一样的赋值与不一样的结果

已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（x＋y）=f（x）＋2y（x＋y）,且f（1）=1,求f（x）的表达式．     

此类“抽象函数”竟是“具体函数”

最近办公室里“吵得不可开交”,“罪魁祸首”是下面这道月考题:题1函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,对任意的想x,y∈(0,+∞),都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且f(4)=5.(1)求f(2)的值;(2)解不等式f(m-2)≥3.参考答案:(1)因为f(4)=f(2+2)=2f(x)-1=5,所以f(2)=3.     

综合题新编选登：题136

函数f(x)对一切实数x，y均有f(x y)-f(Y)=x(x 2y 1)成立，且f(1)=0．     

一道习题的互动教学及反思

正已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对于任意的正实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y),又当x1时,f(x)0,f(4)=1,(1)求证f(1)=0;(2)求f(1/16);(3)解不等式f(x)+     

一个分式不等式的探讨

文 [1]提出如下有趣问题 :设λ、μ、ν为不全为零的非负实数 ,求使不等式xλx+ μy +νz + yλy+ μz +νx +zλz+ μx+νy ≥ 3λ+ μ+ν (1)对任意正实数x ,y ,z都成立的充要条件 .经探讨 ,我们得到了下面的定理 1　当λ、μ、ν≥ 0且 μ ,ν不全为零时 (若 μ =ν =0 ,λ ≠ 0 ,则 (1)为恒等式 ) ,(1)对任意x ,y,z>0成立的充要条件是2λ≤ μ +ν .证明　用 ∑f(x ,y ,z)表示 f(x ,y ,z)+ f(y ,z ,x) + f(z ,x ,y) ,经演算有∑x(λy + μz+νx) (λz+ μx +νz)=λμν∑x3 + (λ3 + μ3 +ν3 + 3λμν)xyz +(λ2 μ+ μ2 ν+ν2 λ) …     

抽象函数对称性质的证明及其应用

设抽象函数y=f(x)的定义域为R. ①若对任意x∈R恒有f(h+x)=f(k-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=h+R/2对称;     

例析抽象函数题的解法

<正>函数作为历年高考的热点与难点,笔者对抽象函数的常见题型及其解法通过实例分析如下,供参考.题型1抽象函数的函数值求解问题例1对任意实数x、y均满足f(x+y2)=f(x)+3f2(y),且f(1)≠0,则f(2015)=分析本题求f(2015)的值,由于自变量较大,我们一般从递推关系或周期入手.     

课外练习

高一年级1.设f(x)=3x/3x √3,求和:f(1/101) f(2/101) … f(100/101).(浙江省镇海中学(315200) 张宇红)2.已知函数y=f(x)的定义域为实数集R,对任意x ∈R,都有f(a x)=f(a-x),其中a为常数.当x     

一个问题的分析与拓展

题:已知f(x)是定义在[0,1]上的非负函数,且f(1)=1,对任意x,y,x+y∈[0,1]都有:f(x+y)≥f(x)+f(y),求证:f(x)≤2x(x∈[0,1]).本题为2011年清华大学保送生考试题,难度     

抽象函数不“抽象”

<正>在高一函数教学中,经常会遇到令学生头疼的抽象函数的性质探究问题,如"函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(3)成立,判断f(x)的奇偶性".高一学生以前很少接触到未知解析式的"抽象函数",他们首先会想:这是哪个函数?它的解析式是什么?学生可能会猜f(x)是初中学的正比例函数,更有学生设f(x)=kx,但"你怎么知道这个函数就是f(x)=kx?"其实这个问题本来就不容易,更何况对于高一刚接触抽象函数的学生呢!这个"抽象函数"的解涉及到高等数学.在近年的一些大学自主招生考试中频繁出现这种"抽象函     

