正交多项式及Pade逼近

利用Ｌｅｇｅｎｄｒｅ多项式的性质，得到ｅｘｐ（ｘ），ｔａｎｘ和ｔａｎｈｘ简单形式的对角Ｐａｄｅ逼近，在［－１，１］上Ｐｎ（ｘ）对于任意较低次幂的多项式是正交的·在求得某些函数的分母时，利用了Ｇａｕｓ求积公式·     

具有最高逼近阶的稳定Lagrange 数值微分法

在诸插值节点和被微分点之间的距离与步长参数h的比给定的假定下, 给出了Lagrange数值微分法截断误差的渐近表示. 进一步, 当插值节点处函数值的数据有界为ε的扰动时, 给出了根据扰动界ε和插值次数n 确定步长参数h的方法, 使逼近阶达到饱和. 这里所有的研究, 都可以推广到一般拟均匀的节点组上去.     

基于Legendre多项式的数值微分: 加权$L^2$空间中的收敛性分析

We consider the problem of estimating the derivative of a function f from its noisy version fδby using the derivatives of the partial sums of Fourier-Legendre series of f~δ. Instead of the observation L~2 space, we perform the reconstruction of the derivative in a weighted L~2 space. This takes full advantage of the properties of Legendre polynomials and results in a slight improvement on the convergence order. Finally, we provide several numerical examples to demonstrate the efficiency of the proposed method.     

稳定逼近Laplace算子与二阶混合偏导数的Lanczos方法

考虑由未知二元函数的近似值计算其Laplace算子与二阶混合偏导数的问题,给出稳定逼近Laplace算子与二阶混合偏导数的两类Lanczos方法,其逼近精度分别为O(δ~(1/2))和O(δ~(2/3)),其中δ是近似函数的误差水平.     

一种带噪声的周期函数数值微分方法

本文利用Thkhonov正则化方法讨论了带有噪声离散数据的周期函数的数值微分问题,证明了该方法存在唯一的三次周期样条函数解,并给出了其误差估计,而且从理论和数值例子说明了此方法的有效性．     

基于正交多项式的解不适定算子方程的隐式迭代法

该文研究了基于Chebyshev和Jacobi多项式的解不适定算子方程的隐式迭代法.建立了隐式迭代法和由Hanke提出的显式迭代法之间的关系. 给出了与Chebyshev第一和第二多项式相关的迭代格式的残差有理式的一个重要引理. 对精确和扰动的数据, 研究了方程的收敛性和收敛速率. 利用Morozov残差原则, 给出了一个可执行的强健的正则化算法.最后还给出了一些数值例子, 数值结果与理论分析基本一致.     

一阶导数的五点数值微分公式及外推算法

通过对四次Lagrange插值多项式求导推导出一阶导数的五点数值微分公式,其截断误差为O(h~4).利用Richardson外推原理得到该公式的外推算法,K次外推后,中间节点的数值精度提高到O(h~(2(k+2))),其它节点的精度提高到O(h~(k+4)).     

微分多项式的Picard集

设 f(z)为超越整函数,F=f~N(N≥3,N 为自然数),设复序列(?)={λ_n)满足|(λ_(n+1))/(λ_n)|>q>1.Anderson,I.M.等人在文[3]中证明了 F′在(?)中取任意非零复数ω∈(?)无限多次,并提出以下两个问题:(a)(?)对整函数能否扩大到含有无穷多个小圆盘?(b)相似的结论对 F=f~nQ[f](Q[f]是 f 的微分多项式)是否也成立?1983年,Langley,J.K.,对 F=f~N 形式将(?)扩大到含有无穷多个小圆盘,从而对(a)作出肯定回答.本文将[1]的结论推广到 F=f~NQ[f]的形式,从而对(b)作出肯定回答.     

一种磨光微分方法

本文讨论一种利用磨光思想求解微分的正则化方法，并讨论了它在某种条件下的收敛性．这种磨光微分方法结合正则化参数的选取得到了最优的收敛阶，最后给出了一个数值例子，证明该方法是可行的．     

不同基底的正交多项式回归

提出了把Legendre多项式转换为定义在{1,2,…,n}上的正交多项式的Gram-Schmidt正交化方法.模拟比较了不同基底的正交多项式回归效果的差异.实证发现在AIC准则下,正交多项式回归在保证拟合效果的同时可最大限度地降低多项式次数.开发了正交多项式回归全过程和模型评价的MATLAB软件工程.     

二元直交多项式的不变因子与数值积分公式

A．H．Stroud给出了关于二元m^2点2m-1次求积公式存在性的充分条件,即两个m次直交多项式P1(x,y)和p2(x,y)存在m^2个不同的公共零点,并且都不是无穷远点。本文用不变因子的方法给出了当m=2时这种直交多项式对的一种选取方法．另外,本文最后给出了一些2m-1次积分公式．     

用Tikhonov正则化方法求一阶和两阶的数值微分

Numerical differentiation is an ill-posed problem, which is important in scientific research and practical applications.In this paper, we use the Tikhonov regularization method to discuss the first and secord order derivatives of a smooth function. The error estimate is also given. And the numerical results prove that our method is applicable.     

