第三次数学危机的前因后果

17世纪牛顿、莱布尼兹创立了微积分以后，在近一二百年的时间里，微积分一直缺乏一个严格的逻辑基础，它的一些基本概念的的表述，还有某些混乱和自相矛盾之处．从19世纪开始，柯西、维尔斯特拉斯等人进行了微积分理论的严格化工作，他们首先建立了极限理论，并把极限理论的基础归结为实数理论．后来又有代德金、康托尔、德涅等人的共同努力，完善了实数理论，那么实数理论的基础又该是什么呢？于是，康托尔提出了集合理论，他试图用集合理论来作为实数理论，乃至整个微积分理论体系的基础．     

第三次数学危机的前因后果

17世纪牛顿、莱布尼兹创立了微积分以后,在近一二百年的时间里,微积分一直缺乏一个严格的逻辑基础,它的一些基本概念的的表述,还有某些混乱和自相矛盾之处.从19世纪开始,柯西、维尔斯特拉斯等人进行了微积分理论的严格化工作,他们首先建立了极限理论,并把极限理论的基础归结为实数理论.后来又有代德金、康托尔、德涅等人的共同努力,完善了实数理论,那么实数理论的基础又该是什么呢?于是,康托尔提出了集合理论,他试图用集合理论来作为实数理论,乃至整个微积分理论体系的基础.用集合论中的观点来诠释各个数学概念的逻辑关系,真可谓是“天衣无…     

微积分严格化之后(续二)

一、复数域上的微积分Frobenius定理说 :实数域上所有有限维结合可除代数 ( Division Algebra)只有三个 ,即 :实数域 ,复数域 ,四元数 ( Quaternion)代数 ,如果去掉结合性要求 ,则实数域上还有另一个可除代数 Cay-ley-Dickson代数 ,即 Octonion代数。在实数域上的维数为 8。由于四元数代数不可交换 ,Cayley-Dickson代数既不可交换又不结合。而复数域既可交换又可结合 ,且复数早已为人们所熟悉 ,于是人们在考虑原有微积分 ,即实数域上的微积分之后 ,理所当然地考虑复数域上的微积分 ,这就形成了复分析。复分析既然是复数域上的微积分 ,那…     

关于高等数学教学内容改革的几点看法

工科数学教学内容的改革首先要转变教学思想和观点．在高等数学教学中,要转变长期以来教学上的“纯数学观点”,要纠正过分强调数学严密性和理论完整性的作法．高等数学的核心内容是微积分,导数和定积分是最主要、最基本的概念．高等数学教学最重要的是让学生理解和掌握微积分的基本思想、方法及其应用．１．如何让学生真正理解导数和定积分概念对重要概念的理解要让学生经历由特殊到一般、由具体到抽象的整个过程．例如讲导数概念可以先从简单的实际问题开始,逐步分析其中的函数变化率．通过对多个问题详细具体的分析,自然过渡到函数的…     

关于微积分教学中的图象语言

在微积分教学中运用平面，空间的图形或图象去展示或解释一些较抽象的数学概念和定理是一种行之有效的教学手段．本文从两个主要方面阐述了对这一问题的一些观点和思考．     

康托尔实数的局限性

康托尔为我们建立了集合论，并且证明了实数的不可数性，但是其中留下了很多疑点． 1．—个实数能在每—个集合论模型中出现的充分必要条件是它是可以被集合论来定义的．那些在集合论模型中不出现的实数，我们可以把他们叫做看不见的实数． 2．在实数的十进位无穷小数表示法中有些是我们能确切地知道它的第几位是什么，但是对另外的一些实数我们对它们就只能有模糊的认识，也就是说它的第几位是什么我们不可能全部知道．我们可以把他们叫做写不出的实数． 3．由于Cantor关于实数是不可数的证明不是构造性的证明，而是用所谓的归谬证法．它们中有很多是看不见写不出的实数．因此说它们是虚拟的实数． 4．虚拟实数就像银行中的虚拟货币，你可用它来买东西，它可从—个户头转拨到另—个户头，但是钱的实体是不存在的。这个现象也让我们对某些数学工具的合法性挺出质疑．我们用对角线法来证明实数的基数比自然数的基数大。但是我们并没有真正有效的地构造出那么多的实数．因此我们没有办法来确切地定义它们．也可以说它们中的绝大多数是不可以定义的．在一般的情况下虚拟实数是不可以个别地使用的．     

基于微积分的无限概念的理解

无限概念是数学上的一个长期困扰着人们的概念，可以说，数学的发展过程就是人们对无限的不断认识的过程．特别是对于微积分而言，无限是一个贯穿始终的重要概念，微积分从创立到发展都紧密困扰着对无限认识的深入和提高．甚至微积分的严密性得益于柯西对极限概念的界定．理解微积分的无限概念可谓意义深远．但是，学生往往对无限理解感到困难．笔者受美国优秀教材（Raymond A．Barnett ＆ Michael R．Zingier＆ Karl E．Byleen）：微积分及其在商业，经济,生命科学及社会科学中的应用（第9版）的启发。试图寻找一条理解无限概念的有效途径．     

探索微积分在中学数学中的必要性

美国的中学数学教育,为了顺应科学技术现代化发展的需要,早已将微积分的内容作为中学数学课程中的必修或选修内容．我国中学的微积分教学重视程度时起时落,虽然在现今的课程改革中将微积分纳入了高中的必修系列（上海课程除外）,但有关微积分教学的必要性改革仍是一个颇有争议的问题．     

关于高等数学教学内容改革的几点看法

工科数学教学内容的改革首先要转变教学思想和观点．在高等数学教学中．要转变长期以来教学上的“纯数学观点”,要纠正过分强调数学严密性和理论完整性的作法．高等数学的核心内容是微积分,导数和定积分是最主要、最基本的概念．高等数学教学最重要的是让学生理解和掌握微积分的基本思想、方法及其应用．     

