用复数性质解题举隅

复数有许多的性质,如: ①|z|2=zz-;②若z1=z2则z1-=z2-,[z1|=|z2|;③z∈R z=z-;④若|z|=1则1=zz-等等.解答某些复数问题时,若能灵活运用这些性质,则常使问题获得巧妙简捷的解法,下面列举几个性质的应用供同学们参考. 1.用|z|2=zz- 例1 设复数z满足|z|=2,求|z2-z 4|的最值. 分析常规方法是设z=2(cosθ isinθ)代入,此法运算量大,不易解得.若利用|z|2=zz-=4代入并作适当的变形,则解法简便快捷.     

■=z■z∈R的应用

如果复数z是实数,则z的共轭复数仍是它本身,反之也对,利用=zz∈R解决一些复数问题常常显得思路清晰,解答迅速准确。例1 名为虚数,且z 4/z为实数,求复数z的轨迹。解 z 4/z为实数:=z 4/z 4/=z 4/zz- 4/z-4/=0(z-)(1-4/)=0(z为虚数z-≠0)1-4/=0=4|z|=2。故满足条件的复数z的轨迹是以原点为圆心,以z为半径的圆(不包括与实轴的交     

是椭圆还是双曲线?

题目 z∈C,试判断适合方程|z i| |z-i|=1的点z的集合是什么图形? 解一根据复数减法的几何意义和复平面上两点间的距离公式,可知上式表示与两个定点的距离的和等于常数的点的集合。从椭圆的定义判断上述图形是椭圆。解二设z=x yi (x,y∈R),把原方程化为:     

解答复数问题的若干技巧

复数问题涉及知识面广 ,运算复杂 ,对能力要求高 .若能总结归纳其变化规律 ,掌握解答复数问题的方法和技巧 ,定会收到事半功倍之效 .笔者在教学过程中总结了 8种技巧 .1　巧用 z =z z∈ R解题例 1　设复数 z满足等式 |z - i|=1,且 z≠ 0 ,z≠ 2 i,又复数 w使得 ww - 2 i.z - 2 iz 为实数 ,问复数w在复平面上所对应的点 Z的集合是什么图形 ,并说明理由 .解　∵　 ww - 2 i.z - 2 iz ∈ R,∴　 ww - 2 i.z - 2 iz =( ww - 2 i.z - 2 iz )=ww 2 i.z 2 iz 　 w( w 2 i)w( w - 2 i) =z( z 2 i)z( z - 2 i) 　 　 w =z.∵　　 |z - i|=1　…     

画图解题

题 1.设|z-3~(1/2) i|=1,求|z|的最值。 2.复数z的一个四次方根是2 i,求z的另外三个四次方根。     

Some Results Concerning Growth of Polynomials

Let P(z) be a polynomial of degree n having no zeros in |z|< 1, then for every real or complex number β with |β|≤ 1, and |z|=1, R ≥ 1, it is proved by Dewan et al. [4] that ︱P(Rz)+ β( R+1/2 )n P(z)︱≤ 1 /2 { (︱Rn + β(R+1/2 )n︱+︱1+ β (R + 1 /2 )n︱) max |z|=1 |P(z)︱-(︱Rn + β (R+1/2 )n︱-︱1+ β(R+1/2 )n︱) min|z|=1 |P(z)︱}.In this paper we generalize the above inequality for polynomials having no zeros in |z|相似文献   

巧用一个辐角公式求辐角主值

如果记复数z的辐角为Argz,则Argz=argz 2kπ(k∈Z),其中argz为复数z的辐角主值.利用 zz-=|z|2及Arg(az)=Argz(a∈R ),有公式 这样就有公式 ,(当 巧用这一辐角公式,求解某些辐角主值问题,新颖简洁,妙不可言. 例1 已知复数z1、z2满足|z1|=|z2|=1,且z2-z1=-1,求argz1/z2.     