ON QUADRATURE FORMULAE FOR SINGULAR INTEGRALS OF ARBITRARY ORDER

Some quadrature formulae for the numerical evaluation of singular integrals of arbitrary order are established and both the estimate of remainder and the convergence of each quadrature formula derived here are also given.     

ON LIMIT CYCLES FOR A CLASS OF DIFFERENTIAL SYSTEMS WITH POSITIVE DEFINITE POLYNOMIAL

In this paper, the nonexistence, existence and the number of limit cycles for a class of differential systems with positive definite polynomial are considered, and the results obtained generalize and supplement those of [1].     

一阶急式微分方程周期边值问题(英文)

本文我们描述了一个构造性方法．在存在一个上解β及下解α且α≤β情形下,得到两个单调序列一致收敛于如下周期边值问题．ｘ′（ｔ）＝ｆ（ｔ,ｘ（ｔ）,ｘ′（ｔ））,ｔ∈［０,Ｔ］ｘ（０）＝ｘ（Ｔ）,｛的极值解     

求解第一类积分方程的正则化—小波方法及其数值试验

1 方法的描述 第一类(Fredholm)积分方程是指形如 (1.1)的积分方程,其中核k(x,y)和右端函数f(x)给定,u(x)是未知函数.许多物理、化学、力学和工程应用问题都能导致第一类积分方程.求解第一类积分方程的一个本质性困难是方程的不适定性,即解的存在性、唯一性和稳定性遭到破坏.常用的数值方法有奇异值分解(SVD)方法、Tikhonov正则化方法、投影方法、正则化-样条方法、再生核方法等.本文提出一种新的正则化-小波方法,在第一类积分方程有多个解时,可以求出具有最小范数的数值解;如果原积分方程有唯一解,则所得的数值解收敛于准确解.数值试验表明,该方法是可行的. 我们在L~2[a,b]中考虑第一类(Fredholm)积分方程,即假设方程(1.1)中积分算子K∈L~2([a,b]×[a,b])及右端f(x)∈L~2[a,b]给定.为保证数值求解算法的稳定性,我们先用正则化方法处理该方程,将不适定问题化为泛函极值问题来求解,然后利用多重正交样条小波基构造求解格式.由于我们给出了直接计算低阶的多重正交样条小波基函数的一般公式,使得解法可以在计算机迅速实现.     

带奇函数因子的数值积分公式

1 引言 在物理学中常会遇到integral from n=-T to T(f(x)φ(x)dx)型的数值积分问题,其中φ(x)在[-T,T]上为奇函数,亦即φ(-x)=-φ(x),比如振荡函数的积分integral from n= x to -x(f(x)sinwxdx)就是最典型的情况,本文把此型积分称为带奇函数因子的积分,由于φ(x)在[-T,T]上符号有正有负,故在[-     

HIGH ORDER NUMERICAL METHODS TO TWO DIMENSIONAL HEAVISIDE FUNCTION INTEGRALS

In this paper we design and analyze a class of high order numerical methods to two dimensional Heaviside function integrals. Inspired by our high order numerical methods to two dimensional delta function integrals [19], the methods comprise approximating the mesh cell restrictions of the Heaviside function integral. In each mesh cell the two dimensional Heaviside function integral can be rewritten as a one dimensional ordinary integral with the integrand being a one dimensional Heaviside function integral which is smooth on several subsets of the integral interval. Thus the two dimensional Heaviside function integral is approximated by applying standard one dimensional high order numerical quadratures and high order numerical methods to one dimensional Heaviside function integrals. We establish error estimates for the method which show that the method can achieve any desired accuracy by assigning the corresponding accuracy to the sub-algorithms. Numerical examples are presented showing that the second- to fourth-order methods implemented in this paper achieve or exceed the expected accuracy.     

偏微分方程边值反问题的数值方法研究

本文研究了奇异积分方程在反边值问题中的应用问题.利用圆周上的自然积分方程及其反演公式,把Laplace方程的边值反问题转化为一对超奇异积分方程和弱奇异积分方程的组合,通过选取三角插值近似奇异积分的计算并构造相应的配置格式,并使用Tikhonov正则化方法求解所得到的线性方程组.数值实验表明了该方法的有效性.     

解刚性常微分方程组L—稳定的二阶显式单步法及数值试验

1 引言 迄今为止,在求解刚性常微分方程组初值问题的数值方法中,除了J.D.Lambert采用有理逼近导出的非线性方法类和S.O.Fatunla型方法(后者需要用到方程组右端函数的高阶导数)以外,几乎所有的数值方法都是隐式的并且不能精确求解试验方程组y'=Ay,A=diag(λ_1,λ_2…λ_n),Re(λ_i)<0,i=1,2,…,m,m为任意正整数.特别是隐式方法每前进一步需要用牛顿迭代法求解,工作量之大是难以令人满意的。根据刚性方程组解的特点,我们在积分区间的每个子区间[t_m,t_(m+1)]上局部地用一个形如p(t)=A+Be~(c1)的函数来逼近刚性方程组的解,由此得到的是L-稳定的二阶显式单步法,并且对上述试验方程组是完全精确的。由于上述试验方程组等价于标量方程,故以下方法的推导仅对标量方程进行,然后分量化地用于方程组。