关于复数域、实数域和比大小——介绍一本教科书中有关的叙述

[1]讨论了复数集内实数能否比大小的问题,引起很多读者的兴趣,教科书[2]中对这问题有相关的叙述.[2]是60年代出版的一本教科书,据知80年代还在使用,作者是数论方面有研究的数学家.它是一本微积分的基础教科书,没有介绍域、偏序和全序等一般的概念.书的引论一章对实数系建立了三组公理(这里第三组从略).第一组是域公理,即实数加法和乘法的交换律、结合律、分配律、单位元(0和1)的存在性及相反数和倒数的存在性,共6个公理,由此得到运算的性质.第二组公理是次序公理,对“正”的性质建立三个公理.设存在正数集R R,满足公理7:若x,y属于R ,则x y…     

On the existence in a problem of the calculus of variations without convexity assumptions

Summary We obtain new sufficient conditions for the existence in a problem of the calculus of variations without convexity assumptions.     

Operators with an absolute functional calculus

We study sectorial operators with a special type of functional calculus, which we term an absolute functional calculus. A typical example of such an operator is an invertible operator A (defined on a Banach space X) considered on the real interpolation space (Dom(A), X) _θ,p where 0 < θ < 1 and 1 < p < ∞. In general the absolute functional calculus can be characterized in terms of real interpolation spaces. We show that operators of this type have a strong form of the H ^∞-calculus and behave very well with respect to the joint functional calculus. We give applications of these results to recent work of Arendt, Batty and Bu on the existence of Hölder-continuous solutions for the abstract Cauchy problem.     

Calculus in European classrooms: curriculum and teaching in different educational and cultural contexts

In this paper we provide a first overview of the landscape with respect to calculus teaching in European classrooms, an area where research is very limited. In particular through a small expert-based survey and a literature review, we trace the development of calculus teaching at schools in a number of European countries and identify commonalities and differences. In the current curriculum developments, we notice a reduction in the content of calculus and a more informal approach. The use of digital tools has started to be integrated in calculus teaching in most countries. However in some nations, teaching of calculus in the classroom is rather traditional, focusing on procedural aspects of knowledge. Moreover, in cases where more informal and conceptual teaching approaches are used in the classroom, often contradictions seem to exist with other contextual matters such as examination requirements. Finally, we discuss the future of calculus teaching in Europe.     

Existence and C0, α regularity of minima of a functional related to the grid-generation problem

The existence of C^0,α regularity of minima of a functional arising from the grid-generation problem are provided in the case of n-dimensional domains. The functional studied in this article is a linear combination of the length functional, the volume functional, and a higher-order term. The inclusion of the latter guarantees the existence and regularity of a minimum via the direct method for calculus of variations. © 1993 John Wiley & Sons, Inc.     

On the discrete boundary value problem for anisotropic equation

In this paper we consider the discrete anisotropic boundary value problem using critical point theory. Firstly we apply the direct method of the calculus of variations and the mountain pass technique in order to reach the existence of at least one nontrivial solution. Secondly we derive some version of a discrete three critical point theorem which we apply in order to get the existence of at least two nontrivial solutions.     

基于矩阵幂运算的重特征值存在性定理

对于判断矩阵重特征值的存在性问题,运用“若λ是矩阵A的特征值,则入“是Ak的特征值”这一性质,通过矩阵的迹与特征值的关系,得到了实数域上矩阵重特征值的存在性定理并给出了证明．定理实现了“由矩阵幂运算来判断矩阵重特征值的存在性”这样一个计算过程,对讨论矩阵特征值问题具有一定的启示意义．     

Using dynamic tools to develop an understanding of the fundamental ideas of calculus

Although dynamic geometry software has been extensively used for teaching calculus concepts, few studies have documented how these dynamic tools may be used for teaching the rigorous foundations of the calculus. In this paper, we describe lesson sequences utilizing dynamic tools for teaching the epsilon-delta definition of the limit and the fundamental theorem of calculus. The lessons were designed on the basis of observed student difficulties and the existing scholarly literature. We show how a combination of dynamic tools and guide questions allows students to construct their understanding of these calculus ideas.     

Existence results for BVP of a class of Hilfer fractional differential equations

In this paper, we consider the existence and uniqueness of solutions to the nonlocal boundary value problem for semi-linear differential equations involving Hilfer fractional derivative. With the help of properties of Hilfer fractional calculus, Mittag-Leffler functions, and fixed point methods, we derive existence and uniqueness results. Finally, examples are given to illustrate our theoretical results.     

A variational approach to transonic potential flow problems

This paper continues considerations of transonic potential flow problems by variational methods. A functional which is associated with a boundary value problem for the (full) potential equation and which possesses a real physical meaning is minimized over a class of admissible functions. These functions have to satisfy a non‐linear local entropy condition and a certain boundness constraint. Though this class is not a compact set of the underlying Hilbert space and though the functional need not be convex, the existence of a solution to the established variational problem can be proved by direct methods of the calculus of variations. Furthermore, some properties of minimizers concerning uniqueness, relation to the potential equation, and behaviour on supersonic regions are derived. Copyright © 2000 John Wiley & Sons, Ltd.     

高师本科数学分析教学改革的研究与实践

以信息社会为特征的新世纪开始提出扫“数学盲”的历史任务 ,而脱盲的标志则是要懂得微积分基础 [1 ] ,然微分与积分是数学分析的主体的结构 .因此 ,2 1世纪的大学数学教育应该搞好数学分析课程的改革与建设 ,开展教学研究 .本文将给出我们在数学分析教学改革的研究与实践 [1 - 3] 的一系列的做法 ,以便请教于同行