Perspectives de l'Approximation Diophantienne et de la Transcendance

Nous discutons de certains aspects de l'approximation diophantienne et de la transcendance inspirés par deux problèmes encore ouverts: trouver une version effective du théorème de finitude de Siegel pour les points entiers sur les courbes et trouver une approche intrinsèque aux résultats de transcendance des valeurs spéciales des fonctions modulaires sans utiliser les variétés abéliennes (problème posé par Th. Schneider).     

Représentation des fonctionnelles surmédianes

Summary Considérons la théorie du potentiel définie par un noyau de Hunt: si F est une fonction complètement additive de certaines mesures et croissante en ordre du balayage, il existe une (classe de) fonction borélienne représentant F; c'est le résultat principal de ce travail, et il se révèle extrêmement commode pour l'étude des fonctions fortement surmédianes.On en déduit un théorème de convergence du type de Cartan-Brelot pour les familles monotones de fonctions fortement surmédianes, et un critère de compacité relative inspiré de celui de Dunford-Pettis. On précise les termes de la décomposition de Mertens à l'aide du cône C des fonctions fortement surmédianes quasi-s.c.s. modérées.Comme application, on introduit et on étudie la «quasi-topologie fine» et les ensembles réguliers.Toute cette étude repose presque uniquement sur deux propriétés fondamentales, à savoir d'une part le caractère régularisant des opérateurs de réduction, et d'autre part la grande propriété des ensembles semi-polaires qui se trouve originellement chez R.M. Hervé [8] et dont nous donnons ici une version un peu plus forte.Dans un deuxième chapitre, nous signalons les généralisations possibles, et nous obtenons sans affaiblissement les mêmes énoncés en théorie des résolvantes de Ray ou en théorie des surmartingales.     

Streamlines in Bénard convection cells induced by surface tension and buoyancy

Résumé L'équation différentielle obtenue en appliquant la théorie des perturbations au problème de la convection cellulaire a déjà été résolue par rapport aux valeurs propres définissant le début de l'instabilité. Dans ce travail on cherche les fonctions propres correspondant à diverses combinaisons des forces de poussée et de tension superficielle et différentes conditions thermiques à la surface libre. On discute la relation entre la disposition des lignes de courant et le degré d'interdépendance des deux agents d'instabilité. On a tracé les lignes de courant dans le cas où la convection résulte de la tension superficielle seule sur une surface libre isolée thermiquement. Ces lignes sont peu différentes de celles qu'on trouve dans les mêmes conditions lorsque la convection est due à la poussée seule. Ceci explique le haut degré d'interdépendance entre les deux phénomènes, lorsque la surface supérieure est isolée thermiquement.     

Une méthode numérique en bifurcation—application à un problème à frontière libre de la physique des plasmas

Résumé Une nouvelle méthode qui généralise l'algorithme standard des approximations successives est développée en vue de déterminer les points fixes (x ^*) d'opérateurs qui admettent une dérivée de Fréchet (A) enx ^* (seulement) telle queA — I soit injectif. Cette méthode peut être appliquée en particulier au calcul des solutions de problèmes non linéaires au-delà d'un point de bifurcation, ce qui fait l'objet de la première partie. On explicite ensuite dans la deuxième partie l'application de cette méthode à un problème à frontière libre intervenant en physique des plasmas.

---

A new method extending the standard successive approximation algorithm is developed for the determination of fixed points (x ^*) of operators having a Frechet-derivative (A) atx ^* (but not everywhere) such thatA — I is injective. This method can specially be applied to compute solutions of nonlinear problems past a point of bifurcation (first part). The application of this method to a free boundary value problem arising in plasma physics is then given in a second part.

     

On higher eigenvalues of the extended Graetz problem

Summary We consider the problem of heat transfer in laminar flow between two parallel walls. Turning-point approximations to the eigenfunctions and approximations to the characteristic equation are derived. Finally, the higher eigenvalues are obtained for all values of a type of Nusselt number.