世界各地数学奥林匹克试题选登

1找到所有映射f:R→R,满足f(f(x) y)=f(x2-y) 4f(x)y,其中x,y∈R.解映射f(x)=0和f(x)=x2显然符合条件.下面证明不存在其它的映射符合要求.设映射f:R→R满足f(f(x) y)=f(x2-y) 4f(x)y(1)其中x,y∈R.令a=f(0).在(1)中取x=0则对任意y∈R,f(a y)=f(-y) 4ay(2)在(2)式中先取y=0,则有f(a)=a.取y=-a,则有a=a-4a2,即a=0.因此由(2)式知f是一个偶函数.在(1)式中令y=-f(x)及y=x2.比较其结果有4(f(x))2=4x2f(x).因而f(x)=0或f(x)=x2.现假设存在x0使得f(x0)≠0,则x0≠0及f(x0)=x02.因为f是偶函数.我们假设x0>0.令x为任意非零实数,在(1)式中令y=-x0,则…     

2011年湖北卷(文20)的优美解

题目 设函数f(x)=x3+ 2ax2 +bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a,b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(Ⅰ)求a,b的值,并写出切线l的方程;(Ⅱ)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根0,x1,x2,其中x1 ＜x2,且对任意的x∈ [x1,x2],f(x)+g(x) ＜m(x-1)恒成立,求实数m的取值范围.     

两道高考试题涉及的函数相关性

2001年广东、全国高考题:设y=f(x)是定义在R上的偶函数。其图像关于直线x=1对称,对任意x1,x2∈[0,1/2],都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0.(1)求     

新题征展(62)

A 题组新编 1.已知函数y=f(x),对于任意实数x1和x2(x1≠x2),均有f(x1 x2)=f(x1)·f(x2),且f(0)≠0.     

用周期性求抽象函数值的方法

用周期性求抽象函数值的关键是构造周期函数,即建立等式f(x+T)=f(x)(T≠0),根据条件构建等式常用到一些技巧,现举例说明.一、巧代换例1函数f(x)对任意实数x满足条件     

抽象函数证明中的巧妙“设”法

<正>例1已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x)<0恒成立.(1)证明函数y=f(x)是R上的单调性;(2)讨论函数y=f(x)的奇偶性.思路一设元、凑已知.证明任取x_10)(设法为凑形),而f(a+b)=f(a)+f(b),∴f(x_2)-f(x_1)=f(x_1+t)-f(x_1)=f(x_1)+f(t)-f(x_1)=f(t).     

一道高考题的背景溯源

2005年上海春季高考有这样一道题:已知函数f(x)=x+xa的定义域为(0,+∞),且f(2)=2+22,设P是函数图像上的任意一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M、N,(1)求a的值(2)问题|PM|·|PN|是否为定值,若是,则求出定值,若不是,则说明理由.(3)设O为坐标原点,求四边形OMPN的面积的最小值图一溯源我们知道:“双曲线上的任意一点到两渐近线的距离之积为定值”.与以上的命题是否有牵连?经探讨,答案是肯定的.即有以下的命题命题函数f(x)=x+xaa∈(0,+∞)的图像是双曲线图二证明设P(x,y)是函数f(x)=x+xa图像上的任意一点,将向量OP向顺时针…     

两类创新导数题的思考

创新类型1 隔离直线 已知函数f(x)和g(x),若存在常数k和b,使得函数f(x)和g(x)对其定义域内的任意实数x分别满足f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l:y=kx+b为函数f(x)和g(x)的"隔离直线".     

关于函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)

定义在实数域上适合方程f(x+y)=f(x)+f(y)(1)的函数,如果再加上连续的条件,就可以证明它是唯一的,即f(x)=ax。本文的目的是从理论上求出定义在任意数域上满足方程(1)的解,而不加任何条件。后面将看到,这里除了个别例子之外,并不能指出所求出的更普遍的函数。原因在于,证明中应用的有策墨罗定理。 1.基本引理引理1.对任意一个数域R必有数集存在,使得R中的任一非0     

我为高考设计题目

题29 已知函数f（x）对任意的实数x、Y都有厂（x＋Y）=f（x）＋f（y）-1,且当X〉0时,f（x）〉1．