圆幂定理(上)

<正>在圆的知识中,以下几个定理都与线段的乘积式有关,它们是:相交弦定理圆的弦相交于圆内的一点,各弦被这点分成的两条线段的乘积相等.图1(1)PA·PB=PC·PD.切割线定理由圆外一点向圆引两条割线.则在每条割线上,由该点到割线与圆的两个交点所成的两个线段的乘积相等,都等于切线的平方.图1(2)PA·PB=PC·PD=PE2.     

圆幂定理及其应用

圆幂定理,实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理,共包含如正三个定理(1)相交弦定理;(2)割线定理;(3)切割线定理.如果把以上三定理按交点在圆内和圆外进行讨论,则交点在圆内:相交弦定理;交点在圆外;割线定理、切割线定理、切线长定理.     

圆幂定理与运动不变量

圆幂定理与运动不变量１０００２０北京市朝阳区中学教研室郭璋在中学平面几何课本中，把圆幂定理分为相交弦定理与切割线定理叙述．相交弦定理：圆的弦相交于圆内一点，各弦被这点内分（分点在线段内）成的两线段的乘积相等．切割线定理：圆的弦相交于圆外一点，各弦被这...     

圆的重要定理在抛物线上的推广

读了文[1]，本人受到启发，现把圆的相交弦定理、切割线定理、切线长定理推广到抛物线上。     

圆幂定理图形中的优美性质

<正>相交弦定理、割线定理、切割线定理统称为圆幂定理;它反映两条相交直线与圆的位置关系,其本质是与比例线段有关.本文给出圆幂定理图形中的其他性质,与读者共同分享.1相交弦定理图形中的性质性质1如图1,⊙O的两条弦AB、CD相交圆内一点P,PE、PF、PG、PH分别是⊙PAC、⊙PBD、⊙PAD、⊙PBC的直径,则PE⊥BD、     

一个竞赛问题的别证及拓展

<正>一、奥数问题题目过圆外一点P作该圆的两条割线PAB和PCD,分别与圆交于点A、B、C、D.弦AD和弦BC交于点Q,割线PEF经过点Q交圆于点E、F.证明:(1/PE)+(1/PF)=(2/PQ).     

一道高中联赛加试题的别证

2003年全国高中数学联赛加试题第一题: 过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线,切点为A、B,所作割线交圆于C、D,C在P、D之间,在弦CD上取一点Q,使∠DAQ=∠PBC.求证: ∠DBQ=     

微分中值定理的历史演变

微分中值定理 ,是微分学的核心定理 ,研究函数的重要工具 ,历来受到人们的重视 .微分中值定理有着明显的几何意义 ,以拉格朗日定理为例 ,它表明“一个可微函数的曲线段 ,必有一点的切线平行于曲线端点的弦 .”从这个意义上来说 ,人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代 ,古希腊数学家在几何研究中 ,得到如下结论 :“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况 .希腊著名数学家阿基米德 ( Archimedes,公元前 2 87—前 2 2 1 )正是巧妙地利用这一结论 ,求出抛物弓形的面积 .意大利卡瓦列…     

北京数学奥林匹克学校课堂实录

课 题 直线与圆的位置关系 适用年级 初中三年级 学期 2004-2005学年度第一学期训练目的1.熟练掌握直线与圆的三种位置关系,灵活运用切线的有关定理及相交弦定理、割线定理、切割线定理等.2.培养学生学习数学的举和创造性思维.     

有心相似圆锥曲线中的花蝴蝶定理

文[1]将圆中的蝴蝶定理和坎迪定理统一推广为同心圆中的花蝴蝶定理,受其启发,笔者得到了有心相似圆锥曲线中的花蝴蝶定理.为了证明需要,我们先引入并证明圆锥曲线中的坎迪定理.1 二次曲线中的坎迪定理AB是二次曲线Ω的弦,M是AB上的任一点,过M作Ω的两条弦CD和EF,其中C,E位于AB同一测.     