---

Résumé On considère le problème du transfert de la chaleur dans un fluide qui s'écoule laminairement entre deux plans parallèles. Il y a une dérivation des approximations aux fonctions caractéristiques valide dans la région d'un point de transition et aussi une dérivation de l'équation caractéristique. Enfin on obtient les valeurs caractéristique plus grand pour tous valeurs d'une espèce de nombre de Nusselt.

     

Application of the Cauchy theorem to the location of zeros of sectionally analytic functions

Summary A new method for the derivation of closed-form formulae for the zeros of sectionally analytic functions in the complex plane is proposed. This method is based on the Cauchy theorem in complex analysis (in a generalized form) and it does not require the solution of any boundary value problem along the discontinuity interval. As an application, the classical transcendental equationw=tanh (p w+q), appearing in a physical problem, is solved in closed form. Numerical results are also presented.

---

Résumé Une nouvelle méthode pour la dérivation de formules analytiques pour les zéros des fonctions analytiques par morceaux dans le plan complexe est proposée. Cette méthode se base sur le théorème de Cauchy dans l'analyse complexe (sous une forme généralisée) et elle n'a besoin de la solution d'aucun problème à valeurs aux limites le long de l'intervalle de discontinuité. Comme une application, l'équation transcendentale classiquew=tanh (p w+q), apparaissante dans un problème physique, est résolue analytiquement. Des résultats numériques sont présentées aussi.

     

A note on plane nonlinear creep of free boundaries

Résumé On montre que la déformation plane et quasi-statique d'un corps incompressible qui est non-linéairement visqueux du second ordre, et dont les frontières sont soumises aux tractions données, ne peut être distinguée de celle d'un corps fluide, ayant les mêmes frontières et les mêmes tractions prescrites, qui est linéairement visqueux et incompressible. Ainsi, les solutions données préalablement (Berg, 1964) pour le fluage plan des frontières libres de tractions s'appliquent également au fluage plan et nonlinéaire du second ordre des frontières libres de tractions. Cela signifie en particulier que dans le fluage plan les effets visqueux du second ordre ne peuvent pas donner lieu à l'irréversibilité cinématique de la déformation d'une surface libre. Les résultats des effets du second ordre sont quelque peu étendus pour montrer que dans le cas le plus général d'un fluide non-linéaire et incompressible les problèmes de fluage plan peuvent se simplifier si l'on incorpore dans le champ de pression une partie des contraintes non-linéairement visqueuses.     

Hyperspherical caps in generalised axially symmetric potential theory (I)

Résumé Le problème du potentiel généralisé axisymétrique d'un secteur d'une sphère àn dimensions est formulé comme une équation intégrale. Cette équation est résolue par deux applications de la solution d'une équation d'Abel. La capacité du secteur est déduite et les résultats sont appliqués au problème de la torsion d'une tige qui contient une fente ayant la forme d'un secteur d'une sphère et située symétriquement.     

On free boundary problems with arbitrary initial and flux conditions

The paper is concerned with the free boundary problem of a semi-infinite body with an arbitrarily prescribed initial condition and an arbitrarily prescribed flux at its face. An analytically exact solution to the problem is found and established, which is expressed in terms of some functions and polynomials of the error integral family and timet. Convergence of the series solution is considered and proved. For illustration, the solution is applied to a special problem, which is discussed in detail. Some remarks about the solution are also included.

---

Résumé Cet article traite du problème à limites variables pour un corps semi-infini, les conditions initiales et un flux arbitraire sur la face étant donnés. On obtient une solution analytique exacte de ce problème. Elle est formulée à l'aide de fonctions et de polynomes de la famille des intégrales d'erreur et en fonction du tempst. La convergence des séries apparaissant dans la solution est étudiée et vérifiée. Comme illustration, les résultats sont appliqués à un problème particulier qui est étudié en détail. Quelques remarques complètent le travail.

     

The minimum weight design of circular sandwich plates

Résumé Dans ce mémoire nous étudions le problème statique du choix des dimensions suivant: Comment doit varier l'épaisseur de point en point dans les plaques circulaires fléchies du type sandwich, pourque leur poids soit minimum, mais sans qu'il existe du fluage illimité? Comme hypothèse de base, nous avons pris la condition de plasticité devon Mises et la règle de fluage associée. Les plaques sont simplement posées ou encastrées le long de leur contour et portent une charge répartie symétriquement par rapport à l'axe. Les résultats obtenus sont comparés à ceux du problème analogue, où l'on utilise la condition de plasticité deTresca. Nous avons présenté finalement quelques résultats numériques.     

