一个由两圆位置关系确定的轨迹问题

已知圆O1的半径为r1,圆O2的半径为r2,不妨令r1>r2,当两圆的位置关系不同,动圆M(半径为R)与这两圆相切时,圆心M的轨迹是不同类型的曲线．(1)如图1所示,当已知两圆同心时,若圆M与这两个圆均相切,     

初三几何第二学期自测题

A组 一、填空题(每小题3分,共计30分) (1)如果两圆的公切线只有两条,那么这两个圆的位置关系是_. (2)如果一个多边形的内角和等于720°,那么这个多边形的边数是_. (3)已知正六边形的边长为a,则其内切圆与外接圆组成的圆环的面积为_. (4)两等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点,且⊙O1经过圆心O2,则∠OAB=_. (5)若半径分别为1和2的两圆相切,则这两圆的     

一道高考压轴题探源

2009年高考江西卷数学(文史类)最后一道题为: 　　如图1,已知圆G:(x-2)2+y2=r2是椭圆(x2)/(16)+y2=1的内接△ABC的内切圆,其中A为椭圆的左顶点.……     

应用定点到圆上点的距离特性解题

<正>一个定点到圆上的距离有如下的特性:(1)当定点P在半径为r的⊙O外时,则P到⊙O上点的最近距离为OP-r,最远距离为OP+r;(2)当定点P在半径为r的⊙O内时,则P到⊙O上点的最近距离为r-OP,最远距离为OP+r.应用三角形三边关系不难证明这个结论.     

关于圆外切闭折线的几个不等式

设△ABC的边长为a ,b,c,其内切圆为⊙ (I,r)即“圆心为I,半径为r” ,则有下面的不等式成立 (证略 ) :AI2 +BI2 +CI2 ≥ 14(a2 +b2 +c2 ) + 3r2( 1 )文献 [1 ]中还有以下不等式 :AI+BI+CI≥ 6r ( 2 )( 1 )、( 2 )中等号成立当且仅当a=b=c.本文将推广这两个不等式 ,证明关于圆外切闭折线的几个不等式 .定理 1　设平面闭折线A1 A2 A3…AnA1 的内切圆为⊙ (I,r) ,其边长为 ｜AiAi+1 ｜=ai(i=1 ,2 ,… ,n ,且An+1 为A1 ) ,则有∑ni=1AiI2 ≥ 14∑ni=1a2 i+nr2 ( 3)当且仅当a1 =a2 =… =an 时取等号 .证明　设已知闭折线的边AiAi- 1 …     

由圆生成三种圆锥曲线

众所周知 ,三种圆锥曲线 (椭圆、双曲线、抛物线 )可以看成是平面内到定点和到定直线的距离之比为正常数e的动点轨迹 :当 0 1时为双曲线 ,有趣的是 ,在圆中 ,我们也可以通过适合某种条件的动点的轨迹来生成这三种圆锥曲线 ,有如下一个结论 .定理　给定圆O :x2 +y2 =r2 (r >0 ) ,A (a ,0 ) ,B (b ,0 ) (b≠0 ,b≠a)是x轴上的两个定点 ,P是圆O上的一个动点 ,Q是P在y轴上的射影 ,直线AP与BQ的交点为M ,则点M的轨迹 :( 1 )当 |a-b| =r时为抛物线 ;( 2 )当 |a -b| >r且b≠a2 -r22a 时为椭圆 ,当b =a…     

一对含参数的三角形不等式

设△ABC的内切圆半径为r,三条高线为h_a,h_b,h_c,,则 (1/h_a-2r)+(1/h_b-2r)+(1/h_c-2r)≥3/r(1) 这是一个已知的不等式,见[1]中不等式6.21(P76).它可推广为含参数的情形:当k>0时有(1/h_a+kr)+(1/h_b+kr)+(1/h_c+kr)≤3/(k+r)r当-2≤k<0时不等号反向.     