一类复数题的解答与剖析

在许多期刊中,常有如下一类题:1.设|z|=1,z~5 z=1,求复数z;2.设|z|=1,z~2 z=1.求复数z;3.设|z|=1.z~(11) z=1,求复数z。这类题目的一般形式是:设|z|=1,z~n 2=1(n∈N),求复数z。 此时,按所提供的解法一般有如下两种: 解法1 设z=cosθ isinθ,     

C～n中单位球上μ-Bloch函数的等价刻画

设μ是[0,1)上的正规函数,给出了C~n中单位球B上μ-Bloch空间β_μ中函数的几种刻画.证明了下列条件是等价的:(1)f∈β_μ;(2)f∈H(B)且函数μ(|z|)(1-|z|~2)~(γ-1)R~(α,γ)f(z)在B上有界;(3)f∈H(B)且函数μ(|z|)(1-|z|~2)~M_1-1M_1f/_zm(z)在B上有界,其中|m|=M_1;(4)f∈H(B)且函数μ(|z|)(1-|z|~2)M_2-1R~(M_2)f(z)在B上有界.     

平面内到两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹一定是椭圆吗?

考察一道选择题.满足|z-1| |z 1|=1在复数Z在复平面内对应的点(A)轨迹是椭圆;(B)轨迹是双曲线;(C)轨迹是圆;(D)轨迹是一条线段;(E)轨迹不存在。 不少同学这样分析:根据复数的几何意义,方程|z-1| |z 1|表示动点到两个定点的距离之和等于常数。再根据椭圆的定义,该动点的轨迹是椭圆。故应选(A)。 其实,选(A)是错误的。 证明:(反证法)若(A)正确,那么椭圆的两焦点是F,     

平面上一阶非线性椭圆型方程组的黎曼-希尔伯特边值问题

<正> §1.主要定理的叙述本文讨论一阶非线性椭圆型方程组(?)在多连通区域 D 上的黎曼-希尔伯特边值问题.不失一般性,可令区域 D 是单位圆 E_1内的圆界区域,其边界是 m+1个圆周 Γ_j∶|z-z_j|=r_j(j=0,1,…,m),而Γ_0是|z|=1,z=0∈D.下面,我们均设方程(1.1)满足条件 C,即     

一个分式不等式的再推广

1993年,冯跃峰老师在《上海中学数学》第2期上提出一个不等式问题:已知x,y,z∈R ,x y z=1,求证:x4y(1-y) z(1y-4z) x(1z-4x)≥16.(1)次年,尹文华老师将其推广,得到如下结果[1]:若x,y,z∈R ,且x y z=1,求证:x4y(1-y2) z(1y-4z2) x(1z-4x2)≥81.(2)2004年,李铁烽老师将上述两个不等式统一推广为[2]:若x,y,z∈R ,且x y z=1,n是正整数,求证:x4y(1-yn) z(1y-4zn) x(1z-4xn)≥3n 32n-9.(3)本短文旨在推广不等式(3),笔者提出并证明下述定理若x,y,z,n∈R ,m≥2,且x y z=1,则xmy(1-yn) z(1y-mzn) x(1z-mxn)≥33nn--m 12.(4)证明由幂平均不等式,可得…     

复数的一道复习题

在《复数》这一章的复习课上 ,我给出这样一道题 :若复数z适合 |z| =1 ,求复数 2z+3 - 4i所对应的点的轨迹方程与轨迹 .同学们讨论非常热烈 .有同学当即回答 :“由于考虑的是复平面上复数所对应点的轨迹方程 ,即考虑复数实部、虚部之间所满足的代数关系 ,再通过轨迹方程判断是何种轨迹 .所以只要设所求复数2z+3- 4i的实部为x虚部为 y,找出x ,y之间的代数关系即可 .解 :设w =2z+3 - 4i=x +yi(x,y∈R)令 :z=a+bi(a,b∈R)则 :w =(2a +3) +(2b- 4 )i∴ x=2a +3y=2b- 4a=x - 32b=y +42　∵ |z|=1　∴a2 +b2 =1∴ x - 322 +y+422 =1即 :(x - 3) 2…     

Some Inequalities for the Polynomial with S-Fold Zeros at the Origin

Let p(z) be a polynomial of degree n, which has no zeros in |z|1,Dewan et al.[K.K.Dewan and Sunil Hans, Generalization of certain well known polynomial inequalities, J. Math. Anal. Appl.,363(2010),pp.38–41] established |zp'(z)+nβ/2p(z)≤n/2{(|β/2|+|1+β/2|)max|z|=1|p(z)|-(|1+β/2|-|β/2|)min|z|=1|p(z)|},for any|β|≤1 and |z|=1.In this paper we improve the above inequality for the polynomial which has no zeros in |z|k,k≥1,except s-fold zeros at the origin. Our results generalize certain well known polynomial inequalities.     