关于二次曲线切点弦的几个定理

所谓二次曲线的切点弦,即从二次曲线外一点向曲线作两条切线,连接两切点的线段。其方程由下面几个定理给出。定理1：过园x~2 y~2=r~2外一点p(x_0,y_0)引园的两条切线,设切点分别是p_1,p_2,则切点弦(即p_1p_2)的方程为     

关于微分中值定理的思考

微分中值定理是数学分析中的重要基本定理 ,无论是罗尔定理 ,拉格朗日中值定理 ,还是哥西中值定理 ,其几何意义是一致的 ,也是明显的。直观地说 ,就是 :一开口连续曲线 L,其上每一点如都图 1有切线 (对 L的端点 A与 B不作此要求 ) ,则在 L上必有点存在 ,使得 L 在该处切线平行于弦 AB。当然几何直观不能代替严格证明 ,因为直观可能靠不住。事实上 ,上面的几何直观有缺陷。例如 ,如果 L上有一尖点 C(如图 1 )时 ,虽然 L在 C处也有切线 ,中值定理一般就不成立了。因此 ,上述几何直观需要补正 ,要求 L上还要没有尖点。但这样修改后还只是…     

点线距公式求圆的切线的一种统一和谐解法

众所周知,过圆外一点可以作圆的两条切线,数学竞赛中有一些问题涉及到过圆外一点可以作圆的两条切线的问题,常常使人措手不及,本文通过实例,利用点到直线的距离公式结合韦达定理解决这类问题,可以化繁为简,化难为易,现将它献给读者.     

Steiner定理与蝴蝶定理

如图 1 ,设Ｈ是欧氏平面上圆的弦ＡＢ的中点 ,过Ｈ的弦ＣＤ ,ＥＦ的端点连线ＣＦ与ＥＤ分别交ＡＢ于Ｉ,Ｇ ,则ＡＩ=ＧＢ .这就是平面几何中的蝴蝶定理 .它可以“纯平面几何”地证明 ,也可以用解析几何的方法证明 .运用射影几何的知识会使证明变得简单并且容易推广 .欧氏平面加上平面上所有直线的无穷远点 ,并把任意一组平行直线上的无穷远点看成同一点 .所有的无穷远点组成一条直线 ,叫无穷远直线 ,所得平面称为拓广欧氏平面 .假如对于拓广欧氏平面上的普通点与无穷远点不加区别就得到射影平面 .我们讨论的主要工具是射影映射与下面的Ｓｔｅ…     

三割线定理的一个新证及其推广

一、三割线定理如图1,PAB、PCD、PEF为⊙O的三条割线,其中割线PEF经过弦AD和BC的交点G,则1/PE+1/PF=2/PG.我们先证明如下引理:如图2,△ABC和△XYZ内接于⊙O,则△ABC/△XYZ=     

折弦定理——研究性学习的一个好课题

折弦定理如果AB和BC组成一条圆O的折弦(BC>AB),如图1,M为ABC的中点,则从点M向BC作垂线的垂足D是折弦ABC的中点. 这个定理也叫阿基米德折弦定理,大多数学生都能利用对称变换(或截取)给出如下证明.     

几何证明选讲之“圆”的题根研究——从“圆周角定理”说起

几何证明选讲在人教版新课标教材中以选修内容出现,其主要内容之一是圆及其相关性质定理的应用,如"相交弦定理""线割线定理""割线定理""弦切角定理"等,高考对此部分内容的考查多以选择或填空及附加题的形式出现,试题难度不大,考查的知识点较为固定,本文以"圆周角定理"为根,就相关定理的推广应用,展开探究.题根:(圆周角定理)在同一圆上,同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍.证明:略.说明:由圆周角定理可直接得出结论:同弧所对的圆周角相等,这是圆最基本的性质之一,在此基础上我们可以直接或间接得出圆的其他相关性质定理.     

椭圆中的托勒密定理

著名的托勒密（Ptolemy）定理“圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和”有多种推广．但笔者未见在椭圆中的推广．其实,Ptolemy定理椭圆中也有．     

半径与切线

由圆的切线性质和其判定定理可知:(1)若一条直线经过半径的外端点且垂直于这条半径,则这条直线是圆的切线;(2)圆的切线垂直于过切点的半径.利用圆的切线性质和其判定定理解决一些有关圆的切线问题时,通常要经过半径来实现,那么怎么来实现呢?下面举例说明.一、见半径,证垂直     

几个新发现的几何定理

在给初三学生专题讲授命题:“圆上任一点到某切线的距离等于该点到该切线的切点的距离的平方除以圆直径所得的商。”(应用三角形相似证明,这里略)时,我高兴地发现了如下几个定理及其推广。为稳妥起见,我又反复查阅了许多文献资料,均未发现有此定理,故斗胆抛砖引玉介绍如下,不足之处,请读者指正。定理1 圆内接四边形外接圆上任一点至各顶点所作切线的距离之积与该点至各条对角线的距离之积的平方相等。证明如右图,设四边形A_1A_2A_3A_4的外接圆上一点P至各顶点所