一类含绝对值的斜率型不等式的统一求解模式

先看两道试题:1.如果对于函数f(x)的定义域内任意的x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|成立,那么就称函数f(x)是定义域上的"平缓函数".设a,m为实常数,m>0,若f(x)=alnx是[m,∞)上的"平缓函数",试求a的取值范围.     

对一道联考题的思考

近期在互联网上浏览部分重点中学的联考试卷,注意到如下的一道问题及解答:已知集合MD是满足下列性质的函数f(x)的全体:若函数f(x)的定义域为D,对于任意的x1,x2∈D(x1≠x2)有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.     

新题征展(10)

A.题组新编1.(1)设函数y=f(x)的定义域为R,则两函数y=f(2-x)与y=f(x-4)的图象关于　　对称;(2)已知函数y=f(x)对于任意x∈R都有f(2-x)=f(x-4),那么函数y=f(x)的图象关于　　对称;(3)设函数y=f(x)的定义域为R,则两函数y=f(x)与y=-f(2-x)的图象关于　　对称.(廉万朝、孙荣供题)2.     

综合题新编选登

题158已知函数f(x)的导数f′(x)满足0α时,总有f(x)α,在α与β之间存在一点c,αα,所以f′(c)=1,与已知0相似文献   

有关凸函数的一个定理及其应用

引理1(1)若f(x)为区间[a,b]上的凸函数,对于x1、x2、x3∈[a.b],且满足x1≤x2≤x3,则总有f(x2)-f(x1)/x2-x1≤f(x3)-f(x2)/x3-x2.①(2)若f(x)为区间[a,b]上的凹函数,对于x1、x2、x3∈[a,b],且满足x1≤x2≤x3,则总有f(x2)-f(x1)/x2-x1≥f(x3)-f(x2)/x3-x2.     

应用微分中值定理证题时的确定区间法

应用 Rolle中值定理、L agrange中值定理、Cauchy中值定理证题时的一般步骤是 :(1 )设出辅助函数 ;(2 )确定区间 ;(3 )验证定理条件 ;(4)应用定理结论 .介绍构造辅助函数的文章较多 ,确定区间的文章少见 ,本文重点介绍确定区间 .一、Rolle中值定理例 1　设 f (x)在 [0 ,1 ]上可导 ,且满足关系式 f (1 ) -2∫120xf (x) dx =0 .证明 :在 (0 ,1 )内至少存在一点 ξ,使得 f′ (ξ) =-f (ξ)ξ .分析　从结论 f′(ξ) =-f (ξ)ξ f (ξ) ξf′(ξ) =0 ,易猜出辅助函数为 F(x) =xf (x) ,即是被积函数 .余下的问题是在什么区间上应用 Rolle中…     

单调函数的一个性质及应用

由单调函数的定义,我发现单调函数有如下性质:若函数f(x)在区间D上是增函数(减函数),则对于任意x1、x2∈D,恒有(x1-x2)(f(x1)-f(x2))≥0(≤0),或x1f(x1)+x2f(x2)≥(≤)x1f(x2)+x2f(x1).其中当且仅当x1=x2时取等号.这一性质在学习中往往被忽视.我发现,通过构造单调函数,利用此性质可巧妙解决许多问题,且解法简     

一道三角函数题的解法

数学老师经常教育我们 :“拿起一道题 ,先自己做 ,不要迷信别人的解法 ,相信自己能想出更好的方法 .”不久前 ,老师讲解一道三角函数题 ,很多同学没做出来 .老师马上提供了一种解法 .例题　证明函数 f(x) =x -sinx在区间(0 ,π2 )内是增函数 .分析　解这道题 ,很自然会想到用定义做 .于是设　 0 相似文献   

函数性质选择题四则

1 函数y=ax~2 bx c的单调性:(A)分别有一个增区间和减区间,(B)有一个增区间或减区间;(C)不能确定。 2 f=(x)为奇函数的必要条件是:f(x)的(A)定义域关于原点对称;(B)图象关于原点对称;(C)恒有f(-x)=-f(x)。 3 下列函数中的周期函数是(A)y=cos2|x|;     

奇偶性定义的四个特性

函数奇偶性的定义为：设y=f(x)(x∈A)，如果对于任意x∈A，都有f(-x)=f(x)，则称函数y=f(x)为偶函数；如果对于任意x∈A，都有，(-x)=-f(x)，则称函数y=f(x)为奇函数．     

浅谈函数的单调性及应用

函数的单调性是函数的重要性质 ,应用十分广泛 ,必须认真学好 .那么 ,怎样学好这个性质呢 ?1　切实掌握概念 ,打好学习基础课本指出 :设函数 f(x)的定义域为I ,如果对于属于定义域I内某区间上任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1f(x2 ) ,那么 f(x)在这个区间上是增函数 (或减函数 ) .这个概念的核心是任意性和恒定性 .任意性是指x1,x2 是函数定义域内任意两个自变量 ,恒定性是指不等式 f(x1) f(x2 )是在x1相似文献   

新题征展(74)

A题组新编 1.(1)已知f(x)是定义在R上的函数,满足f(x+2)=1|f(x)/1-f(x),若f(2)=2+√3,则f(2 006)=_____.     