一个有趣平几公式的对偶式

文 [1 ]给出定理 :已知△ ABC中 BC边上的高为 h,N为BC边内一点 ,△ ABN与△ ANC的内切圆半径分别为 r1、r2 ,则△ ABC的内切圆半径 r满足r =r1 r2 - 2 r1r2h .本文给出它的一个对偶形式 :定理　已知△ ABC中 BC边上的高为h,N为 BC边内一点 ,△ ABN与△ ANC的旁切圆 (指在∠ BAC内的 )半径分别为 r1、r2 ,则△ ABC的旁切圆 (在∠ BAC内的 )半径 r满足　　　 r =r1 r2 2 r1r2h 1显然 ,1式等价于　　 2 rh =2 ( r1 r2 )h 4r1r2h 2为证明 2式 ,我们先给出如下一个引理 :引理　在△ ABC中 ,BC边上的高为 h,对应于 A点…     

和两已知圆都相切的圆的圆心的轨迹的讨论

在这篇短文里,我们将看到,限制在平面内,关于和两已知圆都相切的圆的圆心的轨迹的讨论可以视为椭圆或双曲线或抛物线定义直接应用的实例。设二已知⊙O、⊙O′的半径分别为R、r(R>r),圆心距为d,取二圆连心线OO′为x轴,线段OO′的垂直平分线为y轴。在这个直角坐标系下,我们能赋予待求的轨迹的曲线方程以标准形式。以下我们从两个圆的五种位置关系出发,分别给出题目中轨迹的各种类型。一、两圆内离时d相似文献   

一道探究题的拓展

正苏教版数学"必修2"教材中有一道探究题目:已知圆C:x2+y2=r2,直线l:ax+by=r2.(1)当点P(a,b)在圆C上时,直线l与圆C具有怎样的位置关系?(2)当点P(a,b)在圆C外     

圆方趣谈——圆与正方形

<正>我们知道任何一个圆都有外切正方形,任意一个正方形都有一个内切圆,这可能是圆与正方形之间最为"密切"的关系.除了这种显而易见的"密切"关系之外,二者之间还有一种较为深入的有趣的关系.一、已知正方形,不用圆规可以画出它的内切圆的草图已知正方形ABCD,边长为2r,边AB、BC、CD、DA的中点分别为E、F、G、H,连接EG、HF,两线交于点O,如图1所示.将OF四等分,分点记为R、     

关于圆外切闭折线周长的一个不等式

设△ ABC的三边长为 a,b,c,其内切圆半径为 r,则有下面熟知的不等式 :　　 a b c≥ 6 3r ( 1 )当且仅当△ ABC为正三角形时取等号 .本文将推广这个不等式 ,证明关于圆外切闭折线周长的一个不等式 .定理 1　设闭折线 A1A2 A3 … An A1有内切圆⊙ ( I,r) ,闭折线的环数为 t,各边长为| Ai Ai 1| =ai( i=1 ,2 ,… ,n,且 An 1为 A1) ,则有　 ∑ni=1ai ≥ 2 nrtan tnπ ( 2 )当且仅当闭折线为正星形时取等号 .图 1证明　如图 1 ,设边Ai Ai 1与圆 I相切于 Bi,连Ai I,Bi I,Ai 1I,则ai =| Ai Bi| | Bi Ai 1|=r( cot Ai2 co…     

圆内接多边形的一个性质

笔者研究发现,圆内接多边形有如下一个美妙性质. 设A_1 A_2 """A_n为圆内接n边形(n≥4),画n-3条对角线将这个n边形分割成n-2个三角形(这些对角线在多边形内部没有交点),则无论如何分割,所得到的n-2个三角形的内切圆半径之和是一个定值.     

从一道习题谈数学思想和方法的教学

前不久笔者参加了苏州市高新区教育文体局举办的教师基本功比赛,有一个比赛项目为讲评下面一道题目,时间为十分钟. 题目 (江苏科学技术出版社义务教育教科书数学九年级上册第155页18题) 在同一平面内,已知点O到直线l的距离为5,以点O为圆心,r为半径画圆.探究归纳: (1)当r=_____时,⊙O上有且只有1个点到直线l的距离等于3. (2)当r=_____时,⊙O上有且只有3个点到直线l的距离等于3. (3)随着r的变化,⊙O上到直线l的距离等于3的点的个数有哪些变化?并求出相对应的r的值或取值范围.     

