弱Carathèodory条件,并不使用紧性条件,然而仍证明了该PBVP的唯一解能通过迭代序列的一致极限得到,并且还给出了解的误差估计.     

同济大学一九八四年硕士生入学考试试题

高等数学及工程数学(概率论、线性代数)川少,设‘娜一{{ ‘尝毖{,求‘〔“劝〕· O、、J/1劣 一(5分)、尹、,产IC‘了‘、才汇、丙 1,IJX rr、求下列积分 ~旦 产e4求勿。ct:、(每小题6分):(l)丁 Jx了Inx(1一Inx)!sinx (2)(6分)设函数Z二Z二阶连续偏导数,求(x,妇由方程F口2之dxZ dx x了x一1x十:,x y 劝二0确定,其中函数F具有四、(8分)把函数厂(、)二In1十x展开成x一1的幂级数,并指明级数的收敛范围。 五、(盼,由平面“一。,圆柱面(‘一名一,围成空间区域9,求豁的体积.一卜、牲(李·以及圆锥面一加、守六、(8分)设。为由曲线方=:inx及…     

有约束总极值的最优性条件

卜设f(对,g:(对,…,肠(x),l:(x),…,lr(x)是定义在,维欧氏空间有界闭区域‘上的连续函数.考虑下列有约束曹、极值问题: ’ min厂(x) 盆〔C并满足约束 ’_一.‘一‘狱 g、(x)《o,f“1,”’,p,x〔e,(1) l,(x)=0,夕=1,…,犷, 以前我们己经讨论过无约束条件的情形x,〔G是总极值点的充要条件(’“、〔’〕.当考虑有约束情形时,最优性条件有它的特殊性,本文将讨论此问题.记 G‘=丈x!g,(x)《0,x〔G},f=1,…,p, L丈={x!l,(x)>0,x〔G}, 厂=1,…,:,(2) L了一{万ll,(劝簇0,“赶‘卜一 ‘。一只‘f,五。一只‘五了门五犷’, S=L。nG。. H。={二{厂(…