On solution of higher approximations to boundary layer flows

Résumé Pour trouver des approximations d'un ordre élevé dans les problèmes de couche limite, l'auteur propose une méthode qui unifie le approches de Meksyn et Görtler. Les valeurs initiales, pour les approximations successives de Görtler, sont evaluées à l'aide de la methode de Meksyn. Toutes les valeurs initiales sont obtaneues par différentiation d'une seule équation. Les résultats obtenus sont au moins équivalent à ceux obtenus par la méthode de Hsu, avec considérablement moins de calculs.     

Numerical integration of an orbit and its concomitant variations by recurrent power series

Résumé Lorsqu'il s'agit de calculer tout en une fois une orbite et la résolvante de ses équations aux variations dans le problème restreint des trois corps, l'intégration par séries de puissances récurrentes s'avère nettement plus avantageuse que d'autres procédés numériques. A précision égale, les développements en séries ne prennent que 30% du temps mis par les méthodes à pas multiples, et seulement 12 à 15% du temps employé par la méthode deRunge-Kutta-Nystrom.     

The impulsive motion of a wedge in a viscous fluid

Résumé Un obstacle anguleux est situé dans un fluide visqueux. Le mouvement de cet obstacle a la direction de la ligne de symmetrie, la vitesse étant constante après un commencement impulsif. Nous étudions dans cet article le mouvement de la couche limite correspondant. Les résultats sont les suivants: Pendant un certain temps (qui dépend de la position) la vitesse du fluide n'est pas influencée par la frontière menant de l'obstacle. Après ce temps là, la vitesse montre une singularité essentielle à la frontière extérieure de la couche limite. Puis cet effet se déplace dans la couche limite et arrive finalement à la surface de l'obstacle anguleux. Le mouvement du fluide devient stationnaire, à cause de la présence de certaines fondrons exponentielles décroissantes. Finalement on considère le cas limite d'un demi-plan; les conclusions sont légèrement différentes.     

The reduction of boundary value problems to Fredholm integral equations of the second kind

Résumé Une méthode générale est obtenue pour réduire une classe de problèmes aux limites à la résolution d'une équation deFredholm de seconde espèce. La méthode et un secteur d'une sphère évidé situé (a) entre deux plans parallèles et (b) dans un cylindre circulaire. Le problème hydrodynamique du flux dans un cylindre contenant un disque et le problème électrostatique pour un secteur d'un sphéroïde allongé sont aussi examinés.     

On the back-scatter cross-sections of ice spheres

Résumé La section droite de diffusion arrière de sphères de grand diamètre constituées par de la glace ou une matière (Stycast) ayant le même indice de réfraction est envisagée d'une manière à la fois théorique et expérimentale. La section droite est évaluée théoriquement par l'application d'une méthode d'optique géométrique simplifiée dans laquelle on considère seulement les réflexions sur les faces avant et arrière de la sphère. Dans le domaine du rapport diamètre/longueur d'onde de l'ordre de 1,3 à 6,7, les résultats obtenus par cette méthode s'accordent bien avec le calcul rigoureux de la section droite obtenu par la solution de l'équation demie. Pour des diamètres plus grands, la solution approchée sous-estime la section droite demie par un facteur qui est cependant plus petit que 3. La théorie simplifiée est étendue au cas de sphères diélectriques ayant leur surface partiellement couverte par une couche réfléchissante.Des données expérimentales sur la diffusion arrière, à une longuer d'onde de 3,22 cm, par des sphères en Stycast recouvertes d'une calotte sphérique de petite dimension, sont présentées dans le but d'illustrer la théorie précédente. En effet, les résultats obtenus, pour toutes les positions de la calotte sphérique au cours de sa rotation autour d'un axe vertical, sont en plein accord, dans la limite des erreurs expérimentales, avec la théorie faisant intervenir la composition de 3 parcours optiques principaux.