卡诺定理的一个证明

文 [1 ]的第 88页 ,曾介绍日本的一个“庙宇木版问题”:由圆内接多边形的某顶点引所有对角线 ,将其划分为若干个三角形 ,则这些三角形内切圆半径之和 ,是一个与顶点选择无关的常数 .此命题的证明 ,要用到卡诺定理　三角形外心到三边距离的代数和等于其外接圆半径加上内切圆半径 .怎样证明 ?文 [1 ]没有说 ,于是有读者写信讯问 .查阅文献 ,发现 1 984年有文 [2 ]的一个“证明”:设△ ABC三边长为 a,b,c,内切与外接圆半径分别为 r,R,面积和半周长分别为△和 p,则R r =abc4△ 4△ .△4△ . r= 14△ [abc 4papbpc]　 ( pa =p - a,等等 )=…     

关于三角形旁切圆半径一个公式的简证

文 [1]的定理 1为 :已知△ ABC中 BC边上的高为 h,N为BC边内一点 ,△ ABN与△ AN C的内切圆半径分别为 r1 、r2 ,则△ ABC的内切圆半径 r满足　　 r =r1 +r2 - 2 r1 r2h . (1)文 [2 ]给出它的一个对偶形式 :定理　△ ABC中 BC边上的高为 h,N为BC边内一点 ,△ ABC与△ ACN的旁切圆 (指在∠ BAC内的 )半径 r′1 、r′2 ,则△ ABC旁切圆半径 r′满足　　 r′=r′1 +r′2 +2 r′1 r′2h . (2 )现给出 (2 )的一个简证 .证明　设△ ABC的面积、半周长分别为△、s,则　　　　　 r′=△s- a,∴　 1r′=s△ - a△ =ssr- 2 aah=1r- 2h…     

正三角形和正四面体的优美定值

用解析法可以得到正三角形的一个优美定值如下:定理1若正三角形的边长为a,以其中心为圆心的圆半径为r,则该圆上任意一点与该正三角形各顶点连线段长度的平方和及四次方和均是定值.证明设正△ABC的中心为O,由正三角形的性质,以O为原点,以OA为y轴,如图建立平面直角坐标系,则A(0,33a),特别地,若此圆为正三角形的外接圆,则r=33a;若此圆为正三角形的内切圆,则r=63a,因此有:推论1.1若正三角形ABC的边长为a,P是其处接圆上任意一点,则PA2 PB2 PC2=2a2,PA4 PB4 PC4=2a4.推论1.2若正三角形ABC的边长为a,P是其内切圆上任意一点,则PA2 PB2 …     

由一道课本习题引起的思考

高中数学必修2(人教版)第133面B组第3题为:已知圆x2+y2=4,直线l:y=x+b.当b为何值时,圆x2+y2=4上恰有3个点到直线l的距离等于1.分析和解由题设可知圆的半径r=2,要使圆上恰有3个点到直线l的距离为1,则只需圆心O到l的距离为1即可,即d=b2()2=1,解     

平行四边形的内切椭圆

类似于多边形的内切圆,可以如下定义多边形的内切椭圆：与一个多边形的各边都相切且位于该多边形内部的椭圆称为该多边形的内切椭圆．文[1]、[2]利用仿射变换对三角形的内切椭圆的存在性和性质进行了深入的研究,那么四边形的内切椭圆是否存在？特别地,文[3]利用仿射变换,将椭圆变换为圆,给出了平行四边形内切椭圆的一种几何作法（问题43）．笔者尝试用初等方法研究平行四边形的内切椭圆的一些简单几何性质和作图问题．     

请不要轻信你的眼睛

我们来研究一个简单而有趣的极限问题 :有一个半径为 1的圆Ｃ(见图1 ) ,在圆Ｃ内作一个内接正三角形及这个三角形的内切圆Ｃ3 ,再在圆Ｃ3 内作一个内接正四边形及这个内接正四边形的内切圆Ｃ4,又在圆Ｃ4内作一个内接正五边形及这个内接正五边形的内接圆Ｃ5 ,……一直进行下去 ,所有内切圆的半径是否趋向于 0 ?如果只凭直觉及简单的推理 ,会认为“半径趋向于 0” ,因为圆的半径在不断地减小 .下面我们将证明 ,半径不会趋于 0 !图 2　半径ｒｎ 与ｒｎ -1的关系由图 2可以看出 ,圆Ｃｎ 的半径ｒｎ 是圆心到圆Ｃｎ -1的内接正ｎ边形的边心距 ,所…