复数多项式H（z）模最值的一种解析求法

设z为复数,且|z|=1,对于实系数复多项式为h(z)=h0 h1z h2z2 … hnzn,h0·hn≠0,为求|h(z)|max与|h(z)|min,令f(z)=h(z)h(z-1)=r0 nj=1 rj (zj z-j),其中r0=nk=0 h2k,rj=nk=0 hk·hk j (hk=0,k＞n时),由|z|=1可设z=cosθ isinθ,θ∈［0,2π］,由欧拉公式知z=eiθ.于是有|h(z)|=h(eiθ)=|h(eiθ)·h(e-iθ)|12=|f(eiθ)|12=|f(z)|12,所以f(z)=f(eiθ)=r0 nj=1 rj(eijθ e-ijθ)=r0 nj=1 2rjcosjθ,其中cosjθ可表示成cosθ的函数,因此f(eiθ)也可表示成cosθ的一元函数,即f(eiθ)=r0 2r1cos…     

共振情形下拟周期Hamiltonian系统的线性化(英文)

受Rsmann的工作的启发,本文考虑实解析拟周期Hamiltonian系统{■=i（ρz+（f）/（z）（z,■,θ））■=ω,其中P≥0,z∈C,θ∈T^d且f=O₃（|z|）.假设ω是Diophantine向量,且P与ω共振.本文证明如果系统是形式可线性化的,则它也是解析可线性化的.从而该系统的不动点是Lyapunov稳定的.     

对新题征展(31)第3题的订正

题　已知复数 z满足条件 | z| =1 ,求| z - i| .| z - 12 32 - i|的最大值 .解法 1　设 z =cosθ isinθ,其中θ∈[0 ,2π) ,| z - i| =| cosθ i( sinθ - 1 ) |= cos2 θ ( sinθ - 1 ) 2 =2 ( 1 - sinθ)= 2 [1 - cos( π2 -θ) ]=2 | sin( π4 - θ2 ) || z - 12 32 i|= | ( cosθ - 12 ) i( sinθ 32 ) |= ( cosθ - 12 ) 2 ( sinθ 32 ) 2= 2 2 sin(θ - π6 )=2 [1 cos( 2π3-θ) ]=2 .2 cos2 ( π3- θ2 )=2 | cos( π3- θ2 ) | .则　 | z - i| .| z - 12 32 i|=4 | sin( π4 - θ2 ) .cos( π3- θ2 ) |=…     

高中代数复习(续)

二、复数复数这一章很多题都是用到任意复数z。z=a+bi(a,b∈R)或z=r(cosθ+isinθ)这个表示法来解或证的。例1.解方程|z|+z=8—4i求复数z。解:设z=a+bi(a,b∈R)|z|=(a~2+b~2)~(1/2)。由题设(a~2+b~2)~(1/2)+a+bi=8—4i由复数相等的条件得:     

解复数题常需整体变形

解复数题时,如果不加思索地采用复数的代数形式或三角形式,有时会带来繁琐的运算或使解题思路受阻.因此,有必要从宏观上分析问题的结构特征和内在联系,有意识放大考察问题的“视角”,对题设或结论(或局部)进行整体变形,通过对整体结构的调节或转化使问题迅速获解. 例1 复平面内方程||z-i|-3| |z-i|-3=0的图形是_. 分析视|z-i]-3为整体,则方程可变形为||z-i|-3=-(|z-i|-3).因为|z-i|-3∈R,所以方程与|z-i|-3≤0等价,故其图形为圆心在(0,1),半径为3的圆面. 例2 已知复数z满足2|z-3-3i|=|z|,求|z|的最大值和最小值.     

2003年高考复数题探源与启示

题1　已知复数z的辐角主值为60°,且| z- 1|是| z|和| z- 2 |的等比中项,求| z| .( 2 0 0 3年全国高考题)这是以复数的基本概念和模的性质等知识为载体,考查推理能力和运算能力的一道题.探求解题思路并不困难,其计算量大却让不少考生望而却步,或者花费了很多宝贵的考试时间仍无功而返.事实上,本题有其深刻的几何背景:复平面内点z到点A( 1 ,0 )的距离是它到原点O( 0 ,0 )和点B( 2 ,0 )的距离的等比中项.请看课本上的一道习题:题2　求证:等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点距离的等比中项.(《平面解析几何》P1 46第1 1题)笔者…