单调函数的一条性质及应用

由单调函数的定义不难知道: (1)函数f(x)在区间M上是增函数的充要条件是对于M上的任意两个不同的自变量值x_1和x_2都有(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0成立。 (2)函数f(x)在区间M上是减函数的充要条件是对于M上的任意两个不同的自变量值x_1和x_2都有(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0成立。 本文利用上述性质解一类数学问题,将显得简便,现举例说明之。 例1证明函数f(x)=-x~3 1在(-∞, ∞)上是减函数(91年全国高考题)。     

几何凸函数的若干性质

1 预备知识 设函数f(x)在区间M上有定义,如果对于任意x0,x2∈M和t∈(0,1)都有 f[tx1+(1-t)x2]≤tf(x1)+(1-t)f(x2)(1)则说f(x)在M上为下凸的.如果(1)中的不等号反向,则说f(x)在M上为上凸的. 显然,如果f(x)在M上是上凸的,则-f(x)     

三类常见函数单调区间的确定

已知常见基本初等函数的单调性后,如何确定由它们经加减、乘除运算得到的函数以及复合函数的单调区间,本文就此作一浅析.1　函数单调性定义仍是确定单调区间的一种最基本方法例1　求函数f(x)=x 1x的单调区间.分析　任取x1x1,所以　x2-x1>0.设f(x2)f(x1),则x1x2>1或x1x2<0.假定x1=x2=x,则由01得x∈(1, ∞)或x∈(-∞,-1).可知0、±1是区间的单调分界点.当0相似文献   

拉格朗日中值定理的一个证明

拉格朗日定理:设1) f(x)在区间[a,b]内有定义而且是连续的,2) 至少在开区间(a,b)内有有穷导数f′(x)存在。那么在a与b之间必能求得一点(?)(a相似文献   

一道高考题的背景溯源

2005年上海春季高考有这样一道题:已知函数f(x)=x+xa的定义域为(0,+∞),且f(2)=2+22,设P是函数图像上的任意一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M、N,(1)求a的值(2)问题|PM|·|PN|是否为定值,若是,则求出定值,若不是,则说明理由.(3)设O为坐标原点,求四边形OMPN的面积的最小值图一溯源我们知道:“双曲线上的任意一点到两渐近线的距离之积为定值”.与以上的命题是否有牵连?经探讨,答案是肯定的.即有以下的命题命题函数f(x)=x+xaa∈(0,+∞)的图像是双曲线图二证明设P(x,y)是函数f(x)=x+xa图像上的任意一点,将向量OP向顺时针…     

综合题新编选登

题130设定义在R上的函数f(x)=a0x4 a1x3 a2x2 a3x a4(a0,a1,a2,a3,a4∈R),当x=-1时,f(x)取极大值32,且函数y=f(x 1)的图象关于点(-1,0)对称.1)求f(x)的表达式;2)试在函数y=f(x)的图象上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都在[-2,2]上;3)设xn=2n2-n1,ym=2(13-m3m)(m,n∈N*),求证:|f(xn)-f(ym)|<34.解1)将y=f(x 1)的图象向右平移一个单位,得y=f(x)的图象,所以得f(x)的图象关于点(0,0)对称,即f(x)是奇函数,所以f(x)=a1x3 a3x.由题意,得f′(-1)=3a1 a3=0,f(-1)=-a1-a3=32,所以a1=31,a3=-1,f(x)=13x3-x.可以检验f(x)满足题…     

一道高考题的推广与引申

2006年高考数学试题全国卷Ⅱ理科第1912题是:函数f(x)=∑n=1|x-n|的最小值为()(A)190.(B)171.(C)90.(D)45.1试题背景及分析这类题更多地出现在竞赛当中,比如1989年北京市中学生数学竞赛试题中有如下一道题:设x是实数,且f(x)=|x 1| |x 2| |x 3| |x 4| |x 5|,求f(x)的最小值.1993     

错题、错解、巧解

错题 :数学通讯 2 0 0 3第 1 0期有这样一道新编综合题 :已知函数f(x) =-x3+ax2 +b(a ,b∈R)1 )若函数 y =f(x)图象上任意不同两点的连线斜率小于 1 ,求证 :-3