---

---

A summary of this work was presented at the Tenth Weather Radar Conference, Washington, D. C., April 22–25, 1963.     

Flow in an occluded circular cylindrical tube with permeable wall

Résumé L'éoulement d'un liquide dans un tube à paroi perméable se rencontre dans plusieurs problèmes d'ingénieur, tels que la purification de l'eau, l'osmose inverse, l'écoulement dans un milieu proeux, etc. Cet exposé traite un problème physiologique, à savoir, l'écoulement du sang dans les plus petits vaisseaux sanguins, les «capillaires».L'expérience de «micro-occlusion» de Landis (1927) était un pas important dans le problème du transport fluidique à travers un vaisseau sanguin. Récemment, Zweifach et Intaglietta (1966, 1968) ont obtenu des données importantes grâce à une expérience perfectionnée du type de celle de Landis. L'interprétation de ces expériences se fonde sur l'hypothèse de Starling de l'interaction des pressions osmotique et hydrostatique. Dans cet ouvrage, on étudie un modèle simplifié du transport fluidique à travers la paroi d'un vaisseau sanguin capillaire. On donne une méthode analytique pour étudier l'appliation de l'hypothèse de Starling au mouvement d'un fluide visquex dans un tube circulaire occlu. On suppose que les pressions hydrostatique et osmotique de l'espace extérieur entourant le tube aient les mêmes valeurs d'équilibre avant et après l'occlusion, de sorte que l'écoulement de masse à travers la paroi du tube, conformément à l'hypothèse de Starling, est simplement proportionnel au changement de la pression hydrostatique à travers le paroi. La solution démontre que, quand la constante de perméabilité dépasse une certaine valeur, l'éoulement axial amont détermine le mouvement fluidique; et que l'écoulement à travers la paroi du tube est plus ou moins indépendant de la perméabilité de la paroi. Quand la constante de perméabilité est petite, l'écoulement à travers la paroi est proportionnel à la perméabilité.L'hypothèse de Starling étant applicable à la dialysation des membranes, la présente démonstration a d'autres domaines d'application pour l'ingénieur. Cette méthode d'analyse peut être appliquée pour résoudre un type général du problème de valeur de limite associée à l'équation de Stokes dans laquelle deux conditions indépendantes sont données pour la surface et l'une des extrémités de la région cylindrique circulaire.     

Anatomy of the Shape Hessian

Summary The computation of the Shape Gradient with respect to domain perturbations plays a central role in the theory and numerical solution of Shape Optimization problems. In 1907 J. Hadamard introduced a method which has been and still is widely used to obtain many useful results for applications. The mathematical limitation of his method rests in the fact that the deformations of the domain are a function of the smoothness of the normal to the boundary (hence the smoothness of the boundary). New developments by the Nice School (J. Cea and J. P. Zolesio) using arbitrary velocity fields of deformation relaxed the condition that the deformation be carried by the normal to the boundary. Finally the use of «Shape Lagrangians» by Delfour and Zolésio made it possible to obtain Shape Gradients by a simple constructive method which does not require the derivative of the state with respect to the domain. In this paper we apply this last method to semi convex cost functions. This extension makes it possible to compute the «Shape Hessian» or «Shape directional second derivative». We give several expressions for the «Shape Hessian» and a set of equations characterizing its kernel.

---

Résumé En Optimisation de forme le calcul du gradient par rapport aux déformations du domaine joue un rôle central dans la théorie et la résolution numérique de ces problèmes. C'est en 1907 que J. Hadamard montra comment obtenir ces gradients par une méthode originale de perturbations du domaine portées par la normale à la frontière du domaine. La «méthode d'Hadamard» a permis jusqu'à nos jours de traiter ces problèmes et d'obtenir de nombreux résultats utiles pour les applications. La limitation mathématique de cette méthode réside dans le fait que les déformations sont liées à la régularité de la normale (donc celle de la frontière). De nouveaux développements utilisant la méthode des champs de vitesse de déformation de l'École niçoise (J. Céa et J. P. Zolésio) ont permis de séparer les contributions respectives de ces deux variables. Enfin l'utilisation du «lagrangien de forme» par Delfour et Zolésio a permis d'obtenir les gradients de forme par une méthode simple et constructive ne nécessitant pas la dérivée de l'état par rapport au domaine. Dans cet article nous appliquons cette dernière méthode à des fonctions coût semi convexes ce qui permet d'obtenir l'«hessien de forme» ou derivée directionnelle seconde par rapport aux domaines. On donne plusieurs expressions de cet hessien ainsi que des équations caractérisant son noyau.

     

Application of the generalized Siewert-Burniston method to locating zeros and poles of meromorphic functions

Summary The generalized Siewert-Burniston method for the determination of the zeros of an analytic function inside a simple closed contourC in the complex plane is modified to be applicable to the determination of both the zeros and the poles of a meromorphic function insideC. The method is based again on the solution of a homogeneous Riemann-Hilbert boundary value problem onC and the values of the meromorphic function onC are sufficient for the application of the method.

---

Résumé La méthode de Siewert et Burniston généralisée pour la détermination des zéros d'une fonction analytique à l'intérieur d'un contourC simple fermé dans le plan complexe est modifiée pour être applicable à la détermination des zéros ainsi que des pôles d'une fonction méromorphe à l'intérieur deC. La méthode se base encore une fois à la résolution d'un problème de valeurs aux limites de Riemann-Hilbert surC; les valeurs de la fonction méromorphe surC étant suffisantes pour l'application de la méthode.

     

Recherches sur les systèmes de tourbillons ponctuels soumis à des liaisons et sur la notion de configuration hydrodynamique stable

Conclusion Les résultats obtenus au cours de la première partie mettent en lumière certains cas dans lesquels la conditionN peut être satisfaite. Parmi tous les systèmes de tourbillons du type (5), il faut exclure, pourn pair, ceux qui ne vérifient pas (16). En particulier,une configuration alternée doit donner lieu à (1).Lorsqu'il en est ainsi, la condition N est effectivement réalisée pour le système différentiel qui définit le mouvement relatif des tourbillons. On est alors dans un cas de semi-stabilité. Naturellement, ce résultat ne suffit pas à prouver que la rue illimitée correspondante possède une propriété du même genre, mais il milite en faveur de cette hypothèse. Tout d'abord, aucun argument ne s'oppose plus à cette possibilité, puisque celui de M. G. Durand a pu être écarté. On prévoit, en outre, que la notion de semi-stabilité, précisée ici dans le cas d'un système à nombre fini de variables, pourra être définie dans des circons-tances moins restrictives. Ce point sera traité ultérieurement, je l'espère bien, comme application d'un problème plus général dont je poursuis actuellement l'étude.     

General theory of wavemaker,I. theoretical results

A general theory of the wavemaker is presented based on a recent formulation of the water wave equations by Hui and Tenti. It exploits the fact that the free surface is a surface of constant pressure in order to make the surface boundary conditions linear and to be evaluated at a fixed boundary. The main features of the present theory are as follows: First, it applies to any weakly nonlinear wavemaker. Second, the full initial-boundary value problem is solved, thus including the transient effects in contrast to the classical approaches. Third, the finite amplitude (weakly nonlinear) effects are explicitly calculated. Finally, it is notable from a mathematical standpoint that the complicated second-order problem can be transformed to the form of the linear problem, and can therefore be solved by identical techniques.

---

Résumé Nous présentons une étude théorique générale des batteurs à houle fondée sur une formulation récente des équations d'un fluide parfait, pesant et incompressible, par Hui and Tenti, dans laquelle la pression est une variable indépendante et la condition aux limites à la surface libre devient une condition linéaire portant sur une frontière fixe. Cette théorie est applicable à un batteur quelconque, et nous résolvons le problème de Cauchy en incorporant les effets transitoires, contrairement aux travaux classiques. En particulier nous calculons explicitement les corrections nonlinéaires du second ordre, ce qui est notable du point de vue mathématique parce que nous pouvons ramener la forme du problème du second ordre à celle du premier ordre.

---

---

This work was supported in part by the Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada through grants to G. Tenti and W. H